高考数学总复习 第五单元 第八节 正、余弦定理的应用举例课件.ppt

第八节正 余弦定理的应用举例 解斜三角形 已知 abc中 三个内角a b c 对应三边长分别为a b c a x b 2 b 45 若该三角形有两解 求x的取值范围 分析要使三角形有两解 即角a有两解 由于b 45 所以a b 角a有满足条件的锐角和钝角两种情形 解根据正弦定理 x 2sina 三角形有两解 而且45 b a 45 a 135 a 90 sina 1 2 x 2 x的取值范围为 2 2 规律总结在应用正弦定理和余弦定理解斜三角形时 有可能出现无解 一解 两解的情形 解的个数 需要依据三角形的性质进行判断 常用的三角形的性质有 大角对大边 三角形的构成条件等 变式训练1在 abc中 a b的对边分别是a b 且a 30 a 2 b 4 那么满足条件的 abc a 有一个解b 有两个解c 无解d 不能确定 解析 由 得sinb 又b a b a 故有两解 故选b 答案 b 正 余弦定理在平面几何问题中的应用 如图所示 a b是圆o上的两点 点c是圆o与x轴正半轴的交点 已知a 3 4 且点b在劣弧ca上 aob为正三角形 1 求cos coa的值 2 求 bc 的值 分析 1 用余弦函数的定义求解 2 借助 1 的结论 用余弦定理解三角形可求边长 解 1 由题意可知 x 3 y 4 且圆半径r oa 5 根据三角函数的定义cos coa 2 在 boc中 bc 2 ob 2 oc 2 2 ob oc cos boc 25 25 50cos boc 50 50cos boc 又 cos coa sin coa cos boc cos cos coa sin coa bc 2 50 5 4 3 65 20 bc 2 规律总结解决平面几何中的长度 面积和角度问题 经常需要借助正余弦定理寻找解题途径 这是正余弦定理的重要应用之一 变式训练 已知圆内接四边形abcd的边长分别为ab 2 bc 6 cd da 4 求四边形abcd的面积 解析 如图所示 连接bd 则有四边形abcd的面积 s s abd s cdb ab adsina bc cdsinc a c 180 sina sinc s ab ad bc cd sina 2 4 6 4 sina 16sina 由余弦定理 在 abd中 bd2 ab2 ad2 2ab ad cosa 20 16cosa 在 cdb中 bd2 cb2 cd2 2cb cd cosc 52 48cosc 20 16cosa 52 48cosc cosc cosa 64cosa 32 cosa 又 0 a 180 a 120 s 16sin120 8 运用正 余弦定理解决测量问题 如图所示 甲船以每小时30海里的速度向正北方航行 乙船按固定方向匀速直线航行 当甲船位于a1处时 乙船位于甲船的北偏西150 方向的b1处 此时两船相距20海里 当甲船航行20分钟到达a2处时 乙船航行到甲船的北偏西120 方向的b2处 此时两船相距10海里 问 乙船每小时航行多少海里 分析根据已知条件判断 a1a2b2的性质 先计算a1a2与 a1a2b2的大小 可以发现 a1a2b2是等边三角形 在 a1b2b1中 求b1b2的长度 最后求乙船的速度 解如图所示 连接a1b2 由已知a2b2 10 a1a2 30 10 a1a2 a2b2 又 a1a2b2 180 120 60 a1a2b2是等边三角形 a1b2 a1a2 10 由已知 a1b1 20 b1a1b2 105 60 45 在 a1b2b1中 由余弦定理 b1b22 a1b12 a1b22 2a1b1 a1b2 cos45 202 10 2 2 20 10 200 b1b2 10 因此 乙船的速度为 60 30 海里 小时 规律总结解决测量问题的过程先要正确作出图形 把实际问题中的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边 角 通常会遇到两种情况 已知量与未知量全部集中在一个三角形中 此时应直接利用正弦定理或余弦定理 已知量与未知量涉及两个或几个三角形 这时需要选择条件足够的三角形优先研究 再逐步在其余的三角形中求出问题的解 变式训练3 2010 福建高考 改编 某港口o要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上 在小艇出发时 轮船位于港口o北偏西30 且与该港口相距20海里的a处 并正以30海里 小时的航行速度沿正东方向匀速行驶 假设该小艇沿直线方向以v海里 小时的航行速度匀速行驶 经过t小时与轮船相遇 1 若希望相遇时小艇的航行距离最小 则小艇航行速度的大小应为多少 2 为保证小艇在30分钟内 含30分钟 能与轮船相遇 试确定小艇航行速度的最小值 解析 1 设相遇时小艇的航行距离为s海里 则s 故当t 时 smin 10 v 30 即小艇以30海里 小时的速度航行 相遇时小艇的航行距离最小 2 设小艇与轮船在b处相遇 如图所示 由题意可得 vt 2 202 30t 2 2 20 30t cos 90 30 化简得 利用正 余弦定理研究实际问题中的几何图形 12分 如图所示 某住宅小区的平面图呈扇形aoc 小区的两个出入口设置在点a及点c处 小区里有两条笔直的小路ad dc 且拐弯处的转角为120 已知某人从c沿cd走到d用了10分钟 从d沿ad走到a用了6分钟 若此人步行的速度为每分钟50米 求该扇形的半径oa的长 精确到1米 分析可以考虑两种办法 其一 设出半径r 在 cdo中 用余弦定理得方程 从中解得r 其二 在 adc中 用余弦定理求ac 再作oh ac交ac于h 在rt oha中求半径oa 解方法一 设该扇形的半径为r米 由题意 得cd 500 米 da 300 米 cdo 60 4分在 cdo中 cd2 od2 2 cd od cos60 oc2 6分即5002 r 300 2 2 500 r 300 r2 9分解得r 445 米 12分 方法二 如图 连接ac 作oh ac交ac于h 2分由题意 得cd 500 米 ad 300 米 cda 120 4分在 acd中 ac2 cd2 ad2 2 cd ad cos120 5002 3002 2 500 300 7002 ac 700 米 6分cos cad 9分在rt aho中 ah 350 米 cos hao oa 445 米 12分 规律总结解决实际问题中的几何问题 首先要在准确理解题意的基础上 把实际问题转化为平面几何问题 再根据已知条件与求解目标 把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中 建立一个解斜三角形的数学模型 通过求解数学模型 得出实际问题的解 变式训练4为了立一块广告牌 要制造一个三角形的支架 如图所示 要求 acb 60 bc的长度大于1米 且ac比ab长0 5米 为了广告牌稳固 要求ac的长度越短越好 求ac最短为多少米 且当ac最短时 bc长度为多少米 解析 设bc的长度为x米 ac的长度为y米 则ab的长度为 y 0 5 米 在 abc中 依余弦定理得 ab2 ac2 bc2 2ac bccos acb 即 y 0 5 2 y2 x2 2yx 化简得y x 1 x2 x 1 x 1 0 y x 1 2 2 当且仅当x 1 即x 1 时 y有最小值2 1 方向角一般是指以观测者的位置为中心 将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角 一般指锐角 通常表达成北偏东 度 北偏西 度 南偏东 度 南偏西 度 2 正余弦定理应用举例常见题型 1 解斜三角形 2 测量问题 距离 高度 角度 面积 航海和物理问题等 3 解三角形应用题的方法步骤 1 读懂题意 理解背景 理清几个量的关系 明确已知与所求 2 据题意作图 将实际问题转化为解三角形的模型 3 恰当选择正余弦定理解决问题 4 将三角形的解还原为实际问题 在 abc中 如果ab ac 求函数y cosa cosb cosc的取值范围 错解设三个内角a b c对应的三边长分别为a b c ab ac b c b c 由余弦定理得 y cosa