江苏省数学卷真题-2015高考.doc

2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I1、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应的位置1. 已知集合，则集合中元素的个数为_.解析：，故答案52. 已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为_.解析：，故答案63. 设复数z满足（i是虚数单位），则z的模为_.解析：设z=a+bi,，则化为，所以解得，所以z的模为，故答案4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为_.S1I1While I8，所以程序结束，故S=75. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_.6. 已知向量，若，则m-n的值为_.解析：因为，所以，所以7. 不等式的解集为_.解析：因为，所以，故解析为8.已知，则的值为_.解析：，故答案39.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 解析：设新的底面半径为r，原来的总体积为，新的总体积为，所以10.在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 解析：圆心到直线的距离为d=当m=0时，d=1；当m时，；当m0时，所以，综上，因为圆与直线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，所以圆的半径最大为，所以圆的标准方程为11.数列满足，且（），则数列的前10项和为 解析：累加法，则，所以=12.在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。若点到直线的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为 解析：双曲线的一条渐近线方程为x-y=0，显然渐近线方程x-y=0与直线方程x-y+1=0平行，要使得点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立，也就是c的最大值要比点P到直线x-y+1的距离的最小值要小，根据图象显然可知c的最大值就是渐近线方程x-y=0与直线方程x-y+1=0的距离，即13.已知函数，则方程实根的个数为 解析：实根的个数转化为函数图象交点的个数，图象如下：根据图象可知，有4个交点，故答案414.设向量，则的值为 解析：=二、解答题，本部分共6大题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤15. （本小题满分14分）在中，已知（1）求BC的长；（2）求的值。解析：设AB=c，AC=b，BC=a（1），所以BC=（2）16. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，已知.设的中点为D，求证：（1）(2)证明：（1）直三棱柱四边形是矩形E是的中点D是的中点（2），四边形是矩形四边形是正方形直三棱柱17. （本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数（其中a，b为常数）模型.（I）求a，b的值；（II）设公路与曲线C相切于P点，P的横坐标为t. 请写出公路长度的函数解析式，并写出其定义域； 当t为何值时，公路的长度最短？求出最短长度.解析：（1）根据题意知所以（2）由（1）知，设所以直线l的方程为当x=0时，；当y=0时，；则，定义域为取，t-0+减625增由表格可知，当时，有最小值，最小值为18. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.（1） 求椭圆的标准方程；（2） 过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.（1）因为右焦点F到左准线l的距离为3所以因为离心率为，所以由可得，所以所以椭圆的标准方程为（2）当直线AB斜率不存在，则直线AB方程为，直线PC方程为易求，所以PC2AB与题意矛盾，所以不符合题意当直线AB斜率存在，设AB的方程为设所以，所以AB=则所以因为，所以PC的方程可设为当x=-2时，所以P则PC=因为PC=2AB，所以=2解得，所以直线AB的方程为19. （本小题满分16分）已知函数（1）试讨论的单调性；（2）若（实数c是与a与无关的常数），当函数有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是，求c的值解析：（1），解得当a=0时，所以f（x）在R上是增函数当时x+-+增减增由表格可知，f（x）的增区间为，；减区间为当时x+-+增减增由表格可知，f（x）的增区间为，；减区间为综上，当a=0时，f（x）在R上是增函数当时，f（x）的增区间为，；减区间为当时，f（x）的增区间为，；减区间为（2）因为b=c-a，所以由（1）可知，当时，f（x）的增区间为，；减区间为所以f(x)的极大值为，极小值为因为函数有三个不同的零点，所以满足同理，当时，满足综上可知，的解集为所以有一个根为把带入，可解的所以c的值为120. （本小题满分16分）设是各项为正数且公差为d的等差数列（1）证明：依次成等比数列（2）是否存在，使得依次成等比数列?并说明理由;（3）是否存在及正整数，使得依次成等比数列，并说明理由解析：（1）同理，所以是以为公比的等比数列（即证）（2）假设存在则可得，即化简可得，所以所以得到（与矛盾），所以不存在（3）省略数学II（附加卷）21、 【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。A、 选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，在中，的外接圆O的弦交于点D求证：解析：证明：AB=AC= B、选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知，向量是矩阵的属性特征值的一个特征向量，矩阵以及它的另一个特征值。解析：由可得，化简得，所以所以特征多项式为，解得，所以另一个特征值为C、选修4-4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）已知圆C的极坐标方程为，求圆C的半径.解析：所以圆C的半径为D、选修4-5：不等式选讲 （本小题满分10分）解不等式解析：当时所以当时所以综上，不等式的解集为【必做题】第22题、第23题，每题10分.请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤22.如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，,（1）求平面与平面所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长解析：（1）建立如图所示的空间直角坐标系易知，A(0，0，0)，P（0,0,2），B（1,0,0），C（1,1,0），D（0,2,0）平面PAB的法向量易知设平面PCD的法向量为设平面PAB与平面PCD所成的二面角为，显然是锐