高考数学总复习 第九单元 第六节 空间直角坐标系课件.ppt

第六节空间直角坐标系 分析解答本题可根据长方体的特征 建立适当的空间直角坐标系 然后对特殊点 可直接写出坐标 对于非特殊点 可找出它在xoy平面上的射影以确定其横 纵坐标 再找出它在z轴上的射影以确定其竖坐标 解如图所示 以da所在直线为x轴 以dc所在直线为y轴 以dd1所在直线为z轴 建立空间直角坐标系 长方体的棱长ad 3 dc ab 5 dd1 aa1 4 显然d 0 0 0 a在x轴上 a 3 0 0 c在y轴上 c 0 5 0 d1在z轴上 d1 0 0 4 b在xoy平面内 b 3 5 0 a1在xoz平面内 a1 3 0 4 c1在yoz平面内 c1 0 5 4 由b1在xoy平面内的射影为b 3 5 0 b1的横坐标为3 纵坐标为5 b1在z轴上的射影为d1 0 0 4 b1的竖坐标为4 b1的坐标为 3 5 4 规律总结 1 建立空间直角坐标系时 应遵循以下原则 让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内 充分利用几何图形的对称性 2 求某点的坐标时 一般先找这一点在某一坐标平面的射影 确定其两个坐标 再找出它在另一轴上的射影 或者通过它到这个平面的距离加上正负号 确定第三个坐标 变式训练1右图为一个正方体截下的一角p abc pa a pb b pc c 建立如图坐标系 则 abc的重心g的坐标为 解析 答案 空间点的对称问题 求点a 1 2 1 关于x轴及坐标平面xoy的对称点b c的坐标 以及b c两点间的距离 分析通过点a向x轴及平面xoy作垂线 然后再写坐标 解过a作an x轴于n 并延长到点b 使nb an 则a与b关于x轴对称且b 1 2 1 过a作am xoy交平面于m 并延长到c 使cm am 则a与c关于坐标平面xoy对称且c 1 2 1 a 1 2 1 关于x轴的对称点为b 1 2 1 a 1 2 1 关于坐标平面xoy的对称点为c 1 2 1 规律总结 1 关于哪条轴对称 则哪个坐标不变 另两个坐标变为原来坐标的相反数 2 关于原点对称 三个坐标都变为原坐标的相反数 变式训练 在空间直角坐标系中 点m的坐标是 4 5 6 则点m关于y轴的对称点在坐标平面xoz上的射影的坐标为 a 4 0 6 b 4 5 6 c 4 0 6 d 4 5 0 答案 c 解析 点关于y轴的对称点应该是x z坐标与原坐标互为相反数 y坐标不变 点在平面xoz上的射影应该是x z坐标不变 y坐标变为0 空间两点间的距离公式的简单应用 12分 如图所示 已知点a 1 1 0 对于z轴正半轴上任意一点p 在y轴上是否存在一点b 使得pa ab恒成立 若存在 求出b点的坐标 若不存在 说明理由 分析假设存在满足题设条件的点 依据pa ab 得到pa2 ab2 pb2 再由两点间距离公式 得关于待求量的方程 解方程 若有解 则存在 若无解 则不存在 解设p 0 0 c b 0 b 0 对于z轴正半轴上任意一点p 假设在y轴上存在一点b 使得pa ab恒成立 则 pa 2 ab 2 pb 2 3分 0 1 2 0 1 2 c 0 2 1 0 2 1 b 2 0 0 2 0 0 2 0 b 2 c 0 2 6分即3 b 1 2 b2 8分解得b 2 10分 存在这样的点b 当点b坐标为 0 2 0 时 pa ab恒成立 12分 规律总结在空间直角坐标系中 利用距离可以证明垂直问题 此外 用距离还可以解决空间三点共线问题和求简单的点的轨迹 其核心就是利用两点间的距离公式 建立等量关系或方程 变式训练 已知三点a 1 1 2 b 1 2 1 c a 0 3 是否存在实数a 使a b c共线 若存在 求出a的值 若不存在 说明理由 解析 bc ab 若a b c三点共线 有 bc ac ab 或 ac bc ab 若 bc ac ab 整理得5a2 18a 19 0 此方程无解 若 ac bc ab 整理得5a2 18a 19 0 此方程无解 不存在实数a 使a b c共线 1 空间直角坐标系 右手直角坐标系 1 右手直角坐标系的建立规则 x轴 y轴 z轴互相垂直 分别指向右手的拇指 食指 中指 2 已知点的坐标p x y z 作点的方法与步骤 沿x轴正方向 x 0时 或负方向 x0时 或负方向 y0时 或负方向 z 0时 移动 z 个单位 即可作出点 3 已知点的位置求坐标的方法 过点p作三个平面分别与x轴 y轴 z轴垂直于a b c 点a b c在x轴 y轴 z轴的坐标分别是a b c 则 a b c 就是点p的坐标 2 一些特殊点的坐标表示在x y z轴上的点分别可以表示为 a 0 0 0 b 0 0 0 c 在坐标平面xoy xoz yoz内的点分别可以表示为 a b 0 a 0 c 0 b c 3 关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标的关系点p a b c 关于x轴的对称点的坐标为 a b c 点p a b c 关于y轴的对称点的坐标为 a b c 点p a b c 关于z轴的对称点的坐标为 a b c 点p a b c 关于坐标平面xoy的对称点为 a b c 点p a b c 关于坐标平面xoz的对称点为 a b c 点p a b c 关于坐标平面yoz的对称点为 a b c 点p a b c 关于原点的对称点 a b c 4 中点坐标公式已知空间两点p x1 y1 z1 q x2 y2 z2 则线段pq的中点坐标为 5 利用空间两点间的距离公式 可以解决的几类问题 1 判断两条相交直线是否垂直 2 判断空间三点是否共线 3 得到一些简单的空间轨迹方程 已知点a 3 1 1 点b 2 2 3 在x y z轴上分别取点l m n 使它们与a b两点等距离 错解设l点的坐标为 x y z 由题意得la lb 由两点间的距离公式得 x 3 2 y 1 2 z 1 2 x 2 2 y 2 2 z 3 2 即x 3y 2z 3 0 有无数解 故l有无数个位置 同理m n也有无数个位置 错解分析对于坐标轴上点的坐标特征不明确 没有充分利用坐标轴上点的特征 事实上 设x轴上的点l的坐标为 x 0 0 由题意可得关于x的一元方程 从而解得x的值 类似可求得点m n