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数学文化与文化数学 华东师范大学数学系张奠宙2003 12 3上海 目录 一 数学是人类文明的火车头 四个数学高峰二 争取中国数学在世界上的平等与独立三 一些数学文化的理论问题四 数学文化视角 数学是人类文明的火车头四个数学高峰 古希腊文明 欧几里得 几何原本 文艺复兴 牛顿力学 微积分18 19世纪人类文明 伽罗华群论 非欧几何电磁学方程黎曼几何与爱因斯坦相对论信息时代文明 冯 诺依曼计算机方案 第一高峰 古希腊数学文化 对顶角相等 是否要证明 中国古代算学没有角的概念 谈不上对顶角 认为这是显然的 不需证明 几何原本 命题15 对顶角相等 用公理3 等量减等量 其差相等 A B C 古希腊和中国的春秋战国 古希腊城邦实行奴隶主的 民主政治 男性奴隶主选举执政官 决定财政 战争等大事 民主需要辩论 平等地说服 理性思考 崇尚精神上的真理追求中国春秋战国 实行君王统治 知识分子可以百家争鸣 但是以说服君王为目标 中国古代数学是官方的管理数学 崇尚实用 九章算术 以丈量田亩 分配徭役 工程土方等计算方法 文化差异决定数学文化 理性演绎数学实用管理数学 中国古代算学 中国古代的算学以算法为特征吴文俊继承特点以机器证明 计算机算法 获国家科学奖祖冲之计算Pi享誉世界中国数学整体上比埃及 巴比伦 印度晚 第二高峰牛顿 莱布尼兹发明微积分 文艺复兴 笛卡儿创立解析几何 坐标 运动进入数学 微积分思想 费马论证 周长一定的矩形以正方形面积最大 取无穷小量EB A B B E A B E BA B2 BA B2 AE 2BE E2整理得到 A 2B E E2 0略去E 得到结论A 2B B A 牛顿 自然哲学之数学原理 1687完成 1736出版 流数术 基督教镇压科学 处死科学家基督教的教义为科学留下了空间 人生来是平等的 王室邀请数学家进入宫廷牛顿 爵士 莱布尼兹是外交家欧拉 德国腓特烈大帝邀请到柏林 俄过沙皇喀德林一世邀请去彼得堡 中国除康熙邀请梅文鼎以外 数学家不受重视 17世纪中国数学 牛顿发明微积分的时代 前奏1606徐光启和利玛窦翻译 几何原本 前6卷 1690年 康熙帝向传教士白晋等学习几何学 对数 1701年 莱布尼兹将2进制数表交给白晋 白晋把伏羲64卦交给莱布尼兹 鸦片战争后的中国数学落后欧洲三百年 李善兰 1811 1882 中国传统数学最后一人 吸收西方数学 开创中国现代数学第一人 与伟列亚力 1815 1867 合作翻译 几何原本 后9卷 美国Loomis的 代微积拾级 1859 日本用此书 中国最早的微积分译作 李善兰 1811 1882 禾彳天意思是 dx 第三高峰 19 20世纪初数学成就 法国大革命和法国数学学派 柯西 蒙日 德国工业的兴起和格丁根学派 高斯 黎曼 群论 非欧几何 复数 四元数 分析的严密化 强调理性思维 三个伟大的方程 忽略少谈的数学家热传导方程傅立叶 内燃机 流体力学方程拉普拉斯 航空 电磁学方程马克斯韦尔 电磁波 傅立叶 17681830 马克思韦尔1831 1879 数学与物理 狭义相对论与四维时空 广义相对论与黎曼几何 杨 米尔斯场 陈省身的纤维丛理论高维 低维 四维最难 Witten 物理学家 获得数学最高奖霍金 理论物理学家 参加2002数学家大会 科学文化的代表 希尔伯特提出23个数学问题 1900 报载 瑞典的一位女助教解决了第16问题16 代数曲线和代数曲面的拓扑问题第二部分讨论dy dx Y X的极限环的最大数目 其中Y X分别是x y的n次多项式苏联和中国的数学家研究过n 2的情形 希尔伯特1862 1943 陈省身和华罗庚 清华 双子 星座 E Cartan 陈省身 吴文俊创立大范围微分几何哈代 华罗庚 陈景润 王元 中国的解析数论学派如果华罗庚到汉堡随阿丁 E Artin 学习代数数论 中国的数学历史将要改写了 两人唯一照片1972 北京 希尔伯特的形式主义思潮 形式主义和逻辑主义 直觉主义展开论战 形式主义思潮占据主导地位 形式主义 两点之间有且只有一条直线 也可以说成两个啤酒瓶之间有一张桌子 数学 形式 内容无关紧要数学是公理体系 一切数学命题都可以形式地判定真伪哥德尔说 不 1931 数学 思想的体操 数学 公理 数学 逻辑 第四高峰 第二次世界大战改造数学 维纳 科莫哥罗夫 火炮自动控制运筹学产生于战场原子弹爆炸 冯 诺依曼的数学参与 美国国家的应用数学小组 AMP 柯朗 水下爆破 轰炸机的流体力学计算密码破译 图灵机的诞生电子计算机产生 中国数学仍然停留在纯粹数学 没有介入反法西斯战争的努力 战后 1948年的数学地图 1948 美国仙农发表 信息的数学理论 1948 维纳发表 控制论 信息 控制是数学吗 1948 vonNeuman计算机方案形成中国缺乏这样的数学偶像 信息时代的数学技术 冯 诺依曼组织 数字天气预报 1950 线性规划大发展 计算机实时控制 调度 卡尔曼滤波 航天技术CT扫描 拉东变换 计算机模拟技术 军事模拟 计算机软件的数学技术金融数学技术 中国没有以上原创的数学技术 紧跟 中国科学最高奖 吴文俊 机器证明王选 印刷革命数据压缩陈景润 1980年代的数学英雄 1970年 走出布尔巴基的光环 布尔巴基的结构主义冲破 函数论 王国的统治用 代数结构 序结构 拓扑结构 统一数学 集合论 测度论 李群论 抽象代数 代数拓扑 泛函分析 融为一体 不能包括微分几何 数论 概率统计 计算数学 离散数学 1950年 吴文俊在 科学通报 介绍布尔巴基 无人喝彩 1970年 年轻数学家走出布尔巴基的影响1980年 中国大规模介绍布尔巴基学派 20世纪核心数学飞速发展 从局部到整体 拓扑 从交换到非交换 算子代数 K理论 从线性到非线性 混沌 分维 从低维到高维 无限维随机数学大发展 第二部分 争取中国数学在世界上的平等与独立 二十世纪数学简史 数学中心的转移 巴黎 格丁根 普林斯顿1900 1900 1933 1933 莫斯科大学 Steklov数学研究所剑桥大学三一学院巴黎Poincare研究所波恩Max Plank研究所加拿大Fields数学研究所 黑色的1933年 希特勒上台 排挤迫害犹太人 4月 命令一切犹太籍的教授立即离开校园 爱因斯坦 H 外耳 Weyl 妻子是犹太人 冯 诺依曼 柯朗 诺特 哥德尔 波利亚 兰道 世界一流的顶尖的数学家到了美国 那时美国正在经济危机之中 普林斯顿高级研究所的成立 6名教授 爱因斯坦 冯 诺依曼 外耳 Veblen Alexander Morse 中国现代数学的艰难历程 同文馆中设天文算学馆的争论 1860 x y z w取代天地人元的历程1902年 江南考场某举子在试卷上写阿拉伯数字 主考官黄漱兰 以夷变夏 其心殊不可问 逐出考场 1847容闳带学生到美留学 没人学数学 1862年日本派人来中国考察 带回 为日本唯一的微积分读本 1898年 中国向日本大量派遣留学生 19世纪 中国到欧美学数学的竟无一人 中国数学的发展 第一个数学博士胡明复 哈佛大学 1917 1920年代数学系 学士水平1930年代数学系 硕士水平1940年代 实际上能够培养博士1980年代 大陆正式授予第一批数学博士 世界著名的华人数学家 陈省身 美籍 整体微分几何的奠基人 获沃尔夫奖 终身成就 丘成桐 美籍 获费尔兹奖 40岁以下 华罗庚 1910 1985 美国科学院外籍院士 数论 多复分析 代数 冯康 计算数学 有限元方法创始人之一许宝录 1910 1970 数理统计学创始人之一年轻的华人数学家正在迅速发展中 田刚 夏志宏 张伟平 2002年国际数学家大会 霍金来了 纳什来了 中国数学取得世界瞩目的成就 格局 美俄继续领先 西欧紧随其后日本正在迎头赶上 中国是一个未知数 陈省身猜想 21世纪数学大国 1988 数学大国的含义 在独立平等的基础上与世界各国的数学家进行交流 数学上还没有真正的独立 离开皇冠上的明珠还很远 费尔兹奖章 只授予不超过40岁数学家 拉法格 法国 沃沃斯基 俄 美 他们都出生于1966年 今年36岁 大学毕业后 得到扶植攻Langlangds猜想 顶尖的数学课题 田刚上届 1998 获得提名 但没有获得 他是南京大学学士 北京大学硕士 随丘成桐在美国读博士 现在是麻州理工学院 MIT 教授 考试文化的影响 竞赛不是在考场上 奥林匹克数学竞赛金牌 数学家 好胜与好奇 一字之差 某大学副教务长说 优秀学生不是 高考状元 而是在600分以上的0 618处 如果你的孩子是状元 当心他 她太注重细枝末节 没有大前途 21国参加的国际数学教育调查 IAEP 1989 13岁学生成绩 中国大陆80中国台湾73韩国73瑞士71苏联70 法国64英国61美国55巴西37莫桑比克28 中国数学水平怎么样 新华社 中国现在十分有陈省身 华罗庚那样的大数学家 离国际水平多远 吴文俊 不好说 不好说 丘成桐 还差得很远 中国只是潜在的数学大国 许多人以为 中国离皇冠上明珠仅一步之遥 大错特错 取法乎上 仅得乎其中 取法乎中 则得乎其下矣 第三部分 一些数学文化的理论问题 1 第三次数学危机 绝对主义的破灭 2 检验数学真理的标准 纯粹数学为什么会有用 3 数学美的认识 4 推测数学是否允许存在 5 中国考据学派对数学的影响 1 数学绝对主义的破灭 数学结论绝对正确是做不到的 但是并没有到达 危机 的程度 选择公理是否准许使用 无限多盘糖果 每盘各取一颗 构成一个拼盘 拼盘里的元素不确定 没有指出 选择 的是什么糖 用选择公理可以得出巴拿赫怪论 1923 一个球 可以分割为两个与原球全等的球 于是倾向于不准用选择公理但是选择公理十分有用 例如有界的无限点列必可选出收敛子列 如图 究竟用不用 没有绝对正确的选择 数学和其他学科一样 没有绝对 第三次数学危机 是故作 惊人之语 数学在一日千里地发展 没有危机 数学和其他科学一样 真理都是相对的 不存在绝对正确 但是 数学是思想材料 按照逻辑展开 在可以感受到的日常数学问题中 数学仍然比其他 经验科学 更加准确 数学大厦的底层有裂缝 但是不会倾覆倒塌 2 检验数学真理的标准是实践吗 逻辑正确是数学论文发表的基本要求 不必通过实践检验 结论一定正确 数学结论有好坏之分 只有 好 数学才值得发表 陈省身的好数学例子 方程 流形 球面上用一个直角坐标系是不够的 经纬线在北极相交 坐标和点不能一一对应 陈省身 不大好的数学的例子 拿破仑定理 一个三角形 在三边上各作一个正三角形 其中心联起来也是一个正三角形 奥林匹克竞赛的题目 都不是好的数学 冯 诺依曼说 数学象在沙漠中的河流 如果在一些枝节上停留过多 就有干涸的危险 悬赏100万美圆的数学题目 P NP 黎曼猜想 庞加莱猜想Hodge猜想Birch等猜想Naiver Stokes方程组3维光滑解的存在杨振宁 Mills场质量间隙的存在 数学需要实践检验 有效性 信息论 控制论 计算机方案设计 冯 诺依曼放弃纯粹数学研究 投身应用数学深刻性 揭示客观世界的规律 黎曼几何 杨 Mills场 陈省身 西蒙斯理论美学价值 公认的科学价值 费马定理的证明 创新需要时间的检验 康托的集合论 模糊数学的价值 数学的里程碑 3 数学美的通俗认识 一 壮观的描述 三体问题有效的手段 王选的数据压缩 和谐的规律 公式ei 1 0 奇特的证明 素数无限多的证明 绚丽的变化 分形演示艺术的图案 Esher的画 数学画 俄罗斯数学家佛明科作品随机过程 爱舍儿的画 另外的世界 3 数学美的通俗认识 二 1 美观 1 2 1 3 2 5 和谐的天性 2 美好 a b 2 a2 b2 2ab 二次方程求根公式 丑陋但美好 3 美妙 三条高交于一点 妙 辅助线 代换 变形 对人的冲击 4 完美 数学的体系 数学的发展 人类的数学追求 4 儒家文化与中国数学 数学在儒家学说中没有地位 数学家不受重视 中国传统数学缺少逻辑论证 思辨的理性精神 不如古希腊 儒家文化是演绎的 中国传统数学也是演绎的 只是 缺乏形式逻辑的演绎 中国中小学数学课程的逻辑要求远超西方 宋明以后的儒学不再面对原始问题 孔孟经典不可动摇的公理朱熹的注疏必须遵循的定理和推论读书人的文章不过做一个练习而已八股文 按朱熹老夫子的标准答案做 学答 美其名 代圣贤立言 清 戴震 1722 1777 考据学派对科学的影响 文字狱使读书人回避 原始问题 在 故纸堆 中考据 训诂 重证据 重演绎 接近西方的逻辑推理 儒家文化 宏观上的演绎系统考据文化 微观上的演绎方法 考据学派的地位 梁启超 中国旧学 考据 掌故 词章为三大宗 考据列在第一位 清代学术之特色为考据学 明清一代学术走的是 从反义理 重训诂 到独尊考据 再到兼重义理的道路 清末民初 中西文化屡有冲突 但考据文化和西方科学一直相安无事 梁启超谈考据文化 自清代考据学派200年之训练 成为一种遗传 我国学子之头脑渐趋于冷静慎密 此种精神实为科学成立之基本要素 我国对于形的科学 数理 渊源本远 用其遗传上极优异之科学头脑 将来必可成为全世界第一等之科学国民 清代学术概论 考据遗传 科学头脑 胡适与考据 周昌龙 戴东原哲学与胡适的知识主义 汉学研究12卷1期 1910年 参加庚款考试 发觉做学问要从 十三经注疏 开始 留美期间 熟悉西方科学的同时 完成 诗言字解 尔汝篇 吾我篇 诸子不出于王官论 回国后继续整理国故从事 红楼梦考证 以及 三国 水浒 等考证研究 考据影子 大胆假设 小心求证 胡适 戴东原哲学 1922 中国旧有的哲学 只有清代的 朴学 确有科学精神 这个时代是一个考证学昌明的时代 是一个科学的时代 戴氏是一个科学家 他长于算学 精于考据 他的治学方法最精密 故能用这个时代的科学精神到哲学上去 它的哲学是科学精神的哲学 胡适文存 3集卷2 考据学派与中国传统数学 戴震编修 四库全书 校订 九章算术 算经十书 等 乾嘉考据学派的另一代表人物是钱大昕 他的弟子有李锐 1769 1817 汪莱 1768 1894 焦循 1764 1849 罗士琳 1789 1817 他们努力使算学从经学的负数地位解放出来 训诂与数学 阮元 1764 1848 经学大师兼数学家 畴人传 中国第一部算学家传记李善兰 1811 1882 清末中国数学的代表人物 词章 训诂之学虽皆涉猎 然好之终不及算学 古典数学为乾嘉学派所重视 钱宝琮 近来200年间 小学 算学 是同时长进的 章太炎 考据与现代数学 考据学派奉行 复古主义 主张 西学中源 终于没有走向现代数学 考据必须使用逻辑 例如要 考据传綦即八大山人 先证明 八大山人 就是 个山 而 个山 即 传綦 这里用了 甲是乙 乙是丙 于是甲是丙 的逻辑上的 传递性 原理 洪万生 刘钝 历代学者仅以训诂当名学 殊不知名学义大而经 训诂义小而粗 刘鼎和 19184月29日 北京大学日刊 数学 逻辑 的文化渊源 数学有两个侧面 创造思考与逻辑证明中国提法 数学能力是基本运算能力 空间想象能力 逻辑思维能力 核心 但是 数学不等于逻辑 逻辑是数学家得以保持健康的卫生规则 大数学家H 外耳语 极而言之 我觉得数学和逻辑没有什么关系 日本著名数学家小平邦彦 考据文化对数学的正反作用 中国传统文化对西方数学是否包容 郑毓信 考据文化将数学的逻辑层面进行同化 成为中国现代数学教学的核心思想 同样 考据文化和演绎式的儒家文化 将创新性的数学思维方式进行过滤 没有很好吸收溶入 适度强调逻辑 提倡数学创造 5 推测数学能否允许存在 1993年美国哈佛大学教授A Jaffe和弗吉尼亚大学教授A Quinn发表文章 物理学的分工 理论物理学家提出猜想和推测 实验物理学家进行验证 数学家却必须把提出猜想和进行证明全部承担 将来的数学是否可以由一些数学家进行猜测 推想 探讨 另外一些数学家进行证明 各方反映 英国皇家学会会长M Atuiyh表示赞同 他的老师提出 几何大纲 证明不够 由他补正 美国代数学家SMacLane反对 证明万岁 分形理论的创立者B Mandelbroit说 现在数学的清规戒律太多 警察太多 庞加莱很多原创的思想 证明不严密 如果 警察 禁止 数学的损失太大了庞卡莱受毕卡 Picard 的制约 没有在巴黎大学上过数学课程 因为不严格 突变理论创立者R Thom 严格性是一个拉丁名词 让人想起 僵尸 数学分为三类 1 婴儿为标记 正在成长允许修改 2 以十字架为标记 已经证明 永远不朽 3 以教堂为标记 由高级教士组成 专门评论数学论文应该属于那一类 价值如何 姜伯驹的讲话1995 数学往往是最后取胜的法宝 数学用得好 你就赢了 数学在20世纪下半叶有很大的发展 其中最大的发展是应用 跟第二次世界大战以前不一样 现在到处在用数学 更多的地方在试图用数学 因此 数学系 数学专业起什么作用 如果还是培养数学家 数学教授 就业的情况摆在哪儿 社会的需求量不是很大 数学系是毕业生 相当多的人 甚至多一半的人 要到其他行业里去起作用 引自 中国数学会通讯 1996年第九期 前国际数学家联盟主席Mumford答记者问1995 一个重要的问题是恢复纯粹数学家和应用数学家之间的思想交流 在19世纪 你可以看到大多数的数学家都是一身二任的 例如傅立叶 Fourier 发现和研究级数 就是受了应用的刺激 但以后发生了分隔 尤其在美国 对科学的投资 将不至于简单地化很多钱去搞纯粹数学研究 而是相反 应当引向一个共同目标 使得纯粹数学研究人员能在应用中受到启发 运用他们的理论思维更有效地解决实际问题 引自1996年第3期 第四部分 文化数学的案例 案例1丘成桐谈 史记 华人唯一的费尔兹奖章获得者 8月20日早上中央电视台东方时空的 东方之子 栏目 方静采访 我读 史记 象欣赏歌剧 一幕幕地展开 华彩乐章如 高山仰止 景行景止 历史是宏观的 学习历史会使人用宏观观点考察事物 我提出的数学想法往往和别人的不一样 就是得力于 史记 例2 数学与文学 对称与对仗 对称是变换以后的不变性质x2 y2是对称多项式 x y y x 明月松间照 清泉石上流 上联变成下联 但是许多是不变的明月 清泉自然景物不变明 清 形容词 月 泉 名词 变中有不变 道理是一样的 例3数学与语言 不管三七二十一 乘法口诀 三下二除五就解决了 算盘口诀 万无一失 在中国语言里比喻 有绝对把握 但是 这句成语可以联系 小概率事件 进行思考 十万有一失 在航天器的零件中也是不允许的 指数爆炸 直线上升 等等已经进入我们的日常语言 它们的含义可与事物的复杂性相联系 计算复杂性问题 例4数学和伦理 西方学者作过十分认真的尝试 一个例子是 两个人每人有1 000元 从其中一个人那里拿500元给另外一个人 这一行动所产生的快乐比痛苦少 因为得到的人的财富只增加了1 3 而失去者的损失是1 2 7 例5 数学和日常生活 方程 的思想 说穿了不过是 拉关系 为了认识 未知数 先生 必须请已知数 先生为媒介 找到一种关系 根据关系就能认识 未知数 先生了 朴素的思想 正是一种文化现象 例6张恭庆院士的问题 一条毛巾平摊着 有东西向 南北向 以及上下共三组6个方向 那么是否可能作一个运动使得这三组的两个方向恰好调换位置 答案是不可能 一个 右手系 无论怎样 旋转 平移 翻折 都不可能变成 左手系 中学里有那么多的立体几何难题 却很少触及这样简单又有巨大数学内涵的观察与思考 奥林匹克数学竞赛也不处理词类问题 例7史树中教授的问题 有一笔赌金 甲 乙两人竞赌 输赢的概率各为1 2 以先累计达到5盘胜利者获得这笔赌金 在进行过程中 因故突然终止 此时 甲赢了4局 乙赢了3局 问这笔赌金该如何分配才合理 4 7和3 7比较合理 麻将为什么不能产生概率论 答案是 假设再进行一局 若甲胜 概率1 2 可得全部的1份赌金 若乙胜 概率也是1 2 则大家各胜4局 应当平分 甲得1 2 总之 甲可得 1 2 1 1 2 1 2 3 4 我的思考是 中国是一个缺乏概率思考的国家 传统文化中缺乏随机数学的因素 公众中应当尽快补上这一课 例8 荷兰 甲离学校10公里 乙离甲3公里 问乙离学校几公里 训练学生的表示能力 甲 乙 学校在一条直线上 没有说 校乙甲乙 余弦定理 坐标 参数 复数 空间 例9 公说公有理 婆说婆有理 香港某厂业绩年份909192股东红利5万7 5万10万工资总额10万12 5万15万 909192 15105 909192 200 150 100 老板所画 工会主席所画 例10 正三角形的案例 美国北卡三个分校 位于正三角形的三个顶点 要建设校内网 贝尔电话公司收费标准 两边长2 在北卡三校的中心 荒漠 要求装电话 因为按收费标准为31 2 连接正三角形三点的方法 有多少种 距离多少 中国青年数学家堵丁柱证明2 31 2是极限 例11 门后的车 123任选一门 例如1号 主持人打开无车的门 3号 是否要换2号 应该换 因为车在1号门的概率是1 3 而在2 3号门的概率是2 3 既然3号门无车 在2号门的概率是2 3 考虑100扇门的情形 当主持人打开3 100扇无车的门 你是否觉得车在2号门的概率很大很大呢 案例12 苏联的一道空间想象题 四维空间单位方体的顶点数 棱数 面数 三维面数 四维体数 解 顶点数 23 16 棱数 16 4 2 32二维面 16 C42 4 24三维面 16C43 8 8四维面 1一般地 2 1 n 2n n2n 1 1 例13 分苹果问题 推广 某A在果园摘了一堆苹果 把它的一半加半个给第一个看门人 又将剩下的苹果的一半加半个给第二个看门人 那时只剩下两个苹果了 问原来有几个苹果 两个因子 剩下的苹果数 看门人个数思辨 看门人比我多一个 A和看门人苹果之和等于上次剩下的苹果1 2 3 4 7 8 15 16 31 32 63 64 2 3 5 6 11 12 23 24 47 48 95 96 3 4 7 8 15 16 31 32 63 64 127 128一半加一个 一般加两个 例14 X大王名裂上海南京路 1999 溜溜球 25元 只 溜溜蛋卷 1 5 包 每包蛋卷中有一张卡片 分红 白 绿 黄蓝五种花色 集齐5种花色卡片 可以换溜溜球一只 如5种卡片投放的概率为P1 P2P3P4P5 中獎率為 P1 P2P3P4P5 x5 P1 P2 P3 P4 P5 1 5 时最大 0 04 实际红色仅为1 100 记者披露H后 x大王名裂出南京路 例15投票的数学 5种投票法 1 简单多数2 最高两人选一 3 一票赞成 一票否定 4 赞成投票法 5 排序打分法 6 奥运投票法实力指标1972加拿大选举自由 109 保守党 107 新民主党 31 其他 17 总计264 51 28 24 24 51 26 26 26 51 40 25 20 15 选举实力指标分析 案例16 数据误导 班平均分为76分 我得到78分在班上属中上水平 全班30人 数学成绩为5个90分 22个80分 一个78分以及2分和10分 算得平均数76 67 78分者平均分以上 倒数第三 据校友问卷调查 1924年耶鲁大学毕业生的年收入为25111美圆 1936年美国总统大选 电话调查兰登将高票当选 结果罗斯福胜出 例17 仙农 Shannon 研究信息论 一 信息量烽火台 传送一个信息量log22 1 两个烽火台 1 敌人来 2 要否补给 四种情况 log24 2 信息是0 1符号串 二 概率和信息量 狗咬人