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第1次课（上） 坐标系 质点 位置矢量 位移 速度 加速度1、一物体连续完成两次大小相同的位移，第一次速度大小，与轴正方向成角；第二次速度大小，与x轴正方向成角，求该物体平均速度大小。2、一物体悬挂在弹簧上作竖直振动，其加速度为，式中k为常量，是以平衡位置为原点所测得的坐标，假定振动的物体在坐标处的速度为，求速度与坐标的函数关系式。解：3、某作直线运动的质点的运动规律为，式中k为常数，当时，初速度为，求该质点在任意时刻t的速度。4、如图，某人用绳拉一高台上的小车在地面上以匀速奔跑，设绳端与小车的高度差为，求小车的速度及加速度。解：建止标如图绳长小车位置人位置绳长不变 沿轴正向沿轴正向第2次课（上） 自然坐标系 切向、法向加速度 圆周运动的角量描述1、一质点在平面内运动，运动方程为：，求时刻质点的速度及切向加速度。2、质点沿半径的圆周运动，其角坐标与时间的关系为（SI），求当切向加速度的大小为总加速度的一半时质点的角位置3、半径的飞轮作加速转动时，轮边缘上一点的运动方程为S=（SI），求当此点的速率时的切向加速度与法向加速度的大小。4、一质点在xy平面内作曲线运动，其运动学方程为(SI)。求：（1）初始时刻的速率；（2）时加速度的大小；（3）时切向和法向加速度的大小。第3次课（上） 运动定律及其力学中的守恒定律1、质量为m的子弹以速度水平射入沙土中，设子弹所受阻力大小与速度成正比，比例系数为K，忽略子弹重力，求：（1）子弹射入沙土后，速度与时间的关系；（2）子弹射入沙土的最大深度。 2、湖面上有一小船静止不动，船上有一人质量为，如果他在船上向船头走了，但相对湖底只移动了（水对船的阻力可忽略），求小船的质量。 3、如图所示，质量为M的滑块正沿着光滑水平地面向右滑动，一质量为m的小球水平向右飞行，以速度（对地）与滑块斜面相碰，碰后竖直向上弹起，速率为（对地）。若碰撞时间为，试计算此过程中滑块对地的平均作用力和滑块速度增量的大小。 4、质量为2.0的子弹，其出口速率为300m/s。设子弹在枪筒中前进时所受的力（其中x为子弹在枪筒中行进的距离）；开始时，子弹位于x=0处，求枪筒的长度。第4次课（上） 刚体定轴转动的描述 刚体定轴转动定律1、质量为的质点位于x=3m, y=8m处时速度为，作用于质点上的力大小为，沿负X方向，求：以原点为参考点时，质点在此时的角动量和所受的力矩。2、在边长为a的正方边形的顶点，分别固定六个质点，每个质点的质量都为m，求（1）对OX、OY、OZ轴的转动惯量；（2）对OS轴的转动惯量。3、如图所示，A、B为两个相同的定滑轮，A滑轮挂一质量为M的物体，B滑轮受拉力F，而且，设A、B两滑轮的角加速度分别为、，不计滑轮轴的摩擦，比较两个滑轮的角加速度的大小 4、一半径、质量的光盘从静止开始转动，在1.5s内达到的转速，求在此1.5s时间内施加于光盘的转动力矩。第5次课（上） 刚体定轴转动中的功和能及角动量守恒定律1、质量为，半径为R的定滑轮及质量为的两物体A，B安装如图，如果B与桌面摩擦可忽略，且滑轮可视为匀质圆盘，求物体的加速度和绳子的张力。2、质量分别为m和2m、半径分别为r和2r的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量为，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为m的重物，如图所示。求盘的角加速度大小3、一轻弹簧与一均匀细棒如图连接，已知弹簧的倔强系数，细棒的质量为；当时，弹簧无伸长，求的位置上细棒至少应具有多少角速度，才能转动到水平位置？ 4、如图，一宽为l、质量为M的均匀薄板可绕00轴转动，有一质量为m的小球以速度在薄板边缘与板垂直相碰，若碰撞是完全弹性的，求碰后板的角速度和球的速度。第7次课（上） 狭义相对论的基本原理 洛仑兹变换1.经典相对性原理与狭义相对论的相对性原理有何不同？2. 北京和长沙直线相距1200km,在某一时刻从两地同时向对方飞出直航班机,现有一艘飞船从北京到长沙方向在高空掠过，速率恒为u=0.999c.求宇航员测得：（1）两班机发出的时间间隔；（2）哪一班机先启航？3. S系相对S系运动的速率为0.6c，S系中测得一事件发生处，第二事件发生在处，求S系中的观察者测得两事件发生的时间间隔和空间间隔。 4.在惯性系 K 中，有两个事件同时发生在 x 轴上相距 1000m 的两点,而在另一惯性系 K (沿轴方向相对于 K 系运动 ) 中测得这两个事件发生的地点相距 2000m . 求在 K 系中测得这两个事件的时间间隔.第8次课（上） 相对论时空观在某地发生两个事件，静止位于该地的甲测得时间间隔为4s，若相对甲作匀速直线运动的乙测得时间间隔为5s，求乙相对于甲的运动速度。一静止长度为的火箭以速度相对地面运动，从火箭前端发出一个光信号，对火箭和地面上的观察者来说，光信号从前端到尾端各用多少时间。一艘宇宙飞船的船身固有长度为L =90m，相对于地面以 0.8c的速度在地面观测站的上空飞过。 (1) 观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔是多少？ (2) 宇航员测得船身通过观测站的时间间隔是多少？地球上某一天文台发现，一只以速率0.60c向东航行宇宙飞船将在5秒钟后同一个以0.80c速率向西飞行的慧星相撞，试问：（1）飞船中的宇航员看到慧星以多大速率向他们运动；（2）按飞船上的时钟计，还有多少时间允许他们离开原来航线避免碰撞。第9次课（上） 相对论动力学基础1一个电子被电压为的电场加速后，其质量多大？速度多大？一个立方体的静质量为 ，体积为 ，当它相对某惯性系 S 沿一边长方向以 v 匀速运动时，静止在 S 中的观察者测得其密度为多少？一电子以0.99c(c为真空中光速)的速率运动。试求：(1) 电子的总能量是多少？(2) 电子的经典力学的动能与相对论动能之比是多少？(电子静止质量m=9.1110-31 kg) 4.证明：相对论中的动能与动量的关系为Ek=P2/（m+m0），m0为粒子的静质量，m为粒子的相对论质量。（2）证明：，在vc时，可以转化成经典表达式.（3）证明：一粒子的相对论动量可以写成第11次课（上） 电荷及守恒定律 库仑定律 电场强度 场强叠加原理11964年，盖尔曼等人提出基本粒子是由更基本的夸克构成，中子就是由一个带的上夸克和两个带下夸克构成，若将夸克作为经典粒子处理（夸克线度约为10-20 m），中子内的两个下夸克之间相距2.6010-15 m。求它们之间的斥力。1、解： 由库仑定律： 代入数据，求得库仑力大小：2均匀带电细棒，棒长L=20 cm，电荷线密度。求：（1）棒的延长线上与棒的近端相距8cm处的场强。2、解：取线元dx ,其电量dq 在P 点场强大小为: 3一半径为R的半圆细环上均匀分布电荷Q，求环心处的电场强度3、解：建立如图坐标；取线元： 由对称性： 4已知两杆电荷线密度为l, 长度为L, 相距L . 求两带电直杆间的电场力. 4、解： 第12次课（上） 电场线、电通量 真空中的高斯定理及应用1用高斯定理求均匀带正电的无限大平面簿板的场强（设电荷的面密度为）；1、解：具有面对称性，作闭合圆柱面为高斯面。 方向如图所示。2若、为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，已知两平面间的电场强度大小为，两平面外侧电场强度大小都为，方向如图由场强迭加原理计算、两平面上的电荷面密度, 各是多少？E0/3E0/3E0AB2、解：过A板作闭合圆柱面为高斯面 同理，过B板作闭合圆柱面为高斯面3如图所示，半径R的非金属球体内，电荷体密度为 = kr，式中k为大于零的常量，求：（1）球体内任意一点的场强E1（r）；（2）球体外任意一点的场强E2（r）。o= kr3、解：取同心球面为高斯面 由高斯定理： 4两无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2，带有等量异号电荷，单位长度的电量分别为和-，求（1）r R1；（2） R1 r R2处各点的场强4、解：取同轴圆柱形高斯面, 由高斯定理： 第13、14次课（上） 静电场力的功 静电场的环路定理 电势能、电势、电势差1如下图所示，在A、B两点处有电量分别为+q，-q的点电荷，AB间距离为2R，现将另一正试验电荷从O点经半圆弧路径移到C点，求移动过程中电场力所做的功。1、解：由点电荷电势公式及电势叠加原理： 2电荷q均匀分布在半径为R的球体内，求离球心r（rR）处的电势。2、解：由高斯定理： 3.如图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于试求环中心点处的场强和电势3、解：(1)由于电荷均匀分布与对称性，AB和CD段电荷在O点产生的场强相互抵消，BC段电荷在O点产生的场强由第11课练习题3可得：(2) AB段电荷在O点产生的电势（以无穷远处电势为零） 同理CD段： BC段： 4. 两个半径分别为和（)的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+，试计算：(1)外球壳上的电荷分布及电势大小；(2)先把外球壳接地，然后断开接地线，此时外球壳的电荷分布及电势；*(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量4、解：(1) 外球壳内表面均匀带-q，外内表面均匀带+q (2) 外壳接地时，外表面+q电荷入地，外表面不带电，内表面电荷为-q (3) 设此时内球壳带电量为 ，外球壳内表面均匀带,外内表面均匀带 此时电场分布为： 由此 第15次课（上） 导体静电平衡条件 静电屏蔽 有导体存在的静电场的计算1. 金属球壳和的中心相距为，和原来都不带电现在的中心放一点电荷，在的中心放一点电荷，如图所示试求：(1) 对作用的库仑力，有无加速度；(2)去掉金属壳，求作用在上的库仑力，此时有无加速度1、(1) 对作用力的大小为。由于静电屏蔽，以及球壳A和球壳B上的感应电荷在球壳B内部空间产生的合和场强为0，故所受合和外力为0，没有加速度； (2) 对作用力的大小为, 以及球壳A的感应电荷对均有作用力，其合力使产生加速度。2. 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同2、(1) 对图示封闭面(S)利用高斯定理，有 即 (2) 取向右为正方向，有 故有 3三个平行金属板A、B、C，面积均为S =200平方厘米，A、间相距d1 = 毫米，A、间相距d2 = 毫米，B和C两板都接地。如果使A板带正电q = 库仑，求：（1）B、C板上感应电荷。（2）A板电势。3、解：(1) 令A 板左侧电荷面密度为，右侧为，则根据静电感应，C板右侧电荷面密度为，B板左侧电荷面密度为 显然 方向向右； 方向向左 由于A板为等势体，有 即 由和有 (2) 4. 有两个同轴圆柱面，内圆柱面半径为R1，电势为U1，外圆柱面半径为R2，电势为U2，求两圆柱面间距轴线垂直距离为r1和r2两点的电势差4、 解：设内圆柱面单位长度柱面带电，则两柱面间电场分布为： 两柱面的电势差为：由此得 两圆柱面间距轴线垂直距离为r1和r2两点的电势差为：第16次课（上） 电容器与电容，静电场的能量1.如图所示，=0.25F，=0.15F，=0.20F 上电压为50V求：1、解： ， 串联，其带电量相同，为， 2. 半径为=2.0cm 的导体球，外套有一同心的导体球壳，壳的内、外半径分别为=4.0cm和=5.0cm，当内球带电荷=3.010-8C时，求：(1)整个电场储存的能量；(2)如果将导体壳接地，计算储存的能量；(3)此电容器的电容值2、解：(1) 电场分布为 能量密度分布为 取同心薄球壳为体积元，则 代入数据有 (2) 电场分布为 能量密度分布为 取同心薄球壳为体积元，则 代入数据有(3) 3.有一平行板空气电容器，每块极板的面积均为S，两板间距为d今以厚度为的铜板平行地插入电容器，计算(1) 此时电容器的电容铜板离极板的距离对这一结果有无影响？(2) 现使电容器充电到两极板的电势差为U0后与电源断开，再把铜板从电容器个抽出，外力需做多少功?3、解：(1) 设上下极板分别带电，则铜板上表面带电，下表面带电，铜板与上下极板间的场强大小均为 方向由上指向下。 设铜板与上极板间距为，则上下极板间的电势差为 根据电容定义 由上式知与铜板位置无关。 另解：可看作两个电容器的串联，设铜板与上极板间距为，则两个电容器的电容分别为： （2）断开电源后，电容器带电量不变，为，抽出铜板后，电容器电容为 抽出铜板过程中外力的功等于电容器储能的变化4圆柱形电容器由半径为的导线和与它同轴的导体圆筒构成。圆筒内半径为，其间为真空，长为l，如图所示。设沿轴线单位长度上导线电荷线密度为+，圆筒电荷线密度为-，忽略边缘效应，试求：（1）电容器储存的能量。（2）电容器的电容。4、解：(1) 电场的分布为 两极板间的电势差为： 电容器储能为： (2) 电容器的电容 第18次课（上） 磁感应强度 磁通量 磁场的高斯定理 毕奥-萨伐尔定律1、边长为2a的等边三角形线圈，通有电流I，求线圈中心处的磁感强度。2、一弯曲的载流导线在同一平面内，形状如图所示。O为两半圆的共同圆心，电流从无限远来，到无限远去，求O点的磁感应强度的大小。2、解：二水平段载流直线在点处磁感应强度为；大、小载流半圆弧线在在点处磁感应强度大小分别为 方向相同，均垂直纸面向里 铅垂载流直线段在点处磁感应强度大小为方向垂直纸面向外 取垂直垂直纸面向里为正方向，点处磁感应强度为3、如图，一根无限长直导线，中间一段弯成半径为 r的圆弧，若导线中电流为I，求圆心O点处的磁感应强度。3、解：方向垂直纸面向里 方向垂直纸面向里 方向垂直纸面向里 取垂直垂直纸面向里为正方向，点处磁感应强度为4、如图所示，宽度为a的薄金属板中通有电流I，电流沿薄板宽度方向均匀分布。求在薄板所在平面内距板的边缘为x的P点处的磁感应强度。4、解：如图，将无限长载流板划分为无限长载流线的集合，取图所示的一根载流线，设其载流为，显然，该载流线在点磁感应强度大小为 方向垂直纸面向外 其中所有载流线在点磁感应强度方向均相同，即垂直纸面向外，取垂直纸面向外8为正方向，有点磁感应强度为 第19次课（上） 毕-萨定律的应用，安培环路定理及其应用1、有一同轴电缆，其尺寸如图所示，它的内外两导体中的电流均为I，且在横截面上均匀分布，但两者电流的流向正相反，求导体内外的磁感应强度的分布。1、解：如图磁场具有轴对称性，以对称轴为中心作图示半径为的安培环路，箭头所示为安培环路正绕方向(左视逆时针) 由安培环路定理： ，有 故方向为左视图圆周逆时针切线方向。2、通电5.00 A的长直导线附近放一与导线处于同一平面的单匝矩形线圈，其边长a=4.00 cm, b=3.00 cm，平行于导线的一边与导线相距d=2.00 cm，如图所示，求通过矩形线圈的磁通量。2、解： 取如图所示的面元矢量，规定平面线圈的法向垂直纸面向里U，则。面元矢量处的 的大小为方向垂直纸面向里U通过面积元的磁通量为通过平面线圈的磁通量为3、题3所示是一根长直圆管形导体的横截面，内外半径分别为a、b，导体内载有沿轴线流动的电流I，且I均匀地分布在管的横截面上，设导体的磁导率，试证明导体各点（）的磁感应强度大小为：ab3、证明：设电流垂直纸面向外8，以对称轴为中心作图示半径为的安培环路，箭头所示为安培环路正绕方向，则由安培环路定理： ，有 故方向为圆周逆时针切线方向。4、一根很长的铜导线载有电流10A，在导线内部作一平面S，如题图所示，计算通过S平面的磁通量（沿导线长度方向取长为1m的一段作计算，铜的）4、解： 取如图所示的面元矢量，它距轴线垂直距离为，宽为，长为。取平面法向向下。 设导体中电流由右向左流，截面半径为则面元处的之大小可由安培环路定理求得： 方向与相同。通过面积元的磁通量为通过平面线圈的磁通量为代入及有第20次课（上） 磁场对载流导线和载流线圈的作用 安培定律 磁力的功1、在一长直载流导线旁有一长为L导线ab，其上载电流分别为I1和I2，a端到直导线距离为d （1）当导线ab与长直导线垂直，求ab受力。 （2）当导线ab与长直导线成一角度，求ab受力。 1、解：(1) 在ab上取电流元，它距铅垂导线的距离为。载流的导线在该处的电流之大小为，方向垂直纸面向里，与垂直。由安培力公式，受载流的导线对其的作用力大小为 方向如图所示。 取水平向右为x轴正方向，垂直向上为y轴正方向，则 其中，故 (2) 在ab上取电流元，它距铅垂导线的距离为。载流的导线在该处的电流之大小为，方向垂直纸面向里，与垂直。由安培力公式，受载流的导线对其的作用力大小为 方向如图所示。 取水平向右为x轴正方向，垂直向上为y轴正方向，则 其中 ，故2、两根平行无限长直导线间的垂直距离为a，其中电流强度分别为和，且方向相同，试求在单位长度导线上的作用力的大小。2、解：应用安培力公式，电流元和受力大小分别为导线1、2单位长度所受磁力大小分别为 方向如图所示。3、如图，电流为的等边三角形载流线圈与无限长直电流共面，等边三角形的边长为l，AC边距无限长载电直导线的距离为d。求载流线圈所受的合力。3、解：设三角线圈每边长L 对AC段：在CA段处之大小为，方向垂直纸面向里，与CA垂直。由安培力公式， CA受载流的导线对其的作用力大小为 方向如图所示。 取水平向右为x轴正方向，垂直向上为y轴正方向，则 对AB段：在AB上取电流元，它距铅垂导线的距离为。载流的导线在该处的电流之大小为，方向垂直纸面向里，与垂直。由安培力公式，受载流的导线对其的作用力大小为 方向如图所示。 其中 ，故 对BC段：由对称性，知 故，三角载流线圈受力为：4、一半径为R，电荷面密度为的均匀带电圆盘，放入磁感应强度为B的匀强磁场中，磁力线与圆盘表面平行，现圆盘以角速度绕对称轴转动。求：（1）在距盘心为r处取一半径为r宽度为dr的圆环，则圆环旋转产生的电流强度dI有多大？（2）该圆环所受的磁力矩有多大？（3）圆盘所受的合力矩有多大？4、解：(1) 宽度为dr 的圆环在旋转时产生的电流强度为 (2) 该圆环磁矩大小为 方向垂直盘面向上。 该圆环所受磁力矩大小为 方向垂直纸面向里U (3) 取垂直纸面向里U为x轴正方向，有圆盘环所受磁力矩为第22次课（上） 法拉第电磁感应定律，楞次定律1、如图所示，一长为L的刚性直导线AB与通有电流I的无限长直导线在同一平面内且相互垂直，直导线AB的左端与载流导线的距离为a。求当导线AB以速率v垂直向上平动时，该导线上的动生电动势。DCaLvIABh解: 这是求一段非闭合导线上动生电动势的问题，对这类问题，也有两种解法解法一 用动生电动势公式计算。在直导线AB上任取一线元，距离载流导线为r，方向从A指向B，则该线元上的电动势为直导线AB上的动生电动势为因为，所以动生电动势的方向从B指向A。解法二 添加辅助导线组成闭合回路，用法拉第电磁感应定律计算。如图所示，作辅助导线ADCB，使之导线AB构成一闭合回路。设任一时刻t闭合回路的高为h，则有。取闭合回路围成平面平积正法向垂直于纸面向里，则有电动势为表明的方向与形成左手螺旋关系。因为所作辅助导线ADCB相对于电流I产生的磁场都是静止的，其上不会产生电动势，所以求出的就是导线AB上的动生电动势，与形成左手螺旋关系的电动势方向具体到AB上就是从B指向A。2、一长直导线通有稳恒电流I，一长为L的导体棒AB与导体共面，方向如图，此棒以速度V竖直向上匀速运动，求棒两端的感应电动势，并指出哪端电势高。3、如图所示，二根很长的直导线载有交变电流，它旁有一长方形线圈ABCD，长为L，宽为b-a，线圈与导线共面，求：（1）穿过回路ABCD的磁通量（2）回路ABCD中的感应电动势4、如图所示，一长直导线载有电流，旁边有一矩形线圈（与长直导线共面），AB长BC宽，线圈共1000匝，令线圈以速度水平向右平动，求线圈的边与长直导线的距离时线圈中的动生电动势。aIABCDv解: 第23次课（上） 动生电动势 感生电动势1、一长直导线通以电流，有一金属棒和长直导线在同一平面内，并绕棒的一端以角速度作顺时针转动，见图，若棒长点与长直导线距离为，试求：（1）当棒转至与长直导线平行时（），（2）与长直导线垂直时（）棒内的动生电动势的大小和方向。1、解： （1）在金属棒上任取一线点，方向从指向，则IOMN 方向从指向（2）在金属棒上任取一线元，方向从指向，则 方向从指向。2、载有恒定电流I的长直导线旁有一半圆环导线cd，半圆环半径为b，环面与直导线垂直，且半圆环两端点连线的延长线与直导线相交，如图2所示，当半圆环以速度沿平行于直导线的方向下移时，半圆环上的感应电动势的大小是多少？3、半径为R的圆柱形空间内分布有沿圆柱轴线方向的均匀磁场，磁场方向垂直纸面向里，变化率。有一长度为2R的金属杆放在如图所示的位置，其中一半位于磁场内，一半位于磁场外，求该金属杆上的感生电动势。3、解 这是求一段导线上感生电动势的问题，对这类问题，通常有两种解法。解法一 用感生电动势公式计算。根据磁场分布的轴以称性可知线是围绕圆柱轴线且在圆柱截面上的一系列同心圆。CBA O取任一半径为r的同心圆为积分回路，并设该回路包围面积S的正法向与磁场同方向，则由可得感生电场的分布为 （） （rR）式中负号表明与在方向上形成左手螺旋关系，即当时，沿同心圆的逆时针切线方向。于是金属杆上的AB段的感生电动势为由图上几何关系可得，代入上式，得金属杆上BC段的感生电动势为由图上几何关系可得，两边微分，有，即，代入上式，得所以所求金属杆上的感生电动势为因为，所以电动势方向从。解法二 添加辅助导线组成闭合回路，用法拉第电磁感应定律计算。如图中所示，作辅助线OA、OC组成闭合回路OACO，穿过该回路围成面积的磁通量实际上只是穿过三角形OAB围成面积S1的磁通量与穿过扇形OBD围成面积S2的磁通量之和。因此取整个闭合回路围成面积的正法向与同方向时，穿过该回路的磁通量为所以因为线是以O为圆心的一系列同心圆，所以在辅助线OA与OC上处处与之垂直。因此辅助线OA、OC上的感生电动势均为零，故所求出闭合回路OACO上的感生电动势就是金属杆AC上的感生电动势。式中的负号表示感生电动势的方向与成左手螺旋关系，具体到金属杆AC上是从A指向C。4、如图，半径为的圆形区域内有一均匀磁场垂直纸面，且以均匀速率增大，求图中导线的感生电动势。DCABL4、解： 选取半径为r的同心圆为闭合回路L，L包围面积的正法向设为与同向，当时， 当时， ，即沿L的逆时针切线方向。于是 方向与积分方向相同。第24次课（上） 自感与互感 磁场能量和能量密度1、长50 cm，截面积为8.0的空心螺线管共绕4000匝，求此螺线管的自感系数。如果电流在内由1.0 A减少到0.1 A，线圈中的自感电势的大小和方向如何？2、一矩形线圈长a=20 cm宽b=10 cm，共绕