江苏省连云港市田家炳中学高三数学 24函数的单调性复习课件.ppt

第四节函数的单调性 基础梳理 f x1 f x2 f x1 f x2 递增区间 递减区间 2 常用的结论 1 两个 函数的和仍为 函数 2 一个 函数与一个 函数的差是 函数 3 奇函数在对称的两个区间上具有 的单调性 偶函数在对称的两个区间上具有 的单调性 增 减 增 减 增 减 减 增 增 减 相同 相反 3 复合函数的单调性对于复合函数y f g x 若u g x 在区间 a b 上是单调增 减 函数 且y f u 在区间 g a g b 或 g b g a 上是单调函数 那么函数y f g x 在区间 a b 上的单调性如下表所示 实施该法则时首先应考虑函数的 定义域 增 减 减 增 4 一些重要函数的单调性 1 y x 的单调性 在 和 上单调递增 在 和 上单调递减 2 y ax a 0 b 0 的单调性 在 和 上单调递增 在 和 上单调递减 0 1 1 1 1 0 基础达标 必修1p43练习2改编 函数f x 1 3x在 上是 函数 f x 2在 0 上是 函数 减 减 2 必修1p34例题改编 函数f x x2 2x 4的增区间为 减区间为 1 1 3 f x x2 2ax 3在 4 上是减函数 则a的取值范围为 解析 画出图形可知a 4 4 4 下列函数中 在区间 0 上不是增函数的是 填序号 y 2x 1 y 3x2 1 y y x 解析 在r上递增 在 0 上递增 在 0 上递增 只有 在 0 上递减 5 若函数y ax与y 在 0 上都是减函数 则y ax2 bx在 0 上是 填 增函数 或 减函数 解析 由题意知a 0且b 0 则y ax2 bx图象开口向下且对称轴x 0 故此函数在 0 上递减 减函数 例1 判断下列函数的单调性 并给予证明 1 f x x 1 2 f x x 1 经典例题 题型一函数单调性的判断与证明 分析 先判断单调性 再用单调性的定义证明 1 采用通分进行变形 2 采用分子有理化的方式进行变形 解 1 函数f x 在 1 上为减函数 利用定义证明如下 任取x1 x2 1 且 10 x2 1 0 x2 x1 0 0 即f x1 f x2 0 f x1 f x2 故f x 在 1 上为减函数 2 函数f x 在 1 上为增函数 证明如下 任取x1 x2 1 且 1 x1 x2 则有x1 x2 0 f x1 f x2 1 x1 x2 x1 x2 0 即f x1 f x2 0 f x1 f x2 故函数f x 在 1 上为增函数 变式1 1试讨论函数f x x 1 1 的单调性 其中a 0 解析 设 10 x1x2 0 因此 当a 0时 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 此时函数为减函数 当a 0时 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 此时函数为增函数 例2 求下列函数的单调区间 1 y a1 x a 0 且a 1 2 y log1 2 4x x2 3 y 4 y x 3 x 1 题型二求函数单调区间 分析 研究函数单调性 必须先确定区间 即定义域 注意复合函数的 同增异减 的运用 考查运用函数图象求单调区间 解 1 定义域为r g x 1 x 在r上是减函数 当a 1时 y a1 x在r上是减函数 当01时 函数的减区间是r 当0 a 1时 函数的增区间是r 2 设g x 4x x2 x 2 2 4且g x 0 在 0 2 上递增 在 2 4 上递减 故函数y log1 2 4x x2 增区间是 2 4 减区间是 0 2 3 由y 得 x2 2x 3 0 得 3 x 1 且对称轴为x 1 开口向下 故函数的增区间是 3 1 减区间是 1 1 4 y x 3 x 1 故此函数的减区间为 1 3 变式2 1求下列函数的单调区间 1 y x2 2 x 3 2 y log0 7 x2 3x 2 解析 1 y x2 2 x 3 即y 如图 单调递增区间是 1 和 0 1 递减区间是 1 0 和 1 2 由x2 3x 2 0 得函数的定义域是 1 2 令t x2 3x 2 则y log0 7t t x2 3x 2 t x2 3x 2的单调减区间是 1 增区间是 2 又y log0 7t在 0 上是减函数 函数y log0 7 x2 3x 2 的单调减区间是 2 单调增区间是 1 例3 函数f x 对任意的a b r 都有f a b f a f b 1 并且当x 0时 f x 1 1 求证 f x 是r上的增函数 2 若f 4 5 解不等式f 3m2 m 2 3 题型三抽象函数的单调性 分析 根据题目中所给的关系式通过赋值 变形 构造 寻找f x2 与f x1 的关系 解 1 证明 设x1 x2 r 且x10 f x2 x1 1 f x2 f x1 f x2 x1 x1 f x1 f x2 x1 f x1 1 f x1 f x2 x1 1 0 f x2 f x1 即f x 是r上的增函数 2 f 4 f 2 2 f 2 f 2 1 5 f 2 3 原不等式可化为f 3m2 m 2 f 2 f x 是r上的增函数 3m2 m 2 2 解得 1 m 不等式的解集为 变式3 1已知函数f x 对于任意x y r 总有f x f y f x y 且当x 0时 f x 0 f 1 1 求证 f x 在r上是减函数 2 求f x 在 3 3 上的最大值和最小值 1 证明 方法一 函数f x 对于任意x y r总有f x f y f x y 令x y 0 得f 0 0 再令y x 得f x f x 在r上任取x1 x2 则x1 x2 0 f x1 f x2 f x1 f x2 f x1 x2 又 x 0时 f x 0 f x1 x2 x2 则f x1 f x2 f x1 x2 x2 f x2 f x1 x2 f x2 f x2 f x1 x2 又 x 0时 f x 0 f x1 x2 0 即f x1 f x2 f x 在r上为减函数 2 f x 在r上是减函数 f x 在 3 3 上也是减函数 f x 在 3 3 上的最大值和最小值分别为f 3 与f 3 而f 3 3f 1 2 f 3 f 3 2 f x 在 3 3 上的最大值为2 最小值为 2 例4 定义在r上的函数y f x f 0 0 当x 0时 恒有f x 1 且对任意的a b r 有f a b f a f b 1 求f 0 的值 2 求证 对任意的x r 恒有f x 0 3 求证 f x 是r上的增函数 4 若f x f 2x x2 1 求x的取值范围 题型四函数单调性的应用 1 令a b 0 得f 0 1 2 证明 令a x b x 则f 0 f x f x f x 由已知x 0时 f x 1 0 当x0 f x 0 f x 0 又x 0时 f 0 1 0 对任意x r f x 0 3 证明 任取x2 x1 则f x2 0 f x1 0 x2 x1 0 f x2 f x1 f x2 x1 1 f x2 f x1 f x 在r上是增函数 4 f x f 2x x2 f x 2x x2 f x2 3x 又f 0 1 f x 在r上递增 由f 3x x2 f 0 得3x x2 0 0 x 3 变式4 1是否存在实数a 使函数f x loga ax2 x 在区间 2 4 上是增函数 如果存在 说明a可取哪些值 如果不存在 请说明理由 解析 设g x ax2 x 假设符合条件的a值存在 当a 1时 为使函数y f x loga ax2 x 在闭区间 2 4 上是增函数 只需g x ax2 x在 2 4 上是增函数 故就满足解得a 又a 1 a 1 当0 a 1时 为使函数y f x loga ax2 x 在闭区间 2 4 上是增函数 只需g x ax