七年级数学竞赛专题讲座课件_从三角形内角和说起.ppt

从三角形内角和谈起 奥数辅导 三角形的内角和等于180 也称一个平角 是三角形的一个基本性质 从它出发可引出下面两个事实 1 三角形的外角等于此三角形中与它不相邻的两个内角和 2 n边形的内角和等于 n 2 180 例1如图1 37所示 平面上六个点A B C D E F构成一个封闭折线图形 求 A B C D E F 解 在 PAB RCD QEF中 A B APB 180 C D CRD 180 E F EQF 180 又在 PQR中 QPR PRQ PQR 180 又 APB QPR CRD PRQ EQF PQR 对顶角相等 得 A B C D E F 360 例2求如图2所示 图形中 A B C D E的大小 D C B E A O 图2 解法1连接BE 在 COD中 C D COD 180 在 ABE中 A ABE AEB 180 由 得 A C D COD ABE AEB 360 又 ABE ABO 即为 B OBE AEB AEO 即为 E OEB 故 式可化 A B C D E COD OBE OEB 360 由于 COD BOE 对顶角相等 在 BOE中 COD OBE OEB BOE OBE OEB 180 由 得 A B C D E 180 解法2如果我们注意到三角形外角的性质 结合图形 图1 39 会发现 在 OCD中有 1 C D 在 APE中 2 A E 在 BOP中 1 2 B 180 从而 A B C D E 180 例2求如图1 39所示 图形中 A B C D E的大小 例3如图1 40所示 在 ABC中 B的平分线与 C的外角平分线交于D 且 D 30 求 A的度数 解 由已知 D 30 在 BCD中 CBD BCD 180 30 150 因为BD是 ABC的平分线 所以 CBD 1 2 ABC 又因为CD是 ACE的平分线 所以 ACD 1 2 ACE 从而 BCD ACB 1 2 ACE ACB 1 2 A ABC 由 得1 2 ABC ACB 1 2 A ABC 150 即1 2 A ABC ACB 1 2 A ABC ACB 150 所以 A ABC ACB 1 2A 150 1 2 A 180 150 所以 A 60 例4如图1 41所示 A 10 ABC 90 ACB DCE ADC EDF CED FEG 求 F的度数 解 在 ABC中 A 10 ABC 90 所以 ACB 80 因为 DCE ACB 80 在 ACD中 DCE是它的一个外角 所以 DCE A ADC 80 10 ADC 所以 ADC 70 EDF ADC 70 在 ADE中 EDF是它的一个外角 所以 EDF A AED 70 10 AED 所以 AED 60 FEG AED 60 在 AEF中 FEG是它的一个外角 所以 FEG A F 所以 F FEG A 60 10 50 例5如图1 42所示 ABC的边BA延长线与外角 ACE的平分线交D 求证 BAC B 证明 BAC是 ACD的一个外角 因为 BAC 1 D 所以2 BAC 2 1 2 D ACE 2 D ACE 因为CD是 ACE的平分线 又 ACE是 ABC的一个外角 所以 ACE B BAC 由 2 BAC B BAC 所以 BAC B 例6 如图 已知DO平分 ADC BO平分 ABC 且 A 27 O 33 求 C的度数 C O A D B Q H G 解 由已知 ABO CBO ADO CDO 在 ABG和 ODG中 有 A ABG O ODG 在 OBH和 CDH中 有 C CDH O OBH 得 A C 2 O C 2 33 27 39 例7 凸n边形除去一个内角外 其余内角和为2570 求n的值 解 设该内角为x 则 n 2 180 x 2570 得n x 2570 360 180 X 130 此时n 17 1 如图1 46所示 求 A B C D E的大小 练一练 2 如图1 47所示 求 A B C D E的大小 3 如图1 48所示 求 A B C D E F的大小 4 如图所示 ABC中 AE是 A的平分线 CD AE于D 求证 ACD B A B C D E 5 如图 在 ABC中 ACB 90 D E都在线段AB中 AC AD BC BE 则 DCE的大小是 A 60 B 45 C 30 D 随 A的大小而变化 A C B E D B 解 因为AC AD 所以 ACD ADC又BC BE 故 BCE BEC因为 BEC ADC DCE 180 从而 BCE ACD DCE 180 即 ACB 2 DCE 180 因为 ACB 90 所以 DCE 45 6 在 ABC中 若AB 2BC B 2 A 则 ABC是 A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 不能确定 B C A D 解 如图 AB BC 得 ACB A 作 ACD A CD与AB交于点D 则AD CD DCA A BDC A DCA 2 A又 B 2 A B BDC CB CD又AB 2BC CD BC 1 2AB 从而 ABC为直角三角形 B 7 A B C D E F G的度数等于 A 360 B 450 C 540 D 720 A B C D E F M N C 提示 连结CD BE G 8 如图 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 360 9 在一个多边形中 除了两个内角外 其内角之和为2002 则这个多边形的边数为 A 12B 12或13C 14D 14或15 解 设这个多边形为n边形 由题意得2002 n 2 180 2002 360 又n是自然数 n 14或15 D 10 设有一个凸多边形 除去一个内角外 其余n 1个内角的和为1993 则n的值 A 12B 13C 14D 15 C 11 如图 BP平分 ABC交CD于F DP平分 ADC交AB于E AB与CG相交于G 如果 A 42 C 38 那么 P的度数为 A C B P D G E F 解 由对顶三角形的性质得 1 A P 2 2 1 A 2 2 C 2 得 A 2 P C P A C 2 40 1 2 40 12 一个凸多边形有且仅有4个内角是钝角 这样的多边形的边数最多是 解 设这个凸多边形的边数为n 则其中4个内角为钝角 n 4 个内角为直角