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第二章谓词逻辑PredicateLogic 前言 苏格拉底三段论 Socratessyllogism 所有人都是要死的 苏格拉底是人 所以苏格拉底是要死的 Socrates 古希腊哲学家 公元前470 前399 孔子 中国伟大哲学家 公元前551 前479 前言 在命题逻辑中 如果设 P 凡人都是要死的 Q 苏格拉底是人 R 苏格拉底是要死的 前提 P Q 结论 R 则 P Q R表示上述推理 这个命题公式不是重言式 前言 在谓词逻辑中 如果设 H x x是人 M x x是要死的 a 苏格拉底 前提 x H x M x H a 结论 M a x H x M x H a M a 前言 主语谓语客 个 体谓词 客体可以独立存在 它可以是具体的 也可以是抽象的 而用来描述客体的性质或关系的即是谓词 为了刻画命题内部的逻辑结构 就需要研究谓词逻辑 PredicateLogic 前言 比如 P 张三是大学生Q 李四是大学生以上这些命题都具备有一个共同的特征就是 x是大学生 P x 就可以代表这一类的命题 P x x是大学生 a 张三 b 李四 P a 张三是大学生P b 李四是大学生 2 1谓词的概念与表示 2 1 1谓词的概念定义1 谓词 predicate 在命题中 用以刻画客体词的性质或客体词之间关系的词即是谓词 谓词相当于命题中的谓语部分 例如 他是三好学生 他 是个体 是三好学生 是表示个体性质的谓词5大于3 5 和 3 是个体 大于 是表示个体之间关系的谓词 2 1 2谓词的表示 用大写英文字母A B C D 表示谓词 用小写字母表示客体 前面的例子可表示为 1 A x x是三好学生 h 他 A h 他是三好学生 2 G x y x大于y G 5 3 5大于3 2 1 3如何利用谓词表达命题 用谓词表达命题必须包括谓词字母和客体两个部分 比如 A x 可以表示 x是A 类型的命题 表达了客体的性质 称为一元谓词 B x y 可以表示 x小于y 类型的命题 表达了客体之间的关系 称为二元谓词 L x y z 可以表示 点x在y与z之间 类型的命题 表达了客体之间的关系 称为三元谓词 用P x1 x2 xn 表示n元谓词 在这里n个客体变元的顺序不能随意改动 2 2命题函数与量词 2 2 1命题函数一般来说 当谓词P给定 x1 x2 xn是客体变元 P x1 x2 xn 不是一个命题 因为他的真值无法确定 要想使它成为命题 要用n个客体常项代替n个客体变元 P x1 x2 xn 就是命题函数 比如L x y 表示 x小于y 那么L 2 3 表示了一个真命题 2小于3 而L 5 1 表示了一个假命题 5小于1 2 2 1命题函数 定义1 简单命题函数 simplepropositionalfunction 由一个谓词 一些客体变元组成的表达式称为简单命题函数 比如 A x B x y L x y z 简单命题函数不是命题 只有当变元x y z等取特定的客体才确定了一个命题 对于n元谓词 当n 0时 称为0元谓词 它本身就是一个命题 故命题是n元谓词的一个特殊情况 2 2 1命题函数 比如 L x y 表示 x小于y 是二元谓词 L x 3 表示 x小于3 是一元谓词 L 2 3 表示 2小于3 是0元谓词 因此可以将命题看成n元谓词的一个特殊情况 0元谓词都是命题 命题逻辑中的简单命题都可以用0元谓词表示 2 2 1命题函数 定义2 复合命题函数 compoundpropositionalfunction 由一个或n个简单命题函数以及逻辑联结词组合而成的表达式 命题逻辑中的联结词在谓词逻辑中含义完全相同 举例说明 P56例 例 2 2 1命题函数 定义3 谓词填式单独一个谓词不是完整的命题 把谓词字母后填以客体所得的式子称为谓词填式 例如 P x 表示x 3 则P 1 P 2 P 5 分别表示1大于3 2大于3 5大于3 P 1 P 2 P 5 即是谓词填式 2 2 1命题函数 定义4 谓词表达式简单命题函数与逻辑联结词组合而成 示例分析P59 1 a b c 设W x x是工人 z 小张 则原命题表示为 W z 设S x x是田径运动员 B x x是球类运动员 h 他 则原命题表示为 S h B h 设C x x是聪明的 B x x是美丽的 a 小莉 则原命题表示为 C a B a 注意 命题函数不是一个命题 只有客体变元取特定客体时 才能成为一个命题 但是客体变元在哪些范围取特定的值 对命题函数以下两方面有极大影响 1 命题函数是否能成为一个命题 2 命题的真值是真还是假 2 2 1命题函数 个体域 universeofdiscourse 在命题函数中 命题变元的论述范围称为个体域 全总个体域 个体域可以是有限的 也可以是无限的 把各种个体域综合在一起 作为论述范围的域 称为全总个体域 2 2 2量词 例题 符号化以下命题所有人都要死去 有的人的年龄超过百岁 以上给出的命题 除了有个体词和谓词以外 还有表示数量的词 称表示数量的词为量词 量词有两种 全称量词 universalquantifier 存在量词 existentialquantifier 2 2 2量词 定义1 全称量词 universalquantifier 用符号 表示 x 表示对个体域里的所有个体 x P x 表示对个体域里的所有个体都有属性P 表达 对所有的 每一个 对任一个 凡 一切 等词 Theuniversalquantifier anupside downA isusedtobuildcompoundpropositionsoftheform x P x whichwereadas forallx P x Othertranslationsof are foreach forevery forany Thecompoundproposition x P x isassignedtruthvalueasfollows x P x istrueifP x istrueforeveryxinU otherwise x P x isfalse 2 2 2量词 定义2 存在量词 existentialquantifier 用符号 表示 x表示存在个体域里的个体 x P x 表示存在个体域里的个体具有性质P 符号 称为存在量词 用以表达 某个 存在一些 至少有一个 对于一些 等词 Theexistentialquantifier abackwardEisusedtoformpropositionslike x P x whichwereadas thereexistsanxsuchthatP x thereisanxsuchthatP x or forsomex P x Thecompoundproposition x P x hasthesetruthvalues x P x istrueifP x istrueforatleastonexinU x P x isfalseifP x isfalseforeveryxinU 2 2 2量词 唯一存在量词 uniquequantifier 恰好存在一个 用符号 表示 2 2 2量词 现在对以上两个命题进行符号化 在进行符号化之前必须确定个体域 第一种情况 个体域D为人类集合 设 F x x是要死的 G x x活百岁以上 则有 x F x 和 x G x 这两个命题都是真命题 2 2 2量词 第二种情况 个体域D为全总个体域 不能符号化为 x F x 和 x G x 因为 x F x 表示宇宙间一切事物都要死的 这与原命题不符 x G x 表示宇宙间一切事物中存在百岁以上 这与原命题不符 2 2 2量词 因此必须引入一个新的谓词 将人分离出来 在全总个体域的情况下 以上两个命题叙述如下 1 对于所有个体而言 如果它是人 则它要死去 2 存在着个体 它是人并且活过百岁以上 于是 再符号化时必须引入一个新的谓词M x x是人 称这个谓词为特性谓词 2 2 2量词 定义 特性谓词在讨论带有量词的命题函数时 必须确定其个体域 为了方便 可使用全总个体域 限定客体变元变化范围的谓词 称作特性谓词 利用特性谓词 对以上两个命题进行符号化 1 x M x F x 2 x M x G x 使用量词时应注意的问题 在讨论有量词的命题函数时如果事先没有给出个体域 那么都应以全总个体域为个体域 对全称量词 特性谓词常做蕴含的前件 对存在量词 特性谓词常做合取项 举例说明 例1 有些人是要死的 解1 采用全体人作为个体域 设 G x x是要死的 原命题符号化成 x G x 解2 采用全总个体域 设 M x x是人 G x x是要死的 原命题符号化成 x M x G x 例2 凡人都是要死的 解1 采用全体人作为个体域 设 G x x是要死的 原命题符号化成 x G x 解2 采用全总个体域 设 M x x是人 G x x是要死的 原命题符号化成 x M x G x 例3 存在最小的自然数 解1 采用全体自然数作为个体域 设 G x y x y 原命题符号化成 x y G x y 注意量词顺序 y x G x y 没有最小的自然数 解2 设 F x x是自然数 G x y x y 原命题符号化成 x F x y F y G x y 例4 不存在最大的自然数 解 设 F x x是自然数 G x y x y 原命题符号化成 x F x y F y G x y 或 x F x y F y G x y 例5 火车比汽车快 解 设 F x x是火车 G x x是汽车 H x y x比y快原命题符号化成 x F x y G y H x y 或 x y F x G y H x y 例6 有的汽车比火车快 解 设 F x x是汽车 G x x是火车 H x y x比y快原命题符号化成 x F x y G y H x y 或 x y F x G y H x y 例7 有些病人相信所有的医生 解 设 F x x是病人 G x x是医生 H x y x相信y原命题符号化成 x F x y G y H x y 例8 存在唯一的对象满足性质P 解 设 P x x满足性质P原命题符号化成 x P x 或 设 P x x满足性质P E x y x和y是同一个个体原命题符号化成 x P x y P y E x y 2 3谓词公式与翻译 书上已经给出谓词 命题函数 谓词表达式 在数理逻辑中需要对能够进行谓词演算的公式进行准确的定义 这样以后我们不再说谓词 命题函数 谓词表达式等 而只研究谓词公式 2 3 1谓词逻辑字母表 个体常项 a b c a1 b1 c1 个体变项 x y z x1 y1 z1 函数符号 f g h f1 g1 h1 谓词符号 F G H F1 G1 H1 量词符号 联结词符号 括号与逗号 2 3 2谓词公式 定义 谓词公式 谓词演算的合式公式 用wff表示 wellformformulation 1 A x1 x2 xn 称为原子谓词公式 原子谓词公式是谓词公式 2