高等数学讲义2.doc

第八章：多元函数微分8.1 多元函数的极限与连续性8.1.1 定义 设函数f(x,y)在开区域（或闭区域）D内有定义，P0(x0,y0)是D的内点或边界点。如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式的一切点P(x,y)D,都有|f(x,y)-A|0，取，则当时，总有成立，所以。我们必须注意，所谓二重极限存在，是指P（x,y）以任何方式趋于P0（x0,y0）时，函数都无限接近于A。定义 设函数f(x,y)在开区域（或闭区域）D内有定义，P0(x0,y0)是D的内点或边界点且P0D。 如果则称函数f(x,y)在点P0(x0,y0)连续。8.1.2 性质性质1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最小值和最大值。性质2（介值定理） 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。所谓定义区域，是指包含在定义域内的区域或闭区域。由多元初等函数的连续性，如果要求它在点P0处的极限，而该点又在此函数的定义区域内，则极限值就是函数在该点的函数值，即。8.2 偏导数的定义及计算法8.2.1 定义 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量x时，相应的函数有增量f(x0+x,y0)-f(x0,y0),如果存在，则称此极限为函数z=f(x,y) 在点(x0,y0)处对x的偏导数，记作或 fx（x0，y0）。对于函数z=f(x,y)，求时，只要把y暂时看作常量而对y求导。例 求z=x2sin2y的偏导数。解。8.2.2 高阶偏导数定理 如果函数z=f（x,y）的两个二阶混合偏导数在区域D内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。8.3 多元复合函数求导法则及实例定理 如果函数u=(t)及（t）都在点t可导，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数z=f(t), (t)在点t可导，且其导数可用下列公式计算：。例 设z=eusinv，而u = xy，v = x+y。求。解8.4 隐函数的求导公式8.4.1 一个方程的情形隐函数存在定理1 设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续的偏导数，且F(x0,y0)=0, Fy(x0,y0) 0，则方程F(x,y) = 0在点(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y = f(x)，它满足条件y0 = f(x0)，并有。上面公式就是隐函数的求导公式。隐函数存在定理2 设函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内具有连续的偏导数，且F(x0,y0,z0) = 0, Fz(x0,y0,z0) 0，则方程F(x,y,z) = 0在点(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数z = f(x,y)，它满足条件z0 = f(x0,y0)，并有。例 设x2+y2+z2-4z = 0，求，解 设F（x,y,z）= x2+y2+z2-4z ，则Fx = 2x，Fz = 2z-4。应同上面公式，得。再一次对x求偏导数，得。二、方程组的情形隐函数存在定理3 设F（x,y,u,v）、G（x,y,u,v）在点P（x0,y0,u0,v0）的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又F（x0,y0,u0,v0）= 0，G（x0,y0,u0,v0）= 0，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（Jacobi）式）：在点P（x0,y0,u0,v0）不等于零，则方程组F（x,y,u,v）= 0，G（x,y,u,v）= 0在点（x0,y0,u0,v0）的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续导数的函数u = u（x,y），v = v（x,y），它们满足条件u0 = u（x0,y0），v0 = v（x0,y0），并有。8.5 微分法在几何上的应用8.5.1 空间曲线的切线与法平面设空间曲线的参数方称为x=(t)，y=(t)，z=(t)，这里假定上式的三个函数都可导。插图1在曲线上取对应于t=t0的一点M（x0，y0，z0）。根据解析几何，可得曲线在点M处的切线方程为。切线的方向向量称为曲线的切向量。向量T=（t0），（t0），（t0）就是曲线在点M处的一个切向量。通过点而与切线垂直的平面称为曲线在点M处的法平面，它是通过点M（x0，y0，z0）而以T为法向量的平面，因此这法平面的方程为（t0）（x-x0）+（t0）（y-y0）+（t0）（z-z0）= 0。8.5.2 曲面的切平面与法线 插图2设曲面由方程F（x,y,z）= 0给出，M（x0，y0，z0）是曲面上的一点，并设函数F（x,y,z）的偏导数在该点连续且不同时为零。则根据解析几何，可得曲面上通过点M的一切曲线在点M的切线都在同一个平面上。这个平面称为曲面在点M的切平面。这切平面的方程是Fx（x0，y0，z0）（x-x0）+Fy（x0，y0，z0）（y-y0）+Fz（x0，y0，z0）（z-z0）= 0通过点M（x0，y0，z0）而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线。法线方程是x=3垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量。向量n = Fx（x0，y0，z0），Fy（x0，y0，z0），Fz（x0，y0，z0）就是曲面在点M处的一个法向量。8.6 多元函数极值的求法8.6.1 多元函数的极值二元函数的极值问题，一般可以利用偏导数来解决。定理1（必要条件） 设函数z = f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数，且在点(x0,y0)处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：fx(x0,y0) = 0，fy(x0,y0) = 0。定理2（充分条件） 设函数z = f(x,y)在点(x0,y0)的某领域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x0,y0) = 0，fy(x0,y0) = 0，令fxx(x0,y0) = A，fxy(x0,y0) = B，fyy(x0,y0) = C，则f(x,y)在(x0,y0)处是否取得极值的条件如下：（1）AC-B20时具有极值，且当A0时有极小值；（2）AC-B2 0且在D上连续。现在要计算该薄片的质量M。由于面密度（x，y）是变量，薄片的质量不能直接用密度公式（M =S）来计算。但（x，y）是连续的，利用积分的思想，把薄片分成许多小块后，只要小块所占的小闭区域D s i的直径很小，这些小块就可以近似地看作均匀薄片。在D s i（这小闭区域的面积也记作D s i）上任取一点（x i，h i），则（x i，h i）D s i（i = 1，2，n）可看作第i个小块的质量的近似值插图1。通过求和，再令n个小区域的直径中的最大值（记作）趋于零，取和的极限，便自然地得出薄片的质量M，即。再设有一立体，它的底是xOy面上的闭区域D，它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面，它的顶是曲面z = f（x，y），这里f（x，y） 0且在D上连续。这种立体叫做曲顶柱体。现在要计算上述曲顶柱体的体积V。由于曲顶柱体的高f（x，y）是变量，它的体积不能直接用体积公式来计算。但仍可采用上面的思想方法，用一组曲线网把D分成n个小闭区域D s 1 ，D s 2，D s n，在每个D s i上任取一点（x i，h i），则f（x i，h i）D s i（i = 1，2，n）可看作以f（x i，h i）为高而底为D s i的平顶柱体的体积插图2。通过求和，取极限，便得出。上面两个问题所要求的，都归结为同一形式的和的极限。在其他学科中，由许多物理量和几何量也可归结为这一形式的和的极限。因此我们要一般地研究这种和的极限，并抽象出下述二重积分的定义。定义 设f（x，y）是有界闭区域D上的有界函数。将闭区域D任意分成n个小闭区域D s 1 ，D s 2，D s n，其中D s i表示第i个小闭区域，也表示它的面积。在每个D s i上任取一点（x i，h i），作乘积 f（x i，h i）D s i（i = 1, 2, , n,），并作和。如果当各小闭区域的直径中的最大值l 趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f（x，y）在闭区域D上的二重积分，记作，即。（*）其中f（x，y）叫做被积函数，f（x，y）ds 叫做被积表达式，ds 叫做面积元素，x与y叫做积分变量，D叫做积分区域，叫做积分和。在二重积分的定义中对闭区域D的划分是任意的，如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D，那末除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域。设矩形闭区域D s i的边长为D xj和D yk，则D s = D xjD yk。因此在直角坐标系中，有时也把面积元素ds 记作dxdy，而把二重积分记作其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素。这里我们要指出，当f（x，y）在闭区域D上连续时，（*）式右端的和的极限必定存在，也就是说，函数f（x，y）在D上的二重积分必定存在。9.1.2 二重积分的性质二重积分与定积分有类似的性质：性质1 被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，即（k为常数）。性质2 函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重积分的和（或差）。例如。性质3 如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和。例如D分为两个闭区域D1与 D2，则。此性质表示二重积分对于积分区域具有可加性。性质4 如果在D上，f（x，y）= 1，s 为D的面积，则。此性质的几何意义很明显，因为高为1的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底面积。性质5 如果在D上，f（x，y） j （x，y），则有不等式。特殊地，由于- | f（x，y）| f（x，y） | f（x，y）|，又有不等式。性质6 设M，m分别是f（x，y）在闭区域D上的最大值和最小值，s 是D的面积，则有。上述不等式是对二重积分估值的不等式。性质7（二重积分的中值定理） 设函数f（x，y）在闭区域D上连续，s 是D的面积，则在D上至少存在一点（x ，h ）使得下式成立：。9.2 二重积分的计算法（直角坐标，极坐标）按照二重积分的定义来计算二重积分，对少数特别简单的被积函数和积分区域来说是可行的，但对一般的函数和积分区域来说，这不是一种切实可行的方法。这里介绍一种方法，把二重积分化为两次单积分（即两次定积分）来计算。9.2.1 利用直角坐标计算二重积分下面用几何的观点来讨论二重积分的计算问题。在讨论中我们假定f（x，y） 0。并设积分区域D可以用不等式j 1（x） y j 2（x），axb来表示插图1，其中函数j 1（x）、j 2（x）在区间 a，b 上连续。我们应用“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法，来计算这个曲顶柱体的体积。为计算截面面积，在区间 a，b 上任意取定一点x0，作平行于yOz面的平面x=x0。这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间 j 1（x0），j 2（x0） 为底、曲线z = f（x0，y）为曲边的曲边梯形（插图2中阴影部分），所以这截面的面积为。一般的，过区间 a，b 上任一点x且平行于yOz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为，于是，得曲顶柱体的体积为。这个体积也就是所求二重积分的值，从而有等式。（1）上式右端的积分叫做先对y、后对x的二次积分。就是说，先把x看作常数，把f（x，y）只看作y的函数，并对y计算从j 1（x）到j 2（x）的定积分；然后把算得的结果（是x的函数）再对x计算在区间 a，b 上的定积分。这个先对y、后对x的二次积分也常记作。因此，等式（1）也写成，（1）在上述讨论中，我们假定f（x，y） 0，但实际上公式（1）的成立并不受此条件限制。类似地，如果积分区域D可以用不等式1（y） x 2（y），cyd来表示插图3，其中函数1（y）、 2（y）在区间 c，d 上连续，那末就有。上式右端的积分叫做先对x、后对y的二次积分，这个积分也常记作。因此，等式（2）也写成，（2）这就是把二重积分化为先对x、后对y的二次积分的公式。我们称图9-2-1所示的积分区域为X-型区域，图9-2-3所示的积分区域为Y-型区域。对不同的区域，可以应用不同的公式。如果积分区域D既不是X-型的，也不是Y-型的，我们可以把D分成几个部分，使每个部分是X-型区域或是Y-型区域。如果积分区域D既是X-型的，又是Y-型的，则由公式（1）及（2）就得。上式表明，这两个不同次序的二次积分相等，因为它们都等于同一个二重积分。二重积分化为二次积分时，确定积分限是一个关键。而积分限是根据积分区域D的类型来确定的。例1 计算，其中D是由直线y = 1、x = 2及y = x所围成的闭区域。解法1 首先画出积分区域D插图4。D是X-型的，D上的点的横坐标的变动范围是区间1，2。在区间1，2上任意取定一个x值，则D上以这个x值为横坐标的点在一段直线上，这段直线平行于y轴，该线段上点的纵坐标从y = 1变到y = x。利用公式（1）得。解法2 把积分区域D看成是Y-型的。同学们可作为练习，验证解出的答案是否与解法1的相一致。对于较复杂的积分区域，在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次序。这时，既要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数f（x，y）的特性。例2 求量各底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积。解 设这两个圆柱面的方程分别为x2 + y2 = R2及x2 + z2 = R2利用立体关于坐标平面的对称性，只要算出它在第一卦限部分插图5的体积V1，然后再乘以8就行了。所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为，如图9-2-5（b）所示。它的顶是柱面。于是，。利用公式（1）得 从而所求立体体积为。9.2.2 利用极坐标计算二重积分有些二重积分，积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，且被积函数用极坐标变量r，比较简单。这时，我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分。按二重积分的定义有，下面将推导出这个和的极限在极坐标系中的形式。假定从极点O出发且穿过闭区域D内部的射线与D的边界曲线相交不多于两点。我们用以极点为中心的一族同心圆：r=常数，以及从极点出发的一族射线：=常数，把D分成n个小闭区域插图6。除了包含边界点的一些小闭区域外，小闭区域的面积D s i可计算如下： 其中表示相邻两圆弧的半径的平均值。在这小闭区域内取圆周上的一点，该点的直角坐标设为x i，h i，则由直角坐标与极坐标之间的关系有。于是，即 。由于在直角坐标系中也常记作，所以上式又可写成。（4）这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式，其中rdrd就是极坐标系中的面积元素。公式（4）表明，要把二重积分中的变量从直角坐标变换为极坐标，只要把被积函数中的x、y分别换成rcos、rsin，并把直角坐标系中的面积元素dxdy换成极坐标系中的面积元素rdrd。极坐标系中的二重积分，同样可以化为二次积分来计算。在插图7，二重积分化为二次积分的公式为。（5）上式也写成。（5）特别地，如果积分区域D是插图8所示的曲边扇形，那末相当于图9-2-7（a）中1（）0，2（）=（）。这时闭区域D可以用不等式0r（），来表示，而公式（5）成为。如果积分区域D如图插图9）所示，极点在D的内部，那末相当于图9-2-8中= 0、= 2。这时闭区域D可以用不等式0r（），02来表示，而公式（5）成为。由二重积分的性质4，闭区域D的面积s 可以表示为。在极坐标系中，面积元素ds = rdrd，上式成为。如果闭区域D如图9-2-7（a）所示，这由公式（5）有。特别地，如果闭区域D如图9-2-8所示，则1（）0，2（）=（）。于是。例3 计算，其中D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域。解 在极坐标系中，闭区域D可表示为0ra，02。由公式（4）及（5）有 例4 求球体x2+y2+z24a2圆柱面x2+y2=2ax（a0）所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积插图10。解 由对称性，其中D为半圆周及x轴所围成的闭区域。在极坐标系中，闭区域D可用不等式0r2acos（），0/2来表示。于是 。9.3 二重积分的应用实例在二重积分的应用中，由许多求总量的问题可以用定积分的元素法来处理。如果所要计算的某个量对于闭区域D具有可加性（就是说，当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和），并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域d时，相应的部分量可近似地表示为f（x，y）d的形式，其中（x，y）在d内。这个f（x，y）d称为所求量U的元素而记作dU，以它为被积表达式，在闭区域D上积分：，这就是所求量的积分表达式。9.3.1 曲面的面积设曲面S由方程z = f（x，y）给出，D为曲面S在xOy面上的投影区域，函数f（x，y）在D上具有连续偏导数fx（x，y）和fy（x，y）。我们要计算曲面S的面积A。在闭区域D上任取一直径很小的闭区域d（这小闭区域的面积也记作d）。在d上取一点P（x，y），对应地曲面S上有一点M（x，y，f（x，y），点M在xOy面上的投影即点P。点M处曲面S的切平面设为T插图1。以小闭区域d的边界为准线作母线平行于z轴的柱面，这柱面在曲面S上截下一小片曲面，在切平面T上截下一小片平面。由于d的直径很小，切平面T上的那一小片平面的面积dA可以近似代替相应的那一小片面积的面积。设点M处曲面S上的法线（指向朝上）于z轴所成的角为，则。因为 ，所以 。这就是曲面S的面积元素，以它为被积表达式在闭区域D上积分，得。上式也可写为。这就是计算曲面面积的公式。设曲面的方程为x=g（x，y）或y=h（z，x），可分别把曲面投影到xOy面上（投影区域记作Dyz）或zOx面上（投影区域记作Dzx），类似地可得，或。例1 求半径为a的球的表面积。解：取上半球面的方程为，则它在xOy面上的投影区域D可表示为x2+y2a2。由 ，得 。因为这函数在闭区域D上无界，我们不能直接应用曲面面积公式。所以先取区域D1：x2+y2b2（0ba）为积分区域，算出相应于D1上的球面面积A1后，令ba取A1的极限，就得半球面的面积。，利用极坐标，得 于是 。这就是半个球面的面积，因此整个球面的面积为A = 4a2。9.3.2 平面薄片的重心设有一平面薄片，占有xOy面上的闭区域D，在点（x，y）处的面密度（x，y），假定（x，y）在D上连续。现在要找该薄片的重心的坐标。在闭区域D上任取一直径很小的闭区域d（这小闭区域的面积也记作d），（x，y）是这小闭区域上的一个点。由于d的直径很小，且（x，y）在D上连续，所以薄片中相应于d的部分的质量近似等于（x，y）d，这部分质量可近似看作集中在点（x，y）上，于是可写出静矩元素dMy及dMx：dMy = x（x，y）d，dMx =y（x，y）d。以这些元素为被积表达式，在闭区域D上积分，便得。又由第一节知道，薄片的质量为。所以，薄片的重心的坐标为。如果薄片是均匀的，即面密度为常量，则上式中可把提到积分记号外面并从分子、分母中约去，这样便得均匀薄片重心的坐标为（1）其中为闭区域D的面积。这时薄片的重心完全由闭区域D的形状所决定。我们把均匀平面薄片的重心叫做这平面薄片所占的平面图形的形心。因此，平面图形D的形心，就可用公式（1）计算。例2 求位于两圆r = 2sin和r = 4sin之间的均匀薄片的重心插图2解 因为闭区域D对称于y轴，所以重心必位于y轴上，于是。再按公式计算。由于闭区域D位于半径为1与半径为2的两圆之间，所以它的面积等于这两个圆的面积之差，即A = 3。再利用极坐标计算积分：。因此，所求重心是C（0，7/3）。三、平面薄片的转动惯量设有一薄片，占有xOy面上的闭区域D，在点（x，y）处的面密度（x，y），假定（x，y）在D上连续。现在要求该薄片对于x轴的转动惯量Ix以及对于y轴的转动惯量Iy。应用元素法，在闭区域D上任取一直径很小的闭区域d（这小闭区域的面积也记作d），（x，y）是这小闭区域上的一个点。由于d的直径很小，且（x，y）在D上连续，所以薄片中相应于d的部分的质量近似等于（x，y）d，这部分质量可近似看作集中在点（x，y）上，于是可写出薄片对于x轴以及对于y轴的转动惯量元素：dIx = y2（x，y）d,dIy = x2（x，y）d。以这些元素为被积表达式，在闭区域D上积分，便得。例3 求半径为a的均匀半圆薄片（面密度为常量）对于其直径边的转动惯量。解：取坐标系如图插图3所示，则薄片所占闭区域D可表示为x2+y2a2，y0；而所求转动惯量即半圆薄片对于x轴的转动惯量Ix。 其中为半圆薄片的质量。9.4 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分与二重积分的计算类似，三重积分有时也要利用柱面坐标或球面坐标来进行计算。9.4.1 利用柱面坐标计算三重积分设M（x，y，z）为空间内一点，并设点M在xOy面上的投影P的极坐标为r，则这样的三个数r，z就叫做点M的柱面坐标插图1，这里规定r、z的变化范围为：0 r +,0 2,- z +。三组坐标面分别为r = 常数，即以z轴为轴的圆柱面；=常数，即过z轴的半平面；z = 常数，即与xOy面平行的平面。显然，点M的直角坐标与柱面坐标的关系为（1）现在要把三重积分中的变量变换为柱面坐标。为此，用三组坐标面r = 常数，=常数，z = 常数把分成许多小闭区域，除了含的边界的一些不规则小闭区域外，这种小闭区域都是柱体。考虑由r，z各取得微小增量dr，d，dz所成的柱体的体积插图2。柱体的高为dz、底面积在不计高阶无穷小时为r dr d（即极坐标系中的面积元素），于是得dv = r dr ddz，这就是柱面坐标中的体积元素。再注意到关系式（1），就有（2）其中F（r，z）= f（r cos，r sin，z）。（2）式就是把三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式。至于变量变换为柱面坐标后的三重积分的计算，则可化为三次积分来进行。化为三次积分时，积分限是根据r，z在积分区域中的变化范围来确定的，下面通过例子来说明。例1 利用柱面坐标计算三重积分，其中是由曲面z = x2+y2与平面z = 4所围成的闭区域。解 把闭区域投影到xOy面上，得半径为2的圆形闭区域D：0r2，02。在D内任取一点（r，），过此点作平行于z轴的直线，此直线通过曲面z = x2+y2穿入内，然后通过平面z = 4穿出外。因此闭区域可用不等式r2z4，0r2，02来表示。于是 9.4.2 利用球面坐标计算三重积分设M（x，y，z）为空间内一点，则点M也可用这样三个有次序的数r，来确定，其中r为原点O与点M间的距离，为有向线段与z轴正向所夹的角，为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段的角，这里P为点M在xOy面上的投影插图3。这样的三个数r，叫做点M的球面坐标，这里r，的变化范围为0 r 0)成立,则级数收敛;如果级数发散,且当时有(k0)成立,则级数发散.推论2:设是正项级数,如果有p1,时(n=1,2),则级数收敛;如果(n=1,2,),则级数发散.2.(比值审敛法):若正项级数的后项与前项比值的极限等于:,则当时级数收敛; (或)时级数发散;时级数可能收敛也可能发散.3.(根值审敛法):设为正项级数,如果它的一般项的n次根的极限等于:,则当时级数收敛, (或)时级数发散, 时级数可能收敛也可能发散.交错级数的定义:各项是正负交错的级数称为交错级数.11.2.2 交错级数的审敛法:1.(莱布尼兹定理):如果交错级数满足条件:(1): (n=1,2,3,)(2):则级数收敛,且其和,其余项的绝对值.11.2 绝对收敛与条件收敛定义：绝对收敛：对于级数,如果级数收敛的话，则称为绝对收敛。条件收敛：如果发散，但却是收敛的，则称为条件收敛。关系：绝对收敛级数必为收敛级数，但反之不然。例：此级数非绝对收敛，但却是条件收敛的。注意：当我们运用柯西判别法和达朗贝尔判别法来判别正项级数而获得为发散时，我们可以断言，级数亦发散。幂级数及其收敛性定义：形如（a为实数）的级数称为幂级数。收敛半径：任意幂级数必存在数r=0使得(i) 这一幂级数在(-r,r)内必区间一致收敛且绝对收敛(ii)若幂级数在x=r收敛，则对任意，这一幂级数在-r,r一致收敛，若幂级数在x=r收敛，亦有相同的结果。(iii)对任意，幂级数在x发散。则称r为幂级数的收敛半径。显然，只须求出r，则幂级数的收敛性就可以知道。r的求法：若，或存在，则幂级数的收敛半径11.5 泰勒级数及其应用11.5.1 泰勒级数的定义：若函数f（x）在点的某一临域内具有直到（n+1）阶导数，则在该邻域内f（x）的n阶泰勒公式为：其中：，称为拉格朗日余项。以上函数展开式称为泰勒级数。11.5.2 泰勒级数在幂级数展开中的作用：在泰勒公式中，取，得：这个级数称为麦克劳林级数。函数f（x）的麦克劳林级数是x的幂级数，那么这种展开是唯一的，且必然与f（x）的麦克劳林级数一致。11.5.3 注意：如果f（x）的麦克劳林级数在点的某一临域内收敛，它不一定收敛于f（x）。因此，如果f（x）在处有各阶导数，则f（x）的麦克劳林级数虽然能做出来，但这个级数能否在某个区域内收敛，以及是否收敛于f（x）都需要进一步验证。11.6 函数展开成富里叶级数定义：设周期为的函数f(x)在-,可积和绝对可积令a=， n=1,2,3.，则称是f(x)的富里叶级数记作如果f(x)是周期为2l的函数在-l,l可积和绝对可积，则其富里叶级数为其中n=1,2,3.特殊的(i)若f(x)为偶函数，则有 ，其中n=1,2,3.(ii)若f(x)为奇函数，则有 ,其中 n=1,2,3.例：在-,上展开成富里叶级数解：因为f(x)为偶函数所以富里叶系数,11.7 函数展开成正弦级数或余弦级数在实际应用中,有时需要把定义在区间上的函数f(x)展开成正弦级数或余弦级数.根据上一节的知识,我们可以得到一下解决方法:在开区间内补充函数f(x)的定义,得到定义在上的函数F(x),使得它在上成为奇函数(偶函数).按这种方法扩展函数定义域的过程成为奇延拓(偶延拓).然后用上一节的方法就可以得到函数富里叶级数.限制x在上,此时F(x)=f(x),这样便得到f(x)的正弦级数(余弦级数)展开式.例:将函数f(x)=x+1()展开城正弦级数解:对函数f(x)进行奇延拓.F(x)=f(x) ()F(x)=-f(-x) ()12.1 可分离变量的微分方程一般地，如果一个一阶微分方程能写成g(y)dy=f(x)dx ()的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含y的函数和dy，另一端只含x的函数和dx，那末原方程就称为可分离变量的微分方程。那么我们将怎样解可分离变量的微分方程？通常我们采用两边积分的方法求解。假定方程（）中的函数g(y)和f(x)是连续的。设 是方程（）的解，将它代入（）中得到恒等式将上式两端积分，并由引进变量y ，得设G(y )及F(x)依次为g(y) 及f(x)的原函数，于是有G(y)=F(x)+C因此，方程（）的解满足上式。例1求微分方程的通解。解 此方程是可分离变量的，分离变量后得两端积分 得 从而 因仍是任意常数，把它记作C，便得方程的通解。12.2 齐次方程的解法12.2.1 齐次方程的定义：如果一阶微分方程 中的函数可写成的函数，即，则称这方程为齐次方程。例如：是齐次方程，因为12.2.2 齐次方程的解法：在齐次方程 （1）中，引进新的未知函数（2）就可化为可分离变量的方程。因为由（2）有代入方程（1），便得方程即 分离变量，得 两端积分，得 求出积分后，再用 代替u，便得所给齐次方程的通解。例1 解方程解 原方程可写成因此是齐次方程。令，则， 于是原方程为 ；即 。分离变量，得两端积分，得或写为以代入上式中的u，便得所给方程的通解为。12.3 一阶线性微分方程12.3.1 定义：方程 （1）叫做一阶线性微分方程，因为它对于未知函数y及其导数是一次方程。如果Q(x)0 则方程（1）称为齐次的；如果Q(x)不恒等于零，则方程（1）称为非齐次的。12.3.2 非齐次线性方程的解法在（1）中，如Q(x)0，我们先把Q(x)换成零而写出 （2）方程（2）叫做对应于非齐次线性方程（1）的齐次线性方程。方程（2）是可分离变量的，分离变量后得，两端积分，得，或 ，这是对应的齐次线性方程（2）的通解。现在我们用所谓常数变易法来求非齐次线性方程（1）的通解。把（2）的通解中的C换成x的未知函数u(x),即作变换 ， （3）于是 .（4）将（3）和（4）代入方程（1）得 即, 两端积分，得 把上式代入（3），便得非齐次线性方程（1）的通解 . （5）将（5）式改写成两项之和第一项是对应的齐次线性方程（2）的通解，第二项是非齐次线性方程（1）的一个特解，由此可知，一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次线性方程的一个特解之和。例：求微分方程 满足条件y(1)1 的特解。解 先将方程化为线性方程标准形，再求解。将原方程变形为利用公式， 现由y(1)=1,得 C1，故方程的特解为二伯努利方程方程 (10)叫做伯努利（Bernoulli）方程.当n=0或n=1时，这是线性微分方程。当n0或n1时，可把它化为线性的。只要以除方程（10）的两端,得。容易看出，上式左端第一项与只差一个常数因1-n，因此我们引入新的未知函数，那末。用(1-n)乘方程（11）的两端，再通过上述代换得线性方程。求出这方程的通解后，以 代z，便得到伯努利方程的通解。12.4 可降阶的高阶微分方程有三种容易降阶的高阶方程：12.4.1 型的微分方程 （1）方程右端只含x，容易看出，只要把作为新的未知函数，那未（1）式就是新的未知函数的一阶微分方程。两边积分，就得到一个n-1阶的微分方程 .同理可得 .依此法继续进行，接连积分n次，便得方程(1)的含有n个任意常数的通解。例 求微分方程的通解解 对所给方程接连积分三次，得。这就是所求的通解。 12.4.2 型的微分方程 （2）方程右端不显含未知函数y，如果我们设，那末而方程就成为.这是一个关于变量x, p 的一阶微分方程。设其通解为。但是，因此又得到一个一阶微分方程对它进行积分，便得到方程（2）的通解为。例 求微分方程满足初始条件， 的特解。解 所给方程是型的。设y= p，代入方程并分离变量后，有.两端积分，得 ,即 (),由条件，得,所以.两端再积分，得 又由条件，得 ,于是所求的特解为.12.4.3 型的微分方程 (3)方程中不明显地含自变量x。为了求出它的解，我们令y= p ，并利用复合函数的求导法则把化为对y的导数，即.这样，方程（3）就成为。这是一个关于变量y, p 的一阶微分方程。设它的通解为，分离变量并积分，便得方程（3）的