关于泰勒公式及其应用的探究---.docVIP

关于泰勒公式及其应用的探究姓名：* 学号：20074051* 指导教师：*摘要:本文对泰勒公式及其在高等数学上的几个重要应用与技巧进行了探究，比如在求极限、近似计算、等式和不等式的证明、求某点处函数的高阶导数的应用、研究函数性质以及求行列式值等上的应用.其中每一应用都给出了相应的实例，这样有助于我们加深对每一应用的理解与掌握，进而能够很好地把泰勒公式这一多功能数学工具应用到解题过程中.关键词:泰勒定理 麦克劳林公式 应用Study on the Taylor formula and its applicationAbstract:This paper make researches in Taylor formula and several important applications and skills in higher mathematics, such as calculation of limit, approximate calculation, proof of equation and inequality, solutions of function of higher-order derivative, study of properties of function, the value of determinant application, etc. Each of these applications are given the corresponding instance, and this helps us to deepen the understanding of each application, then we can put the multi-function mathematical tools of Taylor formula into application of problem-solving process.Key Words:Taylors theorem; Maclaurins formula; application. 1.引言我们知道只能使用加、减、乘三种运算的多项式是初等函数里最简单的函数,可想而之知假如能用多项式函数初近似代替初等超越函数、无理函数以及有理分式函数，并且又在误差允许范围内的情况下，那么这将对函数值的近似计算以及函数性态的研究都有着很是重要的意义.由此想到一个函数在满足什么样条件下才能使用多项式函数来近似代替呢？所求函数与替代它的多项式函数的各项系数的关系如何呢？两者之间的误差又将怎么样呢？学习了数学分析，我们了解到泰勒公式恰好是利用了一种叫“无限逼近”思想近似地把某些繁杂的函数表示成了简单的多项式函数,掌握了这种化繁为简的思想对于我们分析和研究其他数学问题就像搬运重物时使用的一个有力杠杆.2.研究内容2.1 预备知识2.1.1 泰勒公式（1）带有佩亚诺（Peano）型余项的泰勒公式对于一个函数若能满足以下两个条件：在点的某领域有直到阶的连续函数导数；存在.则可以表示为：（2）带有拉格朗日（Lagrange）型余项的泰勒公式我们知道对于带有佩亚诺型余项的泰勒公式,需要引起注意的有两点：其一，适用范围很小，它只适用于那些“自变量必须充分接近于点”的函数，即带有佩亚诺型余项的泰勒公式只“在小范围内”刻画了函数；由此我们更想“在大范围内”也能那样做；其二，得到的误差 也应该有清晰、明确的表达式，那样才便于我们求解.从这以上两个方面做进一步的研究，我们很容易得到一下的结果：函数在闭区间上有直到阶的连续函数；函数在开区间内有阶导数.则对于,至少存在一点，使得 泰勒定理又称泰勒中值定理，上式即称作在点处泰勒公式，称为在点处的泰勒多项式，称为在点处泰勒公式的余项，另外若在时，泰勒定理即为拉格朗日中值定理.泰勒公式在时又变为上式称作(带有拉格朗日型余项的)麦克劳林公式.2.1.2 常见简单函数的泰勒展开式及其应用2.1.2.1 常见简单函数的泰勒展开式（1）（2）（3）（4）（5）（6）2.1.2.2 简单应用例1 求下列函数的阶展开 (1)（2）解:（1)因为，所以 （2)由于又，所以求函数的展开式关键是求出高阶导数并写出余项，可以用前面求高阶导数的知识、方法和技巧来完成.这种间接法展开则是一种常用方法，结合给出的展开式、四则运算以及导数运算就可解决，这样就简化了计算过程.2.2 泰勒公式常见的一些应用2.2.1 在求极限上的应用很多时候我们需要对极限进行化简运算,而这时如果我们试着用泰勒展开式来代替原来的难以化简的单项式,使其转变为类似多项式的有理式极限,或许就能起到事半功倍的效果。比如下面的例子：例2.求极限.分析：上式是型的极限,可用我们学习过得洛必达法则这种常用求解极限的方法来求解此题，但显然过程复杂不易求解,若将、两者分别运用泰勒公式展开,则就能化简此比式型极限.解：由，用代替2.1.2.1节公式（1）中的，便得则得极限在利用泰勒公式求解极限问题时，常可使用麦克劳林公式，以及附带使用佩亚诺型余项来解决，遇到分式型极限式时，此时只需将分子、分母展成同阶的麦克劳林公式，再通过比较便可求出此极限.2.2.2 在近似计算上的应用利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,比如利用的麦克劳林展开式得到函数的近似计算式如下式：其中误差是余项.例3. 求定积分的近似值,要求精确到.解：由于式中的被积函数是不能用初级函数替代的（即是不可积的）,现应用泰勒公式来尝试求解的近似值.在的泰勒展开式中使用来代替其中的可得逐项积分,得可以看的出上式为一收敛的且正负交错的级数,由余项的估计式得所以可以得出：当所求式子为不易求的准确值的算式时，此时应用泰勒公式能求解出其近似的值，由此可以得出泰勒公式是解此类问题的一种不错的方法.而且在解题的过程中，突破了查表和应用微分求近似值的局限.计算更加精确，可以满足在精密仪器设计过程中的计算需要.2.2.3 在探究函数性质上的应用例4.若函数在区间0,1上存在2阶导数，且在点可以满足求证：证明：点是函数最大值点，并且在开区间（0，1）内，根据费马原理，这样一来，在点处函数的2阶泰勒公式是取得到再取得到综合以上两式，我们有因此（这里注意）证毕.例5.设函数的一阶导数存在，并且有.求解是否是曲线的拐点.解：对一阶导数使用泰勒公式且由题设知则有不妨设，于是存在使得时，从而；另在满足时，则有，所以在两侧附近不同符号的值，综上可得到就是曲线上的拐点.2.2.4 在证明等式及不等式上的应用例6.（中值公式）设在上三次可导,试证:使得 （1）证：不妨假设一实数能使得下式成立 （2） 这时，我们的问题归为证明:使得 （3） 令 （4）则根据罗尔定理,使得,由（4）式,即 （5）显然这是一个与有关的方程，我们知道在点处的的泰勒展开式应为 （6）注意到，由上面的（5），（6）两式可得（3）式，证毕.例7.用泰勒公式证明：证：设则，即分别取得将以上不等式两边相加，得取，则在之间，故即得2.2.5 在求某点处函数的高阶导数上的应用若能求解出已知函数在某点处的则很容易得出在点处的泰勒级数或泰勒公式.相反，若已得到在某点处的泰勒公式或泰勒级数，则根据幂级数展开具有惟一性，以及它与的关系，得在某点处的例8.求解在点处的各阶导数的值.解：利用麦克劳林（Maclaurin）公式对其展开，可求得的麦克劳林公式则的麦克劳林公式为由麦克劳林公式及其各项系数之间所具有的联系可知而在处的其他各阶导数为零.2.2.6 讨论级数和广义积分的敛散性例9. 探论正项级数所具有的敛散性质.解：由比较判别法可知：若，易知所求与是具有同时收敛或同时发散的性质.这时只要通过运算求得上的值，就可以使用泰勒公式来探究并求得通项公式的阶. 所以，当时,.由于级数是收敛的.所以可得也是收敛， 证毕.我们再来探究一下广义积分所具有的敛散性质.又是瑕点.则通过利用比较判别的方法得出： ，则时，收敛；当时，发散. ，因为，所以广义积分发散.从以上两例可知，级数与广义积分的联系比较密切，结论类似.2.2.7 带积分型余项的泰勒公式在求解定积分上的应用定理：如果给定函数在某点的邻域内具有阶的连续可导函数，则对于有其中称为积分型余项.例10.计算解：设则 2.2.8 在求解行列式值上的应用遇到某些特殊的行列式，即可以看成是一个含有的函数(通常是的次多项式)时 ,令其为 ,这时，可使用让泰勒公式在某点处展开的方法求解行列式的值,使用此种法可以很方便的求解这些行列式.例11.求解如下阶行列式 （1）解：令 ,我们让泰勒公式在某点处获得展开，则有 (2)易知 (3)由(3)得时全部满足.则依据行列式的求导法则,可得由于因此我们可得在点处的各阶导数如下各式 把以上各导数代入(2) 式中,有若有若有 通过对以上九个例子的分析、求解，我们可以看出泰勒公式在微积分上有着非常广泛的应用，只是在使用泰勒公式处理问题时要特别强调函数展开要降阶（通常降一阶即可）,并且要恰当选择等式两边的与.文章主要介绍了泰勒公式以及它的八个应用,这使我们对泰勒公式及其应用有了更深一层的理解.把握好题旨,研究好题设、题型,掌握上述解题原则,那么我们就能很好地利用泰勒公式这一数学工具来解题.参考文献1邵剑,陈维新.大学数学考研专题复习M.北京:科学出版社,2005.62-62.2丁晓庆.工科数学分析M.北京:科学出版社,2001.191-192.3华东师范大学数学系.数学分析（上）M.北京:高等教育出版社,2001.136-137.4孙清华,孙昊.数学分析疑难分析与解题方法（上）M.武汉:华中科技大学出版社,2009.140-147.5刘玉莲,傅沛仁.数学分析讲义M.北京:高等教育出版社,2003.230-230.