高考数学总复习 第九单元 第五节 直线、平面垂直的判定及其性质课件.ppt

第五节直线 平面垂直的判定及其性质 线线垂直的证明及应用 如图所示 在侧棱垂直于底面的三棱柱中 ab bc d e分别为的中点 证明 ed为异面直线bb1与ac1的公垂线 分析证明ed和bb1 ac1同时垂直 先由平面几何知识证明bo ac 再证明bo 平面acc1a1 即ed 平面acc1a1 证明 规律总结线线垂直的证明 可以有许多途径 其一 利用某一平面上平面几何的关系 其二 利用线面垂直的性质 其三 利用面面垂直的性质等 变式训练1如图所示 在空间四边形abcd中 e f g h分别是边ab bc cd da的中点 对角线ac bd a且它们所成的角为30 1 求证 eg hf 2 求四边形efgh的面积 解析 线面垂直的判定与性质 已知pa 矩形abcd所在平面 m n分别是ab pc的中点 1 求证 mn cd 2 若 pda 45 求证 mn 平面pcd 分析 1 因为m为ab的中点 所以只要证 anb为等腰三角形 则利用等腰三角形的性质可得mn ab 即mn cd 2 已知mn cd 只需再证mn pc 易看出 pmc为等腰三角形 利用n为pc的中点 可得mn pc 则可得mn 平面pcd 证明 规律总结线面垂直问题的证明 其一般规律是 由已知联想性质 由求证联想判定 即根据已知条件去思考有关线面垂直的性质定理 根据欲证的结论去思考有关线面垂直的判定定理 往往需要将分析与综合进行结合 寻找已知条件和欲证目标间的联系 变式训练 如图所示 已知 abd和 acd都是以d为直角顶点的直角三角形 且ad bd cd bac 60 1 求证 bd 平面adc 2 若h是 abc的垂心 求证 h是d在平面abc内的射影 证明 1 adb adc 90 da db dc ab ac 又 bac 60 abc为正三角形 ab bc ac abd cbd adb bdc 90 bd dc 又bd ad bd ad d bd 面adc 2 h为 abc的垂心 ah bc于m 连接dm 如图所示 ad db ad dc ad 平面bdc ad bc bc 平面adm bc dh 同理 dh ab dh 面abc h为d在平面abc内的射影 面面垂直的判定与性质 如图所示 过s引三条长度相等但不共面的线段sa sb sc 且 asb asc 60 bsc 90 求证 平面abc 平面bsc 分析取bc的中点o 连接ao so 既可证明ao 平面bsc 又可证明so 平面abc 或证明二面角的平面角为直角 证明 规律总结面面垂直的证明问题 主要思路有两条 其一 用面面垂直的判定定理 即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线 其二 用面面垂直的定义 即证明两个平面所成的二面角是直二面角 把面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题 变式训练 2010 辽宁高考 如图所示 棱柱abc a1b1c1的侧面bcc1b1是菱形 b1c a1b 1 证明 平面ab1c 平面a1bc1 2 设d是a1c1上的点 且a1b 平面b1cd 求a1d dc1的值 解析 1 证明 侧面bcc1b1是菱形 b1c bc1 又已知b1c a1b 且a1b bc1 b b1c 平面a1bc1 又b1c 平面ab1c 平面ab1c 平面a1bc1 2 如图 设bc1交b1c于点e 连接de 则de是平面a1bc1与平面b1cd的交线 a1b 平面b1cd a1b de 又e是bc1的中点 d是a1c1的中点 即a1d dc1 1 垂直关系的应用 12分 在四棱锥p abcd中 底面abcd是矩形 ab 2 bc a 又侧棱pa 底面abcd 1 当a为何值时 bd 平面pac 试证明你的结论 2 当a 4时 求证 bc边上存在一点m 使得pm dm 3 若在bc边上至少存在一点m 使pm dm 求a的取值范围 分析 1 寻求bd 平面pac的条件 即bd垂直平面pac内两条相交直线 易知bd pa 问题归结为a为何值时 bd ac 从而知abcd为正方形 2 若pm dm 易知dm 面pam 得dm am 由ab 2 a 4知 m为bc的中点时得两个全等的正方形 满足dm am 1 当a 2时 四边形abcd为正方形 则bd ac 2分 pa 底面abcd bd 平面abcd bd pa 又 pa ac a 3分 bd 平面pac 故当a 2时 bd 平面pac 4分 2 证明 当a 4时 取bc边的中点m ad边的中点n 连接am dm mn 如图 5分 四边形abmn和四边形dcmn都是正方形 6分 amd amn dmn 45 45 90 7分即dm am 又pa 底面abcd pa dm dm 平面pam pm dm 9分故当a 4时 有bc边的中点m使pm dm 3 设m是bc边上符合题设的点m pa 底面abcd dm am 11分 m点应是以ad为直径的圆和bc边的交点 则ad 2ab 即a 4为所求 12分 规律总结无论是线面垂直还是面面垂直 都源自于线线垂直 在处理实际问题的过程中 可以先从题设条件入手 分析已有的垂直关系 再从结论入手分析所要证明的垂直关系 从而架起已知与未知之间的桥梁 变式训练 2010 济南3月模拟 如图 已知正方体abcd a1b1c1d1 过bd1的平面分别交棱aa1 cc1于e f两点 1 求证 a1e cf 2 若e f分别是棱aa1 cc1的中点 求证 平面ebfd1 平面bb1d1d 证明 1 由题意知 平面ebfd1与平面bcc1b1交于bf 与平面add1a1交于ed1 又平面bcc1b1 平面add1a1 bf ed1 同理be d1f 四边形ebfd1为平行四边形 d1e bf a1d1 cb d1e bf d1a1e bcf 90 rt a1d1e rt cbf a1e cf 2 ae a1e fc fc1 ab bc rt eab rt fcb be bf 又四边形ebfd1是平行四边形 故四边形ebfd1为菱形 连接ef bd1 a1c1 则ef bd1 在正方体abcd a1b1c1d1中 有b1d1 a1c1 b1d1 a1a b1d1 平面a1acc1 又ef 平面a1acc1 ef b1d1 又b1d1 bd1 d1 ef 平面bb1d1d 又ef 平面ebfd1 平面ebfd1 平面bb1d1d 1 证明空间线面垂直的思维策略 1 由已知联想性质 由求证寻找判定 即分析法与综合法相结合寻找证题思路 2 利用题设条件的性质适当添加辅助线 或面 是常用方法 3 正确选择判定定理和性质定理 用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论 2 垂直关系的相互转化线线垂直 线面垂直 面面垂直 3 证明或判断线面垂直的常见方法 1 利用线面垂直的判定定理 此种方法要注意平面内的两条直线必须相交 2 利用线线平行的性质 两平行线中一条垂直于一个平面 另一条也垂直于这个平面 3 利用面面垂直的性质 两平面垂直 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 4 利用面面平行的性质 一条直线垂直于两平行平面中的一个 必垂直于另一个平面 4 证明或判断面面垂直的常用方法 1 求证二面角是直二面角 2 利用面面垂直的判定定理 3 两个平行平面中 有一个垂直于第三个平面 则另一个也