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曲线上存在两条互相垂直的切线问题模型探究园丁例题1（2013天津预赛5）如果曲线的两条互相垂直的切线交于点P，则P点的坐标不可能是（ ）(A) (B) (C) (D)解析 设曲线在点的切线交于点P，那么由题意可知：，其中；即有. 又，则有，当且仅当时，等号成立.因此，当时，即可知. 那么，. 故可知(C)错.评注 此题或先求出和两个交点，再利用周期为，同样得解.例题2（2013山东预赛10）假设实数b，c满足，且的图象上存在两条切线互相垂直，则a的取值范围是 解析 ；设图象上两条切线在曲线上的切点分别为，则有. 即： 在中，令，展开后有，由可知，又 在中，由于，那么，即 ，因此由可知，代入到中解得.综上可知：a的取值范围是.评注 此题可溯源到如下例题：例题3 已知函数，( I ) 记，求的极小值；(II) 若函数的图象上存在互相垂直的两条切线，求实数的值及相应的切点坐标.(II)解析 ，那么，设切点分别为由题意知，即有，展开得到，在中，由可知，即. 又，则代入得. 并且切点坐标为，其中.例题4（2014年南京市、盐城市高三二模第12题）设函数f(x)axsinxcosx若函数f(x)的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线yf(x)在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为 解析 ；那么，要使得函数f(x)的图象上存在两个不同点使得，必有.又由得到，那么得到：，即有，解得.评注 此题解法类似于如下两道例题：例题4.1 已知函数的图象为曲线.(1) 求过曲线上任意一点的切线的斜率的取值范围；(2) 若在曲线上存在两条互相垂直的切线，求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围；(3) 略解析 (1) ；(2)由(1)可知：，解得或；代入解得.例题4.2 设函数的图象关于原点对称，且时，取极小值，(1) 求的值；(2) 当时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论.(3) 略解析(2) 不存在这样的两点由(1)得，假设图象上存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直，则，即.因为，那么，得到,故不成立.例题5（2010年雅安三模）二次函数yx2-2x2与y-x2axb(a0,b0)的图象在它们的一个交点处互相垂直，则的最小值是（ ）(A) (B) (C)4 (D)解析 设两个函数交与，则有，即.又y0x02-2x02与y0-x02ax0b，得到2 x02-(2+a) x0+2-b=0；亦即；因此，可得，即. 故，当且仅当时，等号成立.例题6已知函数的图象在()处的切线互相垂直
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