高中数学第二讲直线与园的位置关系五与圆有关的比例线段学案含解析.docx

五 与圆有关的比例线段1相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等如图，弦AB与CD相交于P点，则PAPBPCPD.2割线有关定理(1)割线定理：文字叙述：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等图形表示：如图，O的割线PAB与PCD，则有PAPBPCPD.(2)切割线定理：文字叙述：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；图形表示：如图，O的切线PA，切点为A，割线PBC，则有PA2PBPC.3切线长定理(1)文字叙述：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角(2)图形表示：如图，O的切线PA，PB，则PAPB，OPAOPB.相交弦定理如图，已知在O中，P是弦AB的中点，过点P作半径OA的垂线分别交O于C，D两点，垂足是点E.求证：PCPDAEAO.由相交弦定理知PCPDAPPB，又P为AB的中点，PCPDAP2.在RtPAO中再使用射影定理即可连接OP.P为AB的中点，OPAB，APPB.PEOA，AP2AEAO.PDPCPAPBAP2，PDPCAEAO.相交弦定理的运用多与相似三角形联系在一起，也经常与垂径定理、射影定理、直角三角形的性质相结合证明某些结论1已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12 cm和16 cm两段，第二条弦的长为32 cm，求第二条弦被交点分成的两段长解：设第二条弦被交点分成的一段长为x cm，则另一段长为(32x) cm.由相交弦定理得x(32x)1216，解得x8或24，故另一段长为32824(cm)或32248(cm)，所以另一条弦被交点分成的两段长分别为8 cm和24 cm.2如图，已知AB是O的直径，OMON，P是O上的点，PM，PN的延长线分别交O于Q，R.求证：PMMQPNNR.PMMQPNNR.切割线定理如图，AB是O的一条切线，切点为B，ADE，CFD，CGE都是O的割线，已知ACAB.证明：(1)ADAEAC2；(2)FGAC.(1)利用切割线定理；(2)证ADCACE.(1)AB是O的一条切线，ADE是O的割线，由切割线定理得ADAEAB2.又ACAB，ADAEAC2.(2)由(1)得，又EACDAC，ADCACE.ADCACE.又ADCEGF，EGFACE.FGAC.切割线定理常常与弦切角定理、相交弦定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形结合在一起解决数学问题，有时切割线定理利用方程进行计算、求值等3.如图，点P是O外一点，PAB为O的一条割线，且PAAB，PO交O于点C，若OC3，OP5，则AB的长为()A. B2C. D.解析：选B设PAABx，延长PO交圆于点D.因为PAPBPCPD，OC3，OP5，所以PC2，PD8.所以x2x16，所以x2.4如图，PA切O于点A，割线PBC交O于点B，C，APC的角平分线分别与AB，AC相交于点D，E.求证：(1)ADAE；(2)AD2DBEC.证明：(1)因为AEDEPCC，ADEAPDPAB，PE是APC的角平分线，所以EPCAPD，因为PA是O的切线，所以CPAB.所以AEDADE.故ADAE.(2)PCEPAD.PAEPBD.PA是切线，PBC是割线PA2PBPC.故.又ADAE，故AD2DBEC.切线长定理如图，AB是O的直径，C是O上一点，过点C的切线与过A，B两点的切线分别交于点E，F，AF与BE交于点P.求证：EPCEBF.EA，EF，FB是O的切线，EAEC，FCFB.EA，FB切O于A，B，AB是直径，EAAB，FBAB.EAFB.CPFB.EPCEBF.运用切线长定理时，注意分析其中的等量关系，即切线长相等，圆外点与圆心的连线平分两条切线的夹角，然后结合三角形等图形的有关性质进行计算与证明5两个等圆O与O外切，过O作O的两条切线OA，OB，A，B是切点，则AOB等于()A90 B60 C45 D30解析：选B如图，连接OO，OA.OA为O的切线，OAO90.又O与O为等圆且外切，OO2OA.sin AOO.AOO30.由切线长定理知AOB2AOO60.6.如图，P为圆O外一点，PA，PB是圆O的两条切线，A，B为切点，OP与AB相交于点M，且点C是上一点求证：OPCOCM.证明：连接OB，由切线长定理，得PAPB，PMAB，PO平分APB.又PBOB，在RtOPB中，OB2OPOM，OBOC，OC2OPOM，即.OCPOMC.OPCOCM.课时跟踪检测(十)一、选择题1在半径为12 cm的圆中，垂直平分半径的弦的长为()A3 cm B27 cm C12 cm D6 cm解析：选C法一：如图所示，OA12，CD为OA的垂直平分线，连接OD.在RtPOD中，PD6，CD2PD12(cm)法二：如图，延长AO交O于M，由相交弦定理得PAPMPCPD.又CD为线段OA的垂直平分线，PD2PAPM.又PA6，PM61218，PD2618.PD6.CD2PD12(cm)2如图，CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB，CE分别切圆O2于B，E两点若160，265，判断AB，CD，CE的长度，下列关系正确的是()AABCECD BABCECDCABCDCE DABCDCE解析：选A因为160，265，所以ABC18012180606555，所以21ABC，所以ABBCAC.因为CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB，CE分别切圆O2于B，E两点，所以ACCD，BCCE，所以ABCECD.3如图，ACB90，CDAB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则()ACECBADDB BCECBADABCADABCD2 DCEEBCD2解析：选A在直角三角形ABC中，根据直角三角形射影定理可得CD2ADDB，再根据切割线定理可得CD2CECB，所以CECBADDB.4.如图，已知PT切O于点T，TC是O的直径，割线PBA交TC于点D，交O于B，A(B在PD上)，DA3，DB4，DC2，则PB等于()A20 B10C5 D8解析：选ADA3，DB4，DC2，由相交弦定理得DBDADCDT，即DT6.TC为O的直径，所以PTDT.设PBx，则在RtPDT中，PT2PD2DT2(4x)236.由切割线定理得PT2PBPAx(x7)，(4x)236x(x7)，解得x20，即PB20.二、填空题5AB是O的直径，弦CDAB，垂足为M，AM4，BM9，则弦CD的长为_解析：根据相交弦定理，AMBM2，所以6，CD12.答案：126.如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，PBADBA.若ADm，ACn，则AB_.解析：因为直线PB是圆的切线，所以PBAC.又因为PBADBA，所以DBAC.又因为AA，所以ABDACB，所以，所以AB.答案： 7如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD，OAP30，则CP_.解析：点P为弦AB的中点，OPAB.OAP30，OAa，PAa，PBa.由相交弦定理，得PAPBPDCP.CPa.答案：a三、解答题8.如图，已知PA，PB，DE分别切O于A，B，C三点，PO13 cm，O半径r5 cm.求PDE的周长解：PA，PB，DE分别切O于A，B，C三点，DADC，EBEC.PDE的周长为PAPB2PA.连接OA，则OAPA.PA12(cm)PDE的周长为24 cm.9如图，BC是半圆的直径，O是圆心，P是BC延长线上一点，PA切半圆于点A，ADBC于点D.(1)若B30，AB与AP是否相等？请说明理由；(2)求证：PDPOPCPB；(3)若BDDC41，且BC10，求PC的长解：(1)相等连接AO，如图所示PA是半圆的切线，OAP90.OAOB，BOAB.AOD2B60.APO30.BAPO.ABAP.(2)证明：在RtOAP中，ADOP，PA2PDPO.PA是半圆的切线，PA2PCPB.PDPOPCPB.(3)BDDC41，且BC10，BD8，CD2.OD3.OA2ODOP，253OP.OP.PC5.10.如图，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径大圆的弦AB，BE分别与小圆相切于点C，F.AD，BE相交于点G，连接BD.(1)求BD的长；(2)求ABE2D的度数；(3)求的值解：(1)连接OC，因为AB是小圆的切线，C是切点，所以OCAB，所以C是AB的中点因为AD是大圆的直径，所以O是AD的中点所以O