同级高数第6章课件第1节.ppt

第三节定积分在物理学上的应用 一 变力沿直线所作的功 常力F沿直线对物体所作的功为 W F S 若力是变力 计算电场力F对它所作的功 例1把一个带 q电量的点电荷放在r轴上坐标 原点处 它产生一个电场 这个电场对周围的 电荷有作用力 若一个单位正电荷放在这个电场 中距离原点为r的地方 那么电场对它的作用力 的大小为 k是常数 当这个单位 正电荷在电场中从r a处 沿r轴移动到r b处时 解 功元素 所求功为 如果要考虑将单位电荷移到无穷远处 取r为积分变量 取任一小区间 r r dr 解 建立坐标系如图 这一薄层水的重力为 功元素为 千焦 例2一圆柱形蓄水池高为5米 底半径为3米 满了水 问要把池内的水全部吸出 需作多少 池内盛 取x为积分变量 取任一小区间 x x dx 解 设木板对铁钉的阻力为 第一次锤击时所作的功为 问第n次锤击时又将铁钉击入多少 设n次击入的总深度为h厘米 n次锤击所作的总功为 例3用铁锤把钉子钉入木板 设木板对铁钉的阻力 与铁钉进入木板的深度成正比 铁锤在第一次锤击 时将铁钉击入1厘米 若每次锤击所作的功相等 依题意知 每次锤击所作的功相等 n次击入的总深度为 第n次击入的深度为 是水的比重 二 水压力 那么 平板一侧所受的水压力为F p A 在水深为h处的压强为 如果有一面积为A的平板 水平地放置在水深为h处 问题 如果平板垂直放置在水中 求平板一侧所受的水压力 解 在端面建立坐标系如图 计算桶的一端面上所受的压力 例4一个横放着的圆柱形水桶 桶内盛有半桶水 设桶的底半径为R 水的比重为 取x为积分变量 取任一小区间 x x dx 小矩形片上各处的压强 近似相等 小矩形片的面积为 小矩形片的压力元素为 端面上所受的压力 解 建立坐标系如图 面积元素 求薄板所受的侧压力 例5将直角边各为a及2a的直角三角形薄板垂 直地浸人水中 斜边朝下 直角边的边长与水面 平行 且该边到水面的距离恰等于该边的边长 质点M 三 引力 引力的方向沿着两质点的连线方向 质量分别为 相距为r的两个质点间 的引力的大小为 其中k为引力系数 例6有一长度为l 线密度为的均匀细棒 在其中垂线上距棒a单位处有一质量为m的 计算该棒对质点M的引力 解 小段的质量为 小段与质点的距离为 引力 取y为积分变量 取任一小区间 y y dy 1 平面图形的面积 直角坐标情形 本章小结 基本方法 元素法 如果曲边梯形的曲边为参数方程 曲边梯形的面积 参数方程所表示的函数 极坐标情形 2 体积 平行截面面积为已知的立体的体积 3 平面曲线的弧长 弧长 A 曲线弧为 弧长 B 曲线弧为 弧长 C 曲线弧为 4 变力所作的功 5 水压力 7 旋转体的侧面积 6 引力 8 细棒的质量 9 转动惯量 二 典型例题 例1 解 由对称性 有 由对称性 有 由对称性 有 例2 解 如图所示建立坐标系 于是对半圆上任一点 有 故所求速度为 故将满池水全部提升到池沿高度所需功为 例3 解 如图建立坐标系 此闸门一