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专题五解析几何 第16课时直线与圆锥曲线 一 利用椭圆的定义得 f1a f2a 2a f1b f2b 2a 两式相加即可 1 概念性质 如图 由椭圆的定义可知 f1a f2a 2a 10 f1b f2b 2a 10 所以 ab 20 f2a f2b 8 1 对椭圆 双曲线 已知曲线上的点与一个焦点的距离时 常作辅助线 连结它与另一个焦点 考虑使用定义解题 2 要熟悉焦点三角形的性质及研究方法 2 椭圆方程 1 利用过焦点的垂直于长轴的弦长为 2 写出过点p的切线方程 与椭圆联立 利用韦达定理及中点的横坐标相等 列出一个一元二次方程 用 0解出h的最小值 直线与圆锥曲线相交 要熟练应用韦达定理表示弦中点坐标 弦端点有关的向量等式 最终化归为代数式的运算 例3 如图 抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点 点p 1 2 a x1 y1 b x2 y2 均在抛物线上 1 写出该抛物线的方程及其准线方程 2 当pa与pb的斜率存在且倾斜角互补时 求y1 y2的值及直线ab的斜率 1 设抛物线y2 2px 将点p 1 2 代入即可 2 kpa kpb 0及a b均在抛物线上 列出三个方程 从而求出y1 y2及kab 3 抛物线方程 1 求抛物线的标准方程常采用待定系数法 利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p的值 2 对于和抛物线有两个交点的直线问题 点差法 是常用方法 如若a x1 y1 b x2 y2 是抛物线y2 2px上的两点 则直线ab的斜率kab与y1 y2可得如下等式 1 抛物线焦点弦的性质直线l过抛物线y2 2px p 0 的焦点f 交抛物线于a b两点 则有 1 通径的长为2p 2 焦点弦公式 ab x1 x2 p 3 x1x2 p2 4 y1y2 p2 4 以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切 2 求轨迹方程的常用方法 1 轨迹法 建系设动点 列几何等式 坐标代入得方程 化简方程 除去不合题意的点作答 2 待定系数法 已知曲线的类型 先设方程再求参数 3 代入法 当所求动点随已知曲线上动点的动而动时用此法 代入法的步骤 设出两动点坐标 x y x0 y0 结合已知找出x y与x0 y0的关系 并用x y表示x0 y0 将x0 y0代入它满足的曲线方程 得到x y的关系式即为所求 4 定义法 结合几种曲线的定义 明确所求曲线的类型 进而求得曲线的方程 3 有关弦的中点问题 1 通法 2 点差法 点差法的作用是用弦的中点坐标表示弦所在直线的斜率 点差法的步骤 将两交点a x1 y1 b x2 y2 的坐标代入曲线的方程 作差消去常数项得到关于x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2的关系式 应用斜率公式及中点坐标公式求解 4 解决直线与圆锥曲线问题的通法 1 设方程及点的坐标 2 联立直线
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