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文档简介

多项式的最大公因式 教学目的与要求 理解多项式的最大公因式的定义 掌握用辗转相除法求多项式的最大公因式 会求 使得 多项式的最大公因式 讲授方式 讲授 2 3多项式的最大公因式 设是一个数域 是上的一元多项式环 一 最大公因式的定义及其性质 3 最大公因式的性质 因此 当不计常数因子时 与的最大公因式是唯一的 将与的首项系数为1的最大公因式记为 证明 若为与的最大公因式 则有 于是 若 则 故是与的公因式 是与的一个最大公因式 若 由是最大公因式 为与的最大公因式 且 证明 由 2 知 故等号成立 证明 若 则由 知 故是 的一个公因式 是 的公因式 由此可得 若有一个最大公因式 则也是的一个最大公因式 二 最大公因式的存在性 证明 分三步讨论 假设 显然 若中有一个为0 比如 则 且 最后假设 由带余除法可得 1 2 3 如此继续下去 由于所得余式的次数不断降低 所以经过有限次后 必有余式为零 可设为 照此继续代入下去 就可以得到所要求的式子 由性质 1 及 4 知是与的一个最大公因式 又由上面 1 式 有 代入 2 式有 但是下面命题是正确的 例 显然不是与的最大公因式 解 利用辗转相除法 有 用等式写出来 就是 而由 得 选取 三 多项式互素 注 零多项式与任何多项式都不互素 3 性质 即 证明 法一 由 有 1 且 由 知 即 代入 1 有 法二 由 则有 结论成立 证明 再由 故 由的任意性 知为非零常数 证明 设是的最大公因式 则 由 而 为非零常数 知 又 4 最大公因式和互素的推广 易知 如果的最大公
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