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第四节无穷小量和无穷大量 一 无穷小量 1 定义 极限为零的变量称为无穷小量 例如 注意 1 无穷小是变量 不能与很小的数混淆 2 零是可以作为无穷小的唯一的数 2 无穷小与函数极限的关系 证 意义 1 将一般极限问题转化为特殊极限问题 无穷小 3 无穷小的运算性质 定理2在同一过程中 有限个无穷小的代数和仍是无穷小 注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小 定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证 都是无穷小 推论1 在同一过程中 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小 推论2常数与无穷小的乘积是无穷小 推论3有限个无穷小的乘积是无穷小 二 无穷小的比较 无穷小之比的极限 0 0 可以出现各种情况 出现不同情况的原因是无穷小趋向于零的速度不同 例如 不可比 观察各极限 定义 例1 解 例2 解 例 例 解 4 13 常用等价无穷小 定理4 等价无穷小替换定理 证 注可利用这条性质简化一些极限的计算 求极限时 分子 分母中的因子可用等价无穷小替换 替换后极限情况不变 例3 解 不能滥用等价无穷小代换 对于代数和中各无穷小不能分别替换 注意 例4 解 错 解 例5 解 例6 解 三 无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大 特殊情形 正无穷大 负无穷大 注意 1 无穷大是变量 不能与很大的数混淆 3 无穷大是一种特殊的无界变量 但是无界变量未必是无穷大 不是无穷大 无界 证 注对无穷大量也可以比较它们趋于无穷大的速度 定义高 低 同 阶无穷大以及等价无穷大 也可以进行等价无穷大替换 几个常用的无穷大按阶从低到高排列为 四 无穷小与无穷大的关系 定理5在同一过程中 无穷大的倒数为无穷小 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大 证 意义关于无穷大的讨论 都可归结为关于无穷小的讨论 五 小结 几点注意 无穷小与无穷大是相对于过程而言的 1 无穷小 大 是变量 不能与很小 大 的数混淆 零是唯一的无穷小的数 2 无穷多个无穷小的代数
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