高中数学第二章2.3.2抛物线的几何性质学案新人教B版.docx

23.2抛物线的几何性质1掌握抛物线的几何性质及抛物线性质的应用(重点)2掌握直线与抛物线的位置关系(难点)基础初探教材整理抛物线的简单几何性质阅读教材P59P60例1以上部分，完成下列问题1抛物线的几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形性质范围x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e12.直线与抛物线的位置关系判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)抛物线是中心对称图形()(2)抛物线没有渐近线()(3)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p.()(4)直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线相切的充要条件()【答案】(1)(2)(3)(4)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型抛物线的几何性质(1)抛物线顶点在坐标原点，以y轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为_. 【导学号：25650082】【自主解答】因为过焦点且与对称轴y轴垂直的弦长等于p的2倍，所以2p16.故所求抛物线方程为x216y.【答案】x216y(2)已知抛物线的方程为yax2(a0)，求该抛物线的焦点坐标和准线方程【自主解答】抛物线方程yax2(a0)可化为x2y(a0)当a0时，抛物线开口向上，焦点坐标为，准线方程为y.当a0时，抛物线开口向下，焦点坐标为，准线方程为y.综上所述，抛物线yax2(a0)的焦点坐标为，准线方程为y.把握三个要点确定抛物线简单几何性质1开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负2关系：顶点位于焦点与准线中间、准线垂直于对称轴3定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.再练一题1抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x24y236短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程. 【导学号：25650083】【解】椭圆的方程可化为1，其短轴在x轴上，抛物线的对称轴为x轴，设抛物线的方程为y22px或y22px(p0)抛物线的焦点到顶点的距离为3，即3，p6.抛物线的标准方程为y212x或y212x，其准线方程分别为x3和x3.直线与抛物线的位置关系已知抛物线的方程为y24x，直线l过定点P(2,1)，斜率为k(kR)当k为何值时，直线l与抛物线只有一个公共点，有两个公共点，没有公共点？【精彩点拨】要解决这个问题，只需讨论直线l的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况，由方程组解的情况判断直线l与抛物线的位置关系【自主解答】由题意可设直线l的方程为y1k(x2)，把直线l的方程和抛物线的方程联立得方程组(*)消去x得ky24y4(2k1)0，(1)当k0时，由方程得y1.把y1代入y24x中，得x.这时，直线l与抛物线只有一个公共点.(2)当k0时，方程的判别式为16(2k2k1)由0，即2k2k10，解得k1或k.于是，当k1或k时，方程只有一个解，从而方程组(*)只有一个解这时，直线l与抛物线只有一个公共点当0，即2k2k10，解得1k.于是，当1k且k0时，方程有两个解，从而方程组(*)有两个解这时，直线l与抛物线有两个公共点由0，解得k.于是，当k时，方程没有实数解，从而方程组(*)没有解，这时，直线l与抛物线没有公共点综上，我们可得：当k1或k或k0时，直线l与抛物线只有一个公共点；当1k且k0时，直线l与抛物线有两个公共点；当k时，直线l与抛物线没有公共点1直线与抛物线的位置关系判断方法通常使用代数法：将直线的方程与抛物线的方程联立，整理成关于x的方程ax2bxc0.(1)当a0时，利用判别式解决0相交；0相切；0相离(2)当a0时，方程只有一解x，这时直线与抛物线的对称轴平行或重合2直线与抛物线相切和直线与抛物线公共点的个数的关系：直线与抛物线相切时，只有一个公共点，但是不能把直线与抛物线有且只有一个公共点统称为相切，这是因为平行于抛物线的对称轴的直线与抛物线只有一个公共点，而这时抛物线与直线是相交的再练一题2设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A.B2,2C1,1 D4,4【解析】抛物线y28x的准线(直线x2)与x轴的交点为Q(2,0)，于是，可设过点Q(2,0)的直线l的方程为yk(x2)，则有消去y，得k2x2(4k28)x4k20，由其判别式(4k28)216k464k2640，可解得1k1.故选C.【答案】C探究共研型抛物线的焦点弦探究直线过抛物线y22px(p0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，能否用A，B点的坐标表示弦长|AB|?【提示】由抛物线的定义知，|AF|x1，|BF|x2，故|AB|x1x2p.已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为的直线，被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程【精彩点拨】本题考查抛物线的焦点弦的性质及抛物线的标准方程问题，可根据已知条件利用待定系数法求解【自主解答】当抛物线焦点在x轴正半轴上时，可设抛物线的标准方程是y22px(p0)，则焦点F，直线l的方程为yx.设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，过A、B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为A1、B1.则|AB|AF|BF|AA1|BB1|x1x2p6，x1x26p.由消去y，得22px，即x23px0.x1x23p.代入式，得3p6p，p.所求抛物线的标准方程是y23x.当抛物线焦点在x轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y23x.1解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解2设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论再练一题3过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为_. 【导学号：25650084】【解析】抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.由抛物线的定义知|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，即x1x227，得x1x25，于是弦AB的中点M的横坐标为，因此点M到抛物线准线的距离为1.【答案】构建体系1设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是()A(6，)B6，)C(3，) D3，)【解析】抛物线的焦点到顶点的距离为3，3，即p6.又抛物线上的点到准线的距离的最小值为，抛物线上的点到准线的距离的取值范围为3，)【答案】D2已知直线ykxk及抛物线y22px(p0)，则()A直线与抛物线有一个公共点B直线与抛物线有两个公共点C直线与抛物线有一个或两个公共点D直线与抛物线可能没有公共点【解析】直线ykxkk(x1)，直线过点(1,0)又点(1,0)在抛物线y22px的内部，当k0时，直线与抛物线有一个公共点；当k0时，直线与抛物线有两个公共点【答案】C3过抛物线y28x的焦点作倾斜角为45的直线，则被抛物线截得的弦长为_【解析】由抛物线y28x的焦点为(2,0)，得直线的方程为yx2，代入y28x，得(x2)28x，即x212x40，x1x212，弦长x1x2p12416.【答案】164已知AB是过抛物线2x2y的焦点的弦，若|AB|4，则AB的中点的纵坐标是_【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线2x2y，可得p，|AB|y1y2p4，y1y24，故AB的中点的纵坐标是.【答案】5如图233，直线l：yxb与抛物线C：x24y相切于点A.图233(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程. 【导学号：2565008