高中数学 3.3.2简单的线性规划（一）新人教A版必修5(1).doc

3.3.2简单的线性规划【教学过程】2.讲授新课1.引例：某工厂有a、b两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个a配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个b配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个a配件和12个b配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？（1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，又已知条件可得二元一次不等式组： .（1）（2）画出不等式组所表示的平面区域：如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。（3）提出新问题：进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？（4）尝试解答：设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样，上述问题就转化为：当x,y满足不等式（1）并且为非负整数时，z的最大值是多少？把z=2x+3y变形为，这是斜率为，在y轴上的截距为的直线。当z变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点，（例如（1，2），就能确定一条直线（），这说明，截距可以由平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到，直线与不等式组（1）的区域的交点满足不等式组（1），而且当截距最大时，z取得最大值。因此，问题可以转化为当直线与不等式组（1）确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点p，使直线经过点p时截距最大。（5）获得结果：由上图可以看出，当实现经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点m（4，2）时，截距的值最大，最大值为，这时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元。2、线性规划的有关概念：线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件线性目标函数：关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解3、 变换条件，加深理解探究：课本第88页的探究活动（1） 在上述问题中，如果生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，有应当如何安排生产才能获得最大利润？在换几组数据试试。（2） 有上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？（3） 典型分析a) 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物a含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物b含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物a和食物b多少kg？分析：将已知数据列成下表：食物/kg碳水化合物/kg蛋白质/kg脂肪/kga0.1050.070.14b0.1050.140.07若设每天食用x kg食物a，y kg食物b，总成本为z，如何列式？由题设条件列出约束条件其目标函数z=28x+21y.二元一次不等式组等价于考虑z=28x+21y,将它变形为,这是斜率为、随z变化的一族平行直线.是直线在y轴上的截距，当取得最小值时，z的值最小.当然直线与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z=28x+21y取得最小值.由图可见，当直线z=28x+21y经过可行域上的点m时，截距z28最小，即z最小.解方程组得点m(,)，因此，当,时，z=28x+21y取最小值，最小值为16.由此可知每天食用食物a约143克，食物b约571克，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元.例1.设，式中变量满足条件，求的最大值和最小值【思维导图】作直线，平移此直线使目标函数取最值作出不等式组表示的平面区域代入求最值【解答关键】首先作出三条直线，然后判断不等式组表示的平面区域，然后作直线，平移此直线确定目标函数取最大值或最小值的点，把最优解代入求目标函数的最大（小）值.【规范解答】作出可行域（如图）.令，作直线：.把直线向上平移时，所对应的的函数值随之增大，从图上可以看出，当直线经过可行域内顶点b、a时，分别取得最小值、最大值.解方程组，得；解方程组，得.所以， 3.随堂练习1请同学们结合课本p91练习1来掌握图解法解决简单的线性规划问题.（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y 满足约束条件解：不等式组表示的平面区域如图所示：当x=0,y=0时，z=2x+y=0点（0，0）在直线:2x+y=0上.作一组与直线平行的直线:2x+y=t,tr. 可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于的直线中，以经过点a（2，-1）的直线所对应的t最大.所以zmax=22-1=3.（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件解：不等式组所表示的平面区域如图所示：从图示可知，直线3x+5y=t在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点（）的直线所对应的t最大.所以zmin=3(-2)+(-1)=-11.zmax=3+5=144.课时小结5. 作业课本第93页习题a组的第2题.五 课堂小结1了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。2用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解六 作业课本p93 习题3.3 a组 3、4题2.讲授新课线性规划在实际中的应用：线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：范例讲解例3、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t 、硝酸盐18 t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t 、硝酸盐15 t。现库存磷酸盐10t 、硝酸盐66 t，在此基础上生产这两种混合肥料。若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元。那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够产生利润z万元。目标函数为画出可行域。把变形为，得到斜率为，在y 轴上的截距为，随z变化的一组平行直线。由此观察出，当直线经过可行域上的点m时，截距为最大，即z最大。 解方程组 得m的坐标为由此可知，生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大的利润，最大利润为3万元。变式训练2某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料分别为a、b两种规格的金属板，每张面积分别为2 m2与3 m2.用a种规格的金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用b种规格的金属板可造甲、乙两种产品各6个.问a、b两种规格金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？思路分析：本题属于给定一项任务，问怎样统筹安排才能使完成这项任务的人力、物力资源量最小的题型.解决这类问题的方法是：首先根据题意列出不等式组（线性约束条件），确立目标函数；然后由约束条件画出可行域；最后利用目标函数平移，在可行域内找出使目标函数达到最小值的点，从而求出符合题意的解.图3-3-10解：设a、b两种金属板各取x张、y张，用料面积z,则约束条件为目标函数z=2x+3y.作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图3-3-10所示.z=2x+3y变为y=-x+，得斜率为-，在y轴上的截距为，且随z变化的一族平行线.当直线z=2x+3y过可行域上的点m时，截距最小，z最小.解方程组得m点的坐标为(5,5).此时zmin=25+35=25(m2).答：两种金属板各取5张时，用料面积最省.3.随堂练习例1.某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送180吨该公司有8辆载重为6吨的a型卡车与4辆载重为10吨的b型卡车，有10名驾驶员每辆卡车每天往返的次数为a型车4次，b型车3次每辆卡车每天往返的成本费为a型车320元，b型车为504元试为该公司设计调配车辆的方案，使公司花费的成本最低解：设每天调出a型车辆，b型车辆，公司花费成本元，则约束条件为，即， 目标函数为作出可行域（如图），作直线：，平移此直线当经过直线与轴的交点时，有最小值但不是整点由图可知，经过可行域内的整点，且与原点距离最近的直线是，经过的整点是，它是最优解因此，公司每天调出a型车8辆时，花费成本最低4.课时小结线性规划的两类重要实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数。然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解，最后，要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解。 5. 作业课本第93页习题3.3a组的第3题例3已知，求的取值范围.【解答关键】分别以为横轴和纵轴建立坐标系，则分别为横坐标和纵坐标，作出可行域，求直线交点，得目标函数的最大或最小值.【规范解答】不等式组表示的平面区域如图所示，作直线：，把直线向下平移时，随之增大，当经过点时取最小值，当经过点时取最大值，由和分别得，所以，所以，【知识整合】已知几个二元一次式的范围，求另外一个二元一次式的范围问题，通常有两种解法，通常有两种解法：(1).利用线性规划知识求解,(2)把所求式子用.用已知范围的二元一次式表示后，再利用不等式的性质求解.3.3.2简单的线性规划问题（3）三、教学流程求非线性目标函数的最值（1）对形如型的目标函数均可化为求可行域内的点与点间的距离的最值问题；（2）对形如型的目标函数，可先变形为的形式，将问题转化为求可行域内的点与点连线斜率的倍的范围、最值等.（2）举例分析例1 已知实数x、y满足.(1)求的最大值和最小值;(2)求的最小值.解：画出可行域，得出直线交点坐标，把转化为可行域内的点与点连线的斜率，通过求斜率解决；把转化为可行域内的点与点(0,0)之间距离的平方，结合图形可知，的最小值为原点到直线bc的距离的平方.【规范解答】画出可行域，通过解方程组得,，(1)由于，所以z的几何意义是点与点m连线的斜率，因此的最值就是点与点m连线的斜率的最值，结合图形可知：直线mb的斜率最大，直线mc的斜率最小，即zmax=kmb=3；zmin=kmc=.(2)由于表示可行域内的点与原点之间距离的平方,由图形可知的最小值为点(0,0)到直线bc:距离的平方,又点(0,0)到直线bc:距离,所以的最小值为.例2、设满足约束条件组，求的最大值和最小值。解：由知，代入不等式组消去得，代入目标函数得，作直线：，作一组平行线：平行于，由图象知，当往左上方移动时，随之增大，当往右下方移动时，随之减小，所以，当经过时，当经过时，所以，例3、（1）已知，求