高一数学 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征课件 新人教A版必修2.ppt

2020 2 9 2 2 2用样本的数字特征估计总体的数字特征 2020 2 9 自学导引 2020 2 9 1 正确理解样本数据标准差的意义和作用 学会计算数据的标准差 2 能根据实际问题的需要合理地选取样本 从样本数据中提取基本的数字特征 如平均数 标准差 并做出合理的解释 3 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征 4 形成对数据处理过程进行初步评价的意识 2020 2 9 课前热身 2020 2 9 1 在频率分布直方图中 中位数左边和右边的直方图的面积应该 2 平均数 众数 中位数描述数据的 方差 极差和标准差描述数据的 也可以说方差 标准差和极差反映 相等 集中趋势的量 波动情况 总体波动大小 样本数据 样本容量 样本平均数 2020 2 9 名师讲解 2020 2 9 1 众数 中位数 平均数众数 在样本数据中 频率分布最大值所对应的样本数据 中位数 样本数据中 累积频率为0 5时所对应的样本数据值 累积频率 样本数据小于某一数值的频率叫做该数值点的累积频率 或者定义为 将一组数据按大小顺序排列 把处在最中间位置的一个数据 或两个数据的平均数 叫这组数据的中位数 平均数 样本数据的算术平均数 即 2020 2 9 1 众数 中位数 平均数与频率分布直方图的关系众数在样本数据的频率分布直方图中 就是最高矩形的中点的横坐标 在样本中 有50 的个体大于或等于中位数 因此 在频率分布直方图中 中位数左边和右边的直方图的面积相等 由此可以估计中位数的值 由于样本数据的频率分布直方图 只是直观地表明分布的形状 但是从直方图本身得不出原始的数据内容 所以由频率分布直方图得到的中位数估计值往往与样本的实际中位数值不一致 平均数显然是频率分布直方图的 重心 在频率分布直方图中 平均数是直方图的平衡点 2020 2 9 2 三种数字特征的优缺点 众数体现了样本数据的最大集中点 但显然它对其他数据信息的忽视使得它无法客观地反映总体特征 中位数是样本数据所占频率的等分线 它不受少数几个极端值的影响 这在某些情况下是优点 但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点 2020 2 9 由于平均数与每一个样本的数据有关 所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变 这是众数 中位数都不具备的性质 也正因为这个原因 与众数 中位数比较起来 平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息 但平均数受数据中的极端值的影响较大 使平均数在估计总体时可靠性降低 2020 2 9 2020 2 9 3 规律小结 1 标准差 方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小 标准差 方差越大 数据的离散程度越大 标准差 方差越小 数据的离散程度越小 标准差的大小不会超过极差 2 标准差 方差的取值范围 0 标准差 方差为0时 样本各数据全相等 表明数据没有波动幅度 数据没有离散性 2020 2 9 3 因为方差与原始数据的单位不同 且平方后可能夸大了偏差的程度 所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的 但在解决实际问题时 一般多采用标准差 2020 2 9 典例剖析 2020 2 9 题型一众数 中位数 平均数的应用例1 某工厂人员及工资构成如下 2020 2 9 1 指出这个问题中的众数 中位数 平均数 2 这个问题中 平均数能客观地反映该工厂的工资水平吗 为什么 分析 本题着眼于众数 中位数 平均数各自的特点 以及其适应对象 解 1 由表格可知 众数为200 2200 1500 3700 1100 2000 100 3200 中位数为220 平均数 2200 1500 1100 2000 100 23 6900 23 300 2020 2 9 2 不能 虽然平均数为300元 周 但由表格中所列出的数据可见 只有经理在平均数以上 其余的人都在平均数以下 故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平 2020 2 9 变式训练1 在一次歌手大奖赛中 6位评委现场给每位歌手打分 然后去掉一个最高分和一个最低分 其余分数的平均数作为该歌手的成绩 已知6位评委给某位歌手的打分是 9 2 9 5 9 4 9 6 9 8 9 5 求这位歌手的得分及6位评委评分的众数和中位数 解 1 该歌手得分为 9 5 9 4 9 5 9 6 9 5 2 9 5在这组数据中出现2次 出现次数最多 故评分的众数是9 5 2020 2 9 3 将这组数据按从小到大顺序排列后最中间的两个数都是9 5 故中位数是9 5 2020 2 9 题型二频率条形图的绘制例2 为了估计某人的射击技术状况 在他的训练记录中抽取了50次进行检验 他命中环数如下 786865910795656787910985787686779658696810787869871089 2020 2 9 1 作出频率分布表 2 画出频率分布条形图 3 估计该人命中6 8环的百分比是多少 分析 此题属总体分布的第一种情况 即总体的个数取不同数值较少 本题为5 6 7 8 9 10六个数 可直接列表画图 2020 2 9 解 1 频率分布表如下 2020 2 9 2 以命中环数为横轴 频率为纵轴 建立频率分布条形图 3 由频率分布条形图知 0 20 0 22 0 24 0 66 知该人命中6 8环的百分比为66 2020 2 9 规律技巧 在数据统计中 当样本数据中取不同的数值较少时 可以绘制频率条形图来直观的反映数据的分布情况 其条图形的宽度相同 高度 即纵坐标 为相应的频率 这一点与直方图不同 2020 2 9 变式训练2 在一小时内统计一传呼台接收到用户的呼唤次数 按每分钟统计如下 001212234101253122242431132346120231314112023425021103213120 2020 2 9 写出一分钟内传呼呼唤次数的频率分布表 并画出频率分布条形图 2020 2 9 解 一分钟传呼呼唤次数的频率分布表及频率分布条形图如下 2020 2 9 2020 2 9 题型三平均数 方差的应用例3 对划艇运动员甲 乙二人在相同的条件下进行了6次测试 测得他们最大速度 m s 数据如下 甲 27 38 30 37 35 31 乙 33 29 38 34 28 36 根据以上数据 试判断他们谁更优秀 分析 这显然是要计算两组数据的与s2 然后加以比较并作出判断 2020 2 9 说明甲乙二人的最大速度的平均值相同 但乙比甲更稳定 故乙比甲更优秀 2020 2 9 规律技巧 方差的大小反映了总体或者样本的波动程度 可以对诸如均衡性 稳定性 差异性等作出描述 如两个班级的学科测试的算术平均数是一致的 那么可以再分别求出它们的方差加以分析 方差值较大的班级学生的成绩差异较大 不均衡 再如 考核一个运动员的水平不仅要考虑其成绩的算术平均数 而且要考虑其成绩的稳定性 甚至后者往往更被看重 2020 2 9 变式训练3 从甲 乙两种玉米苗中各抽10株 分别测得它们的株高如下 单位 cm 甲 25414037221419392142乙 27164427441640401640问 1 哪种玉米的苗长得高 2 哪种玉米的苗长得齐 答 乙种玉米的苗长得高 甲种玉米的苗长得整齐 2020 2 9 分析 看哪种玉米的苗长得高 只要比较甲 乙两种玉米的平均高即可 要比较哪种玉米的苗长得整齐 只要看两种玉米苗高的方差即可 因为方差是体现一组数据波动大小的特征数 2020 2 9 2020 2 9 题型四中位数 平均数的应用例4 高一 2 班有男生27名 女生21名 在一次物理测试中 男生的平均分82分 中位数是75分 女生的平均分是80分 中位数是80分 1 求这次测试全班平均分 精确到0 01 2 估计全班成绩在80分以下 含80分 的学生至少有多少 3 分析男生的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么 分析 根据各种数的定义及意义解决问题 2020 2 9 解 1 由平均数公式得 82 27 80 21 81 13 分 2 男生的中位数是75 至少有14人得分不超过75分 又 女生的中位数是80 至少有11人得分不超过80分 全班至少有25人得分低于80分 3 男生的平均分与中位数的差别较大 说明男生中两极分化现象严重 得分高的和低的相差较大 2020 2 9 变式训练4 某高校有甲 乙两个数学兴趣班 其中甲班40人 乙班50人 现分析两个班的一次考试成绩 算得甲班的平均成绩为90分 乙班的平均成绩为81分 则该校数学兴趣班的平均成绩是 分 解析 平均成绩为 90 40 81 50 85 2020 2 9 基础强化1 已知一组数据为20 30 40 50 50 60 70 80 其中平均数 中位数和众数的大小关系是 a 平均数 中位数 众数b 平均数 中位数 众数c 中位数 众数 平均数d 众数 中位数 平均数解析 由所给数据知 众数为50 中位数为50 平均数为50 众数 中位数 平均数 答案 d 2020 2 9 2 已知一组数据按从小到大的顺序排列为 1 0 4 x 6 15 且这组数据中位数为5 那么数据中的众数为 a 5b 6c 4d 5 5解析 由中位数是5得 4 x 5 2 x 6 此时 这列数为 1 0 4 6 6 15 众数为6 答案 b 2020 2 9 3 一组数据的标准差为s 将这组数据每一个数据都扩大到原来的2倍 所得到的一组数据的方差是 a b 4s2c 2s2d s2解析 标准差是s 则方差为s2 当这组数据都扩大到原来的2倍时 平均数也扩大到原来的2倍 因此方差扩大到原来4倍 故方差为4s2 答案 b 2020 2 9 4 在样本方差的计算公式s2 x1 20 2 x2 20 2 x10 20 2 中 数字10和20分别表示样本的 a 容量 方差b 平均数 容量c 容量 平均数d 标准差 平均数解析 由方差s2的定义知 10为样本的容量 20为样本的平均数 答案 c 2020 2 9 5 将一组数据同时减去3 1 得到一组新数据 若原数据的平均数 方差分别为s2 则新数据的平均数是 方差是 标准差是 解析 由样本的平均数 方差 标准差的定义知 新数据的平均数为x 3 1 方差仍为s2 标准差仍为s s2 s 2020 2 9 6 若40个数据的平方和是56 平均数是则这组数据的方差是 标准差是 2020 2 9 7 期末考试后 班长算出了全班40个人的数学成绩的平均分为m 如果把m当成一个同学的分数与原来的40个分数一起算出这41个分数的平均值n 那么 解析 m n 1 2020 2 9 8 2009 江苏 某校甲 乙两个班级各有5名编号为1 2 3 4 5的学生进行投篮练习 每人投10次 投中的次数如下表 则以上两组数据的方差中较小的一个为s2 2020 2 9 2020 2 9 能力提升9 某人5次上班途中所花时间 单位 分钟 分别为x y 10 11 9 已知这组数据的平均数为10 方差为2 则 x y 的值是 a 1b 2b 3d 4 2020 2 9 答案 d 2020 2 9 10 甲 乙两名战士在相同条件下各射靶10次 每次命中的环数分别是 甲 8 6 7 8 6 5 9 10 4 7 乙 6 7 7 8 6 7 8 7 9 5 1 分别计算以上两组数据的平均数 2 分别求出两组数据的方差 3 根据计算结果 估计一下两名战士的射击情况 2020 2 9 2020 2 9 2020 2 9 2020 2 9 品味高考11 2010 山东文 在某项体育比赛中 七位裁判为一选手打出的分数如下 9089909593949