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班级： 学号： 姓名： 装 订 线 沈阳农业大学理学院第一学期期末考试高等代数试卷（1）题号一二三四五六七总分得分得分一、 填空（共35分，每题5分）1设, 则 69_ .2当 _2,-2 .时, 有重因式。3. 令,是两个多项式, 且被整除, 则 0_ , _0 . 4. 行列式 23 。5. 矩阵的积。6. 7. 的一般解为, 任意取值。得分二、（10分）令,是两个多项式。求证当且仅当。证：必要性. 设。（1%）令为的不可约公因式，（1%）则由知或。(1%)不妨设，再由得。故矛盾。(2%) 充分性. 由知存在多项式使,(2%)从而,(2%)故。(1%)得分三、(16分)取何值时，线性方程组有唯一解、没有解、有无穷解？在有解情况下求其解。解：(5%)当时，有唯一解：(4%) 当时，有无穷解：任意取值；当时，有无穷解：任意取值；(3%)当或时，无解。(4%)得分四、(10分)设都是非零实数，证明证: 对n用数学归纳法。当n=1时 , , 结论成立(2%); 假设n-1时成立。则n时= = (4%)现由归纳假设有=,(3%)故由归纳原理结论成立。(1%)得分五、(10分)证明在有理数域上不可约。证: 令得(1%)。(3%)取素数p=2满足且2不整除1, 4不整除2. (2%)再据艾茵斯坦茵判别法知在有理数域上不可约，（2%）从而在有理数域上不可约（2%）得分六、（9分）令为数域上秩为的矩阵，。求证：存在秩为的矩阵和秩为的矩阵, 使得。证: 为数域上秩为的矩阵，, 则存在可逆阵P和可逆阵Q使.（3%）进而令（4%）就得（2%）.得分七、（10分）设, 是矩阵, 且,可逆。求证矩阵可逆,
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