第6章-非线性系统分析(用)

第6章非线性系统分析 6 1概述 前述系统都是线性系统 即满足叠加性和齐次性 严格地说 由于控制元件或多或少地带有非线性特性 所以实际的自动控制系统都是非线性系统 一些系统作为线性系统来分析 这是由于 系统的非线性不明显 可近似为线性系统 某些系统的非线性特性虽然较明显 但在某些 一定条件下 可进行线性化处理 作为线性系统来分析 这类系统统称为非本质非线性系统 但当系统的非线性特征明显且不能进行线性化处理时 就必须采用非线性系统理论来分析 这类非线性称为本质非线性 分析非线性系统的两种常用方法 相平面法和描述函数法 如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件或环节 则此系统即为非线性系统 如系统不能进行线性化处理 或其时域响应不能用线性微分方程 一般只能用非线性微分方程来描述 具有非线性数学模型 来描述 则称为非线性系统 或称为本质非线性系统 这样的系统有以下特点 一 非线性系统的特点 线性系统与非线性系统相比 其稳态和动态特性有着显著差别 1 瞬态响应线性系统瞬态响应曲线的形状与输入信号大小无关 与初始条件无关 如果某系统在某初始条件下的响应过程为衰减振荡 则其在任何输入信号及初始条件下该系统的暂态响应均为衰减振荡形式 非线性系统在不同初始条件下的响应 但非线性系统可能会出现某一初始条件下的响应过程为单调衰减 而在另一初始条件下则为衰减振荡 如图所示 而非线性系统瞬态响应曲线的形状除与系统结构和参数有关外 还与输入信号大小 初始条件有密切关系 2 稳定性线性系统的稳定性仅和系统的结构和参数有关 而和系统的输入信号大小 初始状态无关 而非线性系统的稳定性 除了和系统的结构 参数有关外 还与系统的初始状态及输入信号大小有密切关系 这一点非常重要 即可能在某个初始条件下稳定 而在另一个初始条件下系统可能不稳定 1 当初始条件xo 1时 1 xo 0 上式具有负的特征根 其暂态过程按指数规律衰减 该系统稳定 2 当xo 1时 1 xo 0 上式的特征根为零 其暂态过程为一常量 3 当xo 1时 1 xo 0 上式的特征根为正值 系统暂态过程指数规律发散 系统不稳定 暂态过程如图所示 非线性系统的稳定性 如某系统数学模型为非线性方程 3 自持振荡 自激振荡 线性系统在输入信号作用下才有输出 输出响应有稳定和不稳定两种形式 线性二阶系统只在阻尼比 0时给予阶跃作用 将产生周期性响应过程 这时系统处于临界稳定状态 实际上 一旦该系统参数发生微小变化 该周期性状态就无法维持 要么发散至无穷大 要么衰减至零 信号作用下 由系统结构和参数所确定的一种具有固定频率和振幅的振荡状态 通常是一种非正弦的周期振荡 自持振荡是人们特别感兴趣的一个问题 对它的研究有很大的实际意义 非线性系统的自振荡 而非线性系统中 除了稳定和不稳定运动形式外 还有一个重要特征 就是系统可能发生自持振荡 在没有周期 4 多值响应和跳跃谐振 线性系统中 输入信号为正弦信号时系统输出是同频率的正弦信号 仅仅是幅值和相位不同 而非线性系统在正弦信号作用下的响应则很复杂 一般不是正弦信号 但仍是周期信号 有时输出信号频率为输入频率的倍频 分频等现象 包含有各次谐波分量 存在跳跃谐振或多值响应 非线性系统响应还有其他与线性系统不同的现象 无法用线性系统的理论来解释 在一些情况下 引入某些非线性环节使系统获得比线性系统更为优异的性能 实际上大多数智能控制都属于非线性控制范畴 由于非线性系统的特点 线性系统的分析方法均不能采用 非线性系统的分析方法有相平面法和描述函数法 相平面法是一种图解分析法 描述函数法是一种近似分析法 静态非线性特性中 死区特性 饱和特性 继电特性 间隙特性是最常见的 也是最简单 一个单输入单输出静态非线性特性的数学描述为 6 2常见非线性特性 1 死区特性 很小时 作为线性特性处理 不灵敏区特性 当输入信号在零位附近变化时 系统没有输出 当输入信号大于某一数值时才有输出 且与输入呈线性关系 各类液压阀的正重叠量 系统的库伦摩擦 测量变送装置的不灵敏区 调节器和执行机构的死区 弹簧预紧力 等等 较大时 将使系统静态误差增加 系统低速不平滑性 死区或不灵敏区 理想死区特性的的数学描述为 死区特性可能给控制系统带来不利影响 它会使控制的灵敏度下降 稳态误差加大 死区特性也可能给控制系统带来有利的影响 有些系统人为引入死区以提高抗干扰能力 当输入信号超出其线性范围后 输出信号不再随输入信号变化 而保持恒定 放大器的饱和输出特性磁饱和元件的行程限制功率限制等等 2 饱和特性 理想饱和特性的数学描述为 饱和特性的存在 将使系统的开环增益有所降低 对系统的稳定性有利 出于对系统安全性的考虑 常常加入各种限幅装置 其特性也属饱和特性 继电特性顾名思义就是继电器所具有的特性 继电特性有双位特性 三位特性 继电特性还带有滞环 当然 不限于继电器 其它装置如果具有类似的非线性特性 我们也称之为继电特性 比如 电磁阀 斯密特触发器等 分析继电特性有十分重要的意义 因为采用继电器 电磁阀等元件的的控制系统比比皆是 例如大多数家用电冰箱 空调就是继电器控制系统 3 继电特性 各种继电器特性 理想继电器 具有饱和死区的单值继电器 具有滞环的继电器 具有死区和滞环的继电器包含有死区 饱和 滞环特性 继电特性的数学描述为 理想继电器特性 具有饱和死区的单值继电器 具有滞环的继电器 具有死区和滞环的继电器 4 间隙特性 元件开始运动输入信号a以后 输出随输入线性变化 元件反向运动保持在运动方向发生变化瞬间的输出值 输入反向变化 2a 输出随输入线性变化 齿轮传动中的齿隙 液压传动中的油隙 输入输出之间具有多值关系 间隙特性的数学描述为 间隙 输出相位滞后 减小系统的稳定裕量 控制系统的动态特性和稳态特性变坏 自持振荡 一般来说 间隙的存在对系统总是不利的 1 首先它使系统的稳态误差扩大 2 使系统的动态性能变差 使振荡加剧 稳定性变差 在不同输入幅值下 元件或环节具有不同的增益 5 非线性增益 大偏差时 具有较大增益 加快系统响应 小偏差时 具有较小增益 提高零位附近的系统稳定性 6 3描述函数法 描述函数法主要用于分析非线性系统稳定性 自持振荡特性及消除自振荡的方法 虽然是一种近似方法 但对常见实际非线性系统而言 分析结果基本满足工程需要 在非线性系统分析及设计中得到了广泛应用 系统开环部分可分离为 非线性环节N A 线性部分G s 6 3 1描述函数的定义设非线性系统的结构图如图所示 假定 非线性环节不是时间的函数 非线性环节特性是斜对称的 系统的线性部分具有较好的低通滤波性能 正弦信号输入时 输出不含直流分量 非线性环节用正弦函数作为输入信号 输出可忽略所有高于一次的谐波分量 N A 为非线性环节 它的输出量与输入量之间为非线性函数若设其输入为正弦信号 X t ASin t 则其输出一般不是正弦信号 但仍是一个周期信号 其傅立叶级数展开式为 式中 这表明 非线性环节的输出信号y t 中含有基波及各高次谐波 通常谐波的次数越高 其相应的傅立叶系数越小 即相应的谐波分量幅值就越小 如果系统线性部分G s 具有良好的低通滤波特性 则高次谐波分量通过线性部分后将被衰减到忽略不计 可以近似认为当输入为正弦信号x t 时 只有y t 的基波分量沿闭环反馈回路送至比较点 其高次谐波分量可忽略不计 即 式中 基波幅值基波初相位 此时 非线性环节相当于一个对正弦输入信号的幅值及相位进行变换的环节 可以仿照线性系统频率特性的概念建立非线性特性的等效幅相特性 定义 正弦信号作用下非线性环节输出量的基波分量与其输入正弦量的复数比即为非线性环节的描述函数 其数学表达式为 式中 N A 非线性环节的描述函数A 正弦输入信号的振幅 非线性环节输出基波分量的振幅 非线性环节输出基波分量相对于输入信号的相位 描述函数一般为输入信号振幅的函数 故记作N A 当非线性元件中包含储能元件时 N同时为输入信号振幅及频率的函数 记作N A 6 3 2典型非线性环节的描述函数 1 死区特性的描述函数 考虑图示死区特性 当输入为正弦函数时 输出如图所示 特性是单值奇对称的 所以 并且 2 理想继电器特性的描述函数 傅氏展开 斜对称 奇函数 A0 An 0 偶次对称性 3 一般非线性 描述函数不仅适合于分段线性系统 也适合于一般非线性系统 只要能求出非线性环节的描述函数 我们举一个例子 因为它是单值 奇对称的 先求出 所以 饱和特性 死区特性 死区饱和特性 常见非线性环节的描述函数 非线性增益I 非线性增益II 理想继电器特性 死区继电器特性 滞环继电器特性 间隙 滞环特性 和非线性特性求出输出 然后由积分式求出 最后由求出 概括起来 求描述函数的过程是 先根据已知的输入 此外 描述函数也可以由实验近似获得 当系统具有良好的低通特性时 给系统施加正弦信号 其输出也近似为正弦信号 改变输入正弦信号的幅值 记录输出信号的幅值和相位 即可近似出 考虑如图所示的非线性系统 假设线性动态部分具有良好8的低通特性 那么非线性特性可以用描述函数N A 来表示 为了引入频率特性分析法 我们还假设G s 是最小相位环节 对于非线性系统 主要分析是稳定性 自持振荡产生的条件 自持振荡的幅值和频率的确定及如何消除自持振荡 6 3 4描述函数分析法 1 非线性系统的稳定性 根据线性系统稳定性的频率特性法 将频率特性推广到图示的非线性系统 则其闭环系统频率特性为 特征方程为 因为是最小相位环节 根据线性系统的Nyquist判据 闭环系统是否稳定取决于在复平面上曲线是否包围实轴上的 1 j0 点 由上式得 与线性系统的Nyquist判据相比 1 N A 相当于线性系统中的临界稳定点 1 j0 只是在非线性系统中 临界不是一个点 而是一条曲线 Nyquist判据判别非线性系统的稳定性 当G jw 为最小相位系统时 1 如果在复平面上 1 N A 曲线不被G j 曲线所包围 则非线性系统是稳定的 2 如果在复平面上 1 N A 曲线被G j 曲线所包围 则非线性系统不稳定 3 如果在复平面上 1 N A 曲线与G j 曲线相交 非线性系统处于临界状态 则在非线性系统中产生周期性振荡 稳定或不稳定 稳定自持振荡的振幅由 1 N A 曲线交点处对应的A值决定 振荡的频率由G j 曲线交点处的 值决定 2 自持振荡 非线性系统的自持振荡是在没有外界输入信号作用下 系统产生的具有固定频率和振幅的稳定的等幅运动 若满足即 系统产生自持振荡 如果不止一组参数满足 则系统存在几个等幅运动 稳定或不稳定的自持振荡 描述函数的负倒 当微小扰动使振幅A增大到c点时 c点 1 j0 被G j 轨迹包围 系统不稳定 振幅A继续增大 不返回到a 当微小扰动使振幅A减小到d点 d点 1 j0 未被G j 轨迹包围 系统稳定 振幅A继续减小 不返回到a a点为不稳定自持振荡点 分析法 当微小扰动使振幅A增大到e点时 e点 1 j0 未被G j 轨迹包围 系统稳定 振幅A减小 返回到b 当微小扰动使振幅A减小到f点 f点 1 j0 被G j 轨迹包围 系统不稳定 振幅A增大 返回到b b点为稳定自持振荡点 具有饱和特性的非线性系统 A a时 A 时 G1 j 轨迹不与负倒描述函数轨迹相交 不存在自持振荡 G2 j 轨迹与负倒描述函数轨迹相交 b点 稳定自振交点 bAb 3 非线性系统描述函数分析 具有死区特性的非线性系统 A a时 A 时 G1 j 轨迹不与负倒描述函数轨迹相交 不存在自持振荡 G2 j 轨迹与负倒描述函数轨迹相交 b点 不稳定自振交点 具有理想继电器特性的非线性系统 负倒描述函数轨迹为整个负实轴 2 如有数个交点 必有稳定的自振交点 1 如只有一个交点 必为稳定的自振交点 具有滞环继电器特性的非线性系统 负倒描述函数为第三象限内平行于横轴的一组直线 3 单边滞环宽度h增加 负倒描述函数轨迹向下移动 自持振荡频率将低 振幅增大 2 如有数个交点 必有稳定的自振交点 1 如只有一个交点 必为稳定的自振交点 h2 h1 例如图所示系统试求 当K 10时 该系统是否存在自持振荡 如果存在则求出自持振荡的振幅和频率 当K为何值时 系统处于稳定边界状态 非线性饱和特性参数a 1 k 2 相交于稳定自振交点m A a时 A 时 负倒描述函数轨迹为实轴上 0 5 a A 0 24 A 4 38 A 4 38 稳定自振交点m 临界状态下 轨迹在负实轴上的交点n K 3 非线性系统的简化非线性系统的描述函数法建立在系统为 当系统有多个非线性环节和多个线性环节组合而成时 必须通过等效变换化为典型结构 等效变换原则为 在r t 0的条件下 根据非线性环节的串 并联简化非线环节为一个等效环节 再保持等效非线性环节的输入输出关系不变 简化线性部分 3 非线性系统的简化等效变换的原则是在条件下 根据非线性特性的串 并联 简化非线性部分为一个等效非线性环节 然后简化线性部分 1 非线性特性的并联由描述函数定义 并联等效非线性特性的描述函数为各非线性特性描述函数的代数和 见下图 2 非线性特性的串联若两个非线性环节串联 可采用图解法简化 以死区特性和死区饱和特性串联简化为例 通常 先将两个非线性特性按下张图 a b 形式放置 就可以确定等效非线性的参数 3 线性部分的等效变换 6 4非线性系统的校正 改变G j 改变N A K 试分析系统稳定性 如果系统出现自持振荡 如何消除之 K 20 死区继电器特性M