2010年数学建模讲座.ppt

数学模型与数学建模竞赛 数学模型与数学建模竞赛 数学模型及其分类数学建模的方法和步骤数学建模的重要意义数学建模教学与数学建模竞赛历届赛题及数学建模方法回顾 数学模型 MathematicalModel 和数学建模 MathematicalModeling 对于一个现实对象 为了一个特定目的 根据其内在规律 作出必要的简化假设 运用适当的数学工具 得到的一个数学结构 建立数学模型的全过程 包括表述 求解 解释 检验等 数学模型 数学建模 问题 计算 预测 某地域某种生物的数量 生物种群的数量 指数增长模型 马尔萨斯提出 1798 模型假设 生物群体的总数原来是整数 因此是离散量 但当群体较大时 不妨用一个连续量来表示 即是t时刻该生物种群的数量 并假设其连续可微 该群体的自然增长率 出生率与死亡率之差 为常数r 模型建立和求解 考察时段该种群数量由自然增长引起的变化 应有 两边同除 并令 模型建立和求解 若在初始时刻生物总数为 应用分离变量法可得 随着时间增加 种群数量按指数规律无限增长 模型检验和评价 观察一片土地上田鼠的数量 开始时为2只 2个月后为5只 6个月后为20只 10个月后增加到109只 设田鼠的自然增长率为0 4 那么田鼠数量满足 模型改进 阻滞增长模型 Logistic模型 种群增长到一定数量后 增长率下降的原因 资源 环境等因素对生物种群增长的阻滞作用 且阻滞作用随种群数量增加而变大 假设 r 固有增长率 N很小时 Nm 种群容量 资源 环境能容纳的最大数量 改进模型 求解得 模型检验 草履虫实验 将5个草履虫放在盛有0 5ml营养液的小试管中 连续6天观察草履虫的个数 发现开始时草履虫的增长率为239 9 后来增长逐渐缓慢 第4天草履虫的数量达到最高水平375个 若用自限模型 时刻t草履虫个数为 上述公式计算的结果和观察值的吻合程度相当令人满意 数学模型的分类 应用领域 物理 人口 交通 经济 生态 数学方法 初等数学 微分方程 规划 统计 表现特性 描述 优化 预报 决策 建模目的 了解程度 白箱 灰箱 黑箱 确定和随机 静态和动态 线性和非线性 离散和连续 数学建模的基本方法 机理分析 测试分析 根据对客观事物特性的认识 找出反映内部机理的数量规律 将对象看作 黑箱 通过对量测数据的统计分析 找出与数据拟合最好的模型 二者结合 用机理分析建立模型结构 用测试分析确定模型参数 2 数学建模的方法和步骤 类比仿真 模拟 是以类比为逻辑基础 用计算机模仿实际系统的运行过程 在整个运行时间内 对系统状态的变化进行观察和统计 从而得到系统基本性能的估计和认识 一般不能得到解析的结果 数学建模的一般步骤 模型准备 了解实际背景 明确建模目的 搜集有关信息 掌握对象特征 形成一个比较清晰的 问题 模型假设 针对问题特点和建模目的 作出合理的 简化的假设 在合理与简化之间作出折中 模型构成 用数学的语言 符号描述问题 发挥想像力 使用类比法 尽量采用简单的数学工具 数学建模的一般步骤 模型求解 各种数学方法 软件和计算机技术 如结果的误差分析 统计分析 模型对数据的稳定性分析 模型分析 模型检验 与实际现象 数据比较 检验模型的合理性 适用性 模型应用 数学建模的一般步骤 1 观察 分析实际问题 作出合理的假设 2 涉及的数学问题可能是复杂 困难的 求解也许涉及深刻的数学方法 如何作出正确的判断 寻找合适的 解析或近似 解法 3 如何验证模型求解的结果是合理 正确的 数学建模三难点 3 研究数学模模的重要意义 数学模型有悠久的历史 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透 在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地 在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具 数学模型在其他科学中的应用物理和力学化学和生物生物医学经济和社会 数学建模在国民经济中具体应用 产品的设计和制造 质量控制 控制与优化 预测与管理 资源和环境 其他 数学模型和数学技术 高新技术的新特征之一数学不仅是科学而且是技术数学是一种关键性的 普遍的 能够实行的技术高技术本质上是一种数学技术 数学建模教学与数学建模竞赛 开设数学建模课程科学技术发展的需要培养高质量 高层次科技人才的需要教育改革的需要发现和总结建立数学模型的规律和方法上世纪七十年代 国外开设数学建模课程二十世纪八 九十年代我国各高校相继开设数学建模课程1985年 美国大学生数学建模竞赛 UCMCM 开始举行 每年一次 2月份1992年 我国大学生数学建模竞赛开始举行 CUMCM 每年一次 9月 竞赛内容 题目由工程技术 管理科学中的实际问题简化而成 没有事先设定的标准答案 但留有充分余地供参赛者发挥其聪明才智和创造精神 竞赛形式 三名大学生组成一队 可以自由地收集资料 调查研究 使用计算机 互联网和任何软件 在三天时间内分工合作完成一篇论文 评奖标准 假设的合理性 建模的创造性 结果的正确性 文字表述的清晰程度 竞赛宗旨 创新意识团队精神重在参与公平竞争 全国大学生数学建模竞赛 运用学过的数学知识和计算机 包括选择合适的数学软件 分析和解决实际问题的能力 面对复杂事物的想象力 洞察力 创造力和独立进行研究的能力 关心 投身国家经济建设的意识和理论联系实际的学风 团结合作精神和进行协调的组织能力 勇于参与的竞争意识和不怕困难 奋力攻关的顽强意志 查阅文献 收集资料及撰写科技论文的文字表达能力 数学建模竞赛培养学生创新精神 提高学生综合素质 每年四道题大学本科 A B题任选一题 专科高职 C D题任选一题 A C为连续型题目 B D为离散型题目 优秀论文登在 2001年起 2001年前 来年第1期上 数学建模竞赛的准备 培训 内容 1 建模的基本概念和方法 数学建模课程的主要内容 2 建模过程中常用的数学方法 微积分 代数 概率外 主要有 计算方法 如数值微分和积分 微分方程数值解 代数方程组解法 优化方法 如线性 非线性规划 数理统计 如假设检验 回归分析 图论 如最短路 等 只要求知道实际问题与这些数学知识之间的对应关系 如哪些问题可用线性规划求解 或线性规划可解决哪些问题 以及用它们建立模型的方法 基本上不必涉及模型的求解 3 数学软件的用法 基本上能完成上述方法的软件 如MATLAB MATHEMATICA LINDO LINGO SAS等 4 历届赛题的研讨 5 撰写数学建模论文的练习 数学建模竞赛准备的 培训 内容 历届赛题及数学建模方法回顾 优化方法 一般函数优化 用微积分的方法解决 小规模 规划问题 使用软件求解 包括线性规划 非线性规划 多目标规划 动态规划 整数优化 组合优化 离散优化 网络优化 数据处理方法 曲线拟合 数据回归分析 插值 概率统计方法 期望分析 排队论 回归分析 模式识别 判别分析 微分方程方法 稳定性分析 预测 图论方法 最短路问题 最大流问题 最小生成树 计算机技术 图像处理 随机模拟 各种算法实现 神经网络方法 离散方法 层次分析法 决策分析 对策论 模糊数学 模糊聚类分析 模糊层次分析 模糊规划 常用的软件工具 MATLAB科学计算 最优化求解 微分方程求解 统计分析 编程 符号运算 结果可视化SPSS SAS统计分析LINDO LINGO最优化求解MATHEMATICA符号运算 科学计算 最优化求解 微分方程求解 统计分析 编程 参考资料 数学模型 第三版 姜启源等编 高等教育出版社2005数学模型 谭永基等编 复旦大学出版社 2005ModelsinAppliedMathematics Vol1 3 F Lacos Springer Verlag NewYork 1983数学建模 Giordano著叶其孝等译机械工业出版社 2005数学模型引论 第三版 唐焕文等编 高等教育出版社 参考资料 数学模型方法与算法 边馥萍等 高教社 2005数学建模方法及其应用 韩中庚 高教社 2005中国大学生数学建模竞赛 第二版 李大潜 高教社 2001优化建模与LINDO LINGO软件 谢金星等 清华大学出版社 2005数学建模与数学实验 赵静等 高教社 2003数学模型案例选集 姜启源等编 高等教育出版社2006 参考资料 数学模型与数学建模 刘来福等 北京师范大学出版社 2005数学模型讲义 雷功炎 北京大学出版社 1994数学模型案例集 杨启帆等 高教社 2006经济管理数学模型案例教程 谭永基等 高教社 2006全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 1