基于奇异值分解的图像压缩处理.doc

电子科技大学矩阵奇异值分解在图像压缩中的应用电子科技大学 微固学院 贾旺旺摘要本文首先介绍了矩阵的奇异值分解(SVD)定理，然后讨论了基于矩阵奇异值分解的图像压缩编码原理，最后文中给出了实例，并用matlab编程实现了图像的压缩和重构，发现随着图像压缩比的减小，图像传输时间增大，但重构后得到的图像失真度减小了。关键词奇异值分解 图像压缩 压缩比1. 引言随着网络的快速发展，数据量的增长也十分迅速，这使人们必须想办法如何能以最少的存储空间，最大的传输效率来进行数据的存储和传输。如在宇航中，拍摄得到的图像文件一般都比较大且数量也很多，它的存储，传输和处理会受到一定的限制，因此图像压缩就显得格外重要。图像压缩技术就是要减少图像数据中的冗余信息从而以更加高效的格式存储和传输数据。图像压缩的基本方法包括无损压缩的行程长度编码，熵编码法；有损压缩的色度抽样法，变换编码，分形压缩等。近几年，基于矩阵奇异值分解的图像压缩方法也得到了很多学者的关注1。因为图像的像素点具有矩阵的结构，我们可以利用奇异值分解来对任意阶数的矩阵操作。本文就是利用了矩阵的奇异值分解，达到了图像压缩的目的。2. 矩阵奇异值分解原理2引理 1 第 1 页定义 1定理 1第 0 页三基于奇异值分解的图像压缩编码1.图像的压缩奇异值分解算法的一个重要的特征是可以降维。设A是型矩阵，表明A是个维向量，若A的秩为我们可以通过奇异值分解，将表示为个维向量和个维向量。若的秩小于或远小于和，那么就可以通过奇异值分解达到降维的目的。以一幅有个像素点的图画为例，当很大时，如果将这个像素点全部传送，虽然得到的图像失真度很低，但是传输的效率也会很低。而我们希望在误差允许范围内，尽可能快的传送数据，且在数据接收端能够根据得到的数据重构图像。另外，大的奇异值对图像的贡献大，小的奇异值对图像的贡献小，所以可以从个正奇异值中选取前个较大的特征值，再结合这个奇异值对应的左右酉矩阵向量，来近似表示图像。那么需要传送的像素点就变成了个，如果,就会提高传输效率。定义图像压缩比为: (3-1)显然，如果值越小，则压缩比越大，需要传送的像素点也越小，因而传输速度越快，但是得到的图像失真度将越大，反之亦然。2. 图像的重构转置向量，同理，若A为型矩阵，那么在图像的数据接收端，接收到的是个奇异值和个维列向量，个维列向量。近似有公式：， (3-2)那么就可以通过近似作出图像。在matlab中读入图像的数据类型是uint8，而在矩阵中使用的数据类型是double，因此需要将图像数组转换为double类型，如果不转换，在对uint8进行加减时可能会产生错误3。我们都知道图像一般都是由三原色R,G,B构成的，matlab中提取出一幅图像的像素点也是由R,G,B三原色构成，它是一个三维数组，设为L，那么L(:,:,1)表示R原色构成的二维数组，元素值在0，255，同理，L(:,:,2）表示G原色，L(:,:,3)表示B原色。通过转换为double数据类型，矩阵中每个元素值在0,1内。4 图像压缩和重构的matlab代码实现1.算法流程根据上述原理，文中选取了一幅JPG图片，命名为pic，像素为648*991。利用matlab先提取出了像素矩阵A；然后将这个三维数组拆分为三个二维数组，即R,G,B三个三原色矩阵，对这三个二维数组利用SVD方法，计算其奇异值；选取前k个奇异值及其对应的向量，进行图像压缩处理；最后重构图像。为了对比压缩效果和传输时间，分别令k=10,50,100。k为选取的奇异值的个数。下图给出了压缩和重构过程的流程图。 开始 提取图片pic的像素矩阵L将矩阵L拆分为三个二维矩阵对三个二维矩阵做SVD分解作出原图像,及R,G,B三原色图第 2 页选取k个奇异值和对应向量，利用(3-2)重构图像 终止2.代码实现clcclear QL=imread(pic.jpg);L1=L(:,:,1);L2=L(:,:,2);L3=L(:,:,3);I1=im2double(L1);I2=im2double(L2);I3=im2double(L3); % maltab读入图像时,用 的是unit8型% 显示原图像subplot(4,4,1); imshow(L); title(原图像); subplot(4,4,2); imshow(I1); title(原图像R原色);subplot(4,4,3); imshow(I2); title(原图像G原色);subplot(4,4,4); imshow(I3); title(原图像B原色);% 做奇异值分解u1,s1,v1=svd(I1); u2,s2,v2=svd(I2);u3,s3,v3=svd(I3);% 用来存储数据压缩后的三个矩阵C1=zeros(size(I1);C2=zeros(size(I2);C3=zeros(size(I3);k=10; % 取前10个特征值% 利用公式重构矩阵for j=1:k C1=C1+s1(j,j)*u1(:,j)*v1(:,j).;endfor j=1:k C2=C2+s2(j,j)*u2(:,j)*v2(:,j).;endfor j=1:k C3=C3+s3(j,j)*u3(:,j)*v3(:,j).;endR1=im2uint8(C1); % 所占字节数较double型少第 4 页R2=im2uint8(C2);R3=im2uint8(C3);Q(:,:,1)=R1;Q(:,:,2)=R2;Q(:,:,3)=R3;% k=10 压缩后图像subplot(4,4,5); imshow(Q,); title(压缩后的原图像); % 显示压缩后的原图像subplot(4,4,6); imshow(C1); title(压缩后的原图像R原色);subplot(4,4,7); imshow(C2); title(压缩后的原图像G原色);subplot(4,4,8); imshow(C3); title(压缩后的原图像B原色); C1=zeros(size(I1);C2=zeros(size(I2);C3=zeros(size(I3);k=50;for j=1:k C1=C1+s1(j,j)*u1(:,j)*v1(:,j).;endfor j=1:k C2=C2+s2(j,j)*u2(:,j)*v2(:,j).;endfor j=1:k C3=C3+s3(j,j)*u3(:,j)*v3(:,j).;endR1=im2uint8(C1);R2=im2uint8(C2);R3=im2uint8(C3);Q(:,:,1)=R1;Q(:,:,2)=R2;Q(:,:,3)=R3; % k=50压缩后图像subplot(4,4,9); imshow(Q,); % 显示压缩后的原图像subplot(4,4,10); imshow(C1); subplot(4,4,11); imshow(C2); subplot(4,4,12); imshow(C3); C1=zeros(size(I1);C2=zeros(size(I2);C3=zeros(size(I3);k=100;for j=1:k C1=C1+s1(j,j)*u1(:,j)*v1(:,j).;endfor j=1:k第 6 页 C2=C2+s2(j,j)*u2(:,j)*v2(:,j).;endfor j=1:k C3=C3+s3(j,j)*u3(:,j)*v3(:,j).;endR1=im2uint8(C1);R2=im2uint8(C2);R3=im2uint8(C3);Q(:,:,1)=R1;Q(:,:,2)=R2;Q(:,:,3)=R3;% k=100压缩后图像subplot(4,4,13); imshow(Q,); %显示压缩后的原图像subplot(4,4,14); imshow(C1);subplot(4,4,15); imshow(C2); subplot(4,4,16); imshow(C3);3.结果分析由于原图像是一个648*991的图像，相当于矩阵为m=648，n=991。利用公式(3-1)，压缩比可写为：。那么当k=10, 50, 100时压缩比分别为。另外由matlab计算出图像传输时间(或称为图第 8 页可以看出，随着压缩比的减小，图像传输所用的时间逐渐增大，而图像的失真度越来越小，即图像越来越接近真实图像。为了更清晰的对比出结果，只做出彩色图来对比，结果如下： (a) 原图像 (b) k=10 (c) k=50 (d) k=100我们发现，随着压缩比的减小，图像失真度确实是越来越小。验证了我们之前的说法是正确的。4 结论与展望本文基于矩阵的奇异值分解，利用matlab实现了图像的压缩处理和重构，得到结论：随着图像压缩比的减小，重构后得到的图像失真度减小了，但图像传输时间增大了，虽然时间增加的不明显，但是如果图片的数量增多，那么时间的增加将会很明显。因此需要进一步的研究来选取一个最优的k值。使时间和失真度上都得到较好结果。另外，因为本文中只选取了一张普通的图片，如果是一张超高清的图片或者数量很多的照片，那么就会得到一个大型矩阵，或者很多个大