曲线与方程(含轨迹问题)(理).ppt

理要点 一 曲线与方程在平面直角坐标系中 如果某曲线C 看作满足某种条件的点的集合或轨迹 上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系 1 曲线上点的坐标都是这个方程的解 2 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上 那么 这个方程叫做 这条曲线叫做 曲线的方程 方程的曲线 二 求动点的轨迹方程的一般步骤 1 建系 建立适当的坐标系 2 设点 设轨迹上的任一点P x y 3 列式 列出动点P所满足的关系式 4 代换 依条件式的特点 选用距离公式 斜率公式等将其转化为x y的方程式 并化简 5 证明 证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程 三 曲线的交点设曲线C1的方程为F1 x y 0 曲线C2的方程为F2 x y 0 则C1 C2的交点坐标即为方程组的实数解 若此方程组 则两曲线无交点 无解 四 直线与圆锥曲线的位置关系判定直线与圆锥曲线的位置关系时 通常是将直线方程与曲线方程联立 消去变量y 或x 得变量x 或y 的方程 ax2 bx c 0 或ay2 by c 0 若a 0 可考虑一元二次方程的判别式 有 0 直线与圆锥曲线 0 直线与圆锥曲线 0 直线与圆锥曲线 若a 0 则直线与圆锥曲线相交 且有一个交点 相交 相切 相离 究疑点 1 由直线与圆锥曲线的位置关系知 直线与双曲线有且只有一个交点的充要条件是什么 抛物线呢 2 若曲线与方程的对应关系中只满足 2 条会怎样 提示 若只满足 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 则这个方程可能只是部分曲线的方程 而非整个曲线的方程 2 设圆 x 1 2 y2 25的圆心为C A 1 0 是圆内一定点 Q为圆周上任一点 线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M 求M的轨迹方程 3 由抛物线y2 2x上任意一点P向其准线l引垂线 垂足为Q 连接顶点O与P的直线和连接焦点F与Q的直线交于点R 求点R的轨迹方程 归纳领悟 1 直接法求轨迹方程是求曲线方程的基本方法 圆锥曲线的标准方程都是由直接法求得的 当轨迹易于列出动点 x y 满足的方程时可用此法 2 求动点轨迹时应注意它的完备性 化简过程破坏了方程的同解性 要注意补上遗漏的点或者挖去多余的点 轨迹 与 轨迹方程 是两个不同的概念 前者指曲线的形状 位置 大小等特征 后者指方程 包括范围 2 过点 2 0 的直线l和抛物线C y2 8x有且只有一个公共点 求直线l的斜率 归纳领悟 判断直线与圆锥曲线的位置关系时只需联立消元 消元后要注意方程的二次项系数是否含参数 若含参数需讨论 同时充分利用根与系数的关系求出x1 x2 x1x2后进行整体运算变形 题组自测 1 已知直线l与抛物线y2 8x交于A B两点 且l经过抛物线的焦点F A的坐标为 8 8 求线段AB的中点到准线的距离 归纳领悟 1 求定值问题常见的方法有两种 1 从特殊入手 求出定值 再证明这个值与变量无关 2 直接推理 计算 并在计算推理的过程中消去变量 从而得到定值 2 定点的探索与证明问题 1 探索直线过定点时 可设出直线方程为y kx b 然后利用条件建立b k等量关系进行消元 借助于直线系的思想找出定点 2 从特殊情况入手 先探求定点 再证明与变量无关 一 把脉考情从近两年的高考试题来看 求曲线的轨迹方程是高考的一个热点题型 一般考查直接法与定义法 直线与圆锥曲线的位置关系 弦长 中