相似三角形.doc

相似三角形练习题1.方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形请你在图示的1010的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母）2 如图，ABC中，CDAB于D，E为BC中点，延长AC、DE相交于点F，求证.3 如图，在ABC中，ABAC，延长BC至D，使得CDBC，CEBD交AD于E，连结BE交AC于F，求证AFFC4 已知：如图，F是四边形ABCD对角线AC上一点，EFBC，FGAD求证：15. 如图，BD、CE分别是ABC的两边上的高，过D作DGBC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H，求证：（1）DG2BGCG；（2）BGCGGFGH6. 如图，ABCCDB90，ACa，BCb（1）当BD与a、b之间满足怎样的关系时，ABCCDB？（2）过A作BD的垂线，与DB的延长线交于点E，若ABCCDB求证四边形AEDC为矩形（自己完成图形）7 如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EFEC交AB于F，连结FC（ABAE）（1）AEF与EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；（2）设k，是否存在这样的k值，使得AEFBFC，若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由8 如图，在RtABC中，C90，BC6 cm，CA8 cm，动点P从点C出发，以每秒2 cm的速度沿CA、AB运动到点B，则从C点出发多少秒时，可使SBCPSABC？9. 如图，小华家（点A处）和公路（L）之间竖立着一块35m长且平 行于公路的巨型广告牌（DE）广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区内的那段公路设为BC一辆以60km/h匀速行驶的汽车经过公路段BC的时间是3s，已知广告牌和公路的距离是40m，求小华家到公路的距离（精确到1m）10. 某老师上完“三角形相似的判定”后，出了如下一道思考题： 如图所示，梯形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD相交于O，试问：AOB和DOC是否相似？ 某学生对上题作如下解答：答：AOBDOC理由如下：在AOB和DOC中，ADBC，AOB=DOC，AOBDOC 请你回答，该学生的解答是否正确？如果正确，请在每一步后面写出根据；如果不正确，请简要说明理由11. 如图：四边形ABCD中，A=BCD=90，过C作对角线BD的垂线交BD、AD于点E、F，求证：；如图：若过BD上另一点E作BD的垂线交BA、BC延长线于F、G，又有什么结论呢？你会证明吗？12. 阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.13. （1）如图一，等边ABC中，D是AB上的动点，以CD为一边，向上作等边EDC，连结AE。求证：AE/BC；（2）如图二，将(1)中等边ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形。所作EDC改成相似于ABC。请问：是否仍有AE/BC？证明你的结论。 14. 如图，从O外一点A作O的切线AB、AC，切点分别为B、C，且O直经BD=6，连结CD、AO。（1）求证：CDAO；（2）设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）若AO+CD=11，求AB的长。15. 已知：如图，在正方形ABCD中，AD = 1，P、Q分别为AD、BC上两点，且AP=CQ，连结AQ、BP交于点E，EF平行BC交PQ于F，AP、BQ分别为方程的两根.（1）求的值（2）试用AP、BQ表示EF（3）若SPQE =，求n的值16. 如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12cm，OB=6cm，点P从O点开始沿OA边向点A以1cm/s的速度移动：点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间（），那么：OPAXYBQ（1）设POQ的面积为，求关于的函数解析式。（2）当POQ的面积最大时， POQ沿直线PQ翻折后得到PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由。（3）当为何值时， POQ与AOB相似？17. 如图，矩形PQMN内接于ABC，矩形周长为24，ADBC交PN于E，且BC10，AE16，求ABC的面积18. 已知：如图，ABC中，ABAC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CFAB，延长BP交AC于E，交CF于F求证：BP2PEPF19.(09延庆一模) 在RtABC中，C=90， BC=9， CA=12，ABC的平分线BD交AC于点D， （第41题）DEDB交AB于点E，O是BDE的外接圆，交BC于点F（1）求证:AC是O的切线;（2）联结EF，求的值.20.(09东城一模) 请阅读下列材料：（图1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等即如右图1,若弦AB、CD交于点P则PAPB=PCPD请你根据以上材料，解决下列问题.已知O的半径为2，P是O内一点，且OP=1，过点P任作一弦AC，过A、C两点分别作O的切线m和n，作PQm于点Q，PRn于点R.（如图2）(1)若AC恰经过圆心O,请你在图3中画出符合题意的图形，并计算：的值；(2)若OPAC, 请你在图4中画出符合题意的图形，并计算：的值；（图2）(3)若AC是过点P的任一弦（图2）, 请你结合(1)(2)的结论, 猜想：的值，并给出证明（图4）（图3） 43.(09昌平一模) .已知，是的平分线将一个直角的直角顶点在射线上移动，点不与点重合.（1）如图，当直角的两边分别与射线、交于点、时，请判断与的数量关系，并证明你的结论；（2）如图，在（1）的条件下，设与的交点为点，且，求的值；（3）若直角的一边与射线交于点，另一边与直线、直线分别交于点、，且以、为顶点的三角形与相似，请画出示意图；当时，直接写出的长. 21.(09昌平二模) 图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片和叠放在一起（与重合）（1）固定，将绕点顺时针旋转得到，连结（如图2）此时线段与有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）设图2中的延长线交于，并将图2中的在线段上沿着方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的设为（如图3）设移动（点在线段上）的时间为x秒，若与重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）若固定图1中的，将沿方向平移，使顶点C落在的中点处，再以点为中心顺时针旋转一定角度，设，边交于点M，边交于点N（如图4）此时线段的值是否随的变化而变化？如果没有变化，请你求出的值；如果有变化，请你说明理由图1 图2 图3 图422.(09通州二模) 如图：是O的直径，是弦，延长到点， 使得(1)求证：是O的切线；(2)若，求的长23(09房山二模) 已知：如图，AB为O的直径，AD为弦，DBC =A. （1）求证： BC是O的切线；（2）若OCAD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长.24.(09朝阳二模) 在ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DEAB，将CDE绕点C按顺时针方向旋转得到（使180），连接、，设直线与AC交于点O.（1）如图，当AC=BC时，:的值为 ；（2）如图，当AC=5，BC=4时，求:的值； （3）在（2）的条件下，若ACB=60，且E为BC的中点，求OAB面积的最小值. 图 图25.(09东城二模) 如图，在直角梯形ABCD中，AD/BC,DCBC,AB=10,AD=6,DC=8,BC=12,点E在下底边BC上，点F在AB 上（）若EF平分直角梯形ABCD的周长，设BE的长为，试用含的代数式表示BEF的面积；（）是否存在线段EF将直角梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由（）若线段EF将直角梯形ABCD的周长分为：两部分，将BEF的面积记为,五边形AFECD的面积记为,且求出的最大值26(09门头沟二模) 在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连结BE，且BE2AE， BD是EBC的平分线点P从点E出发沿射线ED运动，过点P作PQBD交直线BE于点Q（1）当点P在线段ED上时（如图），求证：；（2）当点P在线段ED的延长线上时（如图），请你猜想三者之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；（3）当点P运动到线段ED的中点时（如图），连结QC，过点P作PFQC，垂足为F，PF交BD于点G若BC12，求线段PG的长27.(同上)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，0），点B（0，3），点P从点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点Q从点A出发沿AO方向向点O匀速运动，速度为每秒2个单位长度，连结PQ若设运动的时间为t秒（0t2）（1）求直线AB的解析式；（2）设AQP的面积为，求与之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻，使线段PQ恰好把AOB的周长和面积同时平分？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由；（4）连结PO，并把PQO沿QO翻折，得到四边形，那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点Q的坐标和菱形的边长；若不存在，请说明理由参 考 答 案1方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形请你在图示的1010的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母）【提示】先任意画一个格点钝角三角形，然后三边都扩大相同的倍数，画出另一个格点钝角三角形2【提示】过F点作FGCB，只需再证GFDF【答案】方法一：作FGBC交AB延长线于点GBCGF，又BDC90，BEEC，BEDEBEGF，1 DFGF 方法二：作EHAB交AC于点H，BDC90，BEEC，BEDE 3如图，在ABC中，ABAC，延长BC至D，使得CDBC，CEBD交AD于E，连结BE交AC于F，求证AFFC【提示】先证BCFDBA，再证【答案】BCCD，ECBD， BEDE，FBCD又ABAC， BCFDBABCFDBA 又BD2BC，ABAC， FCAC 因此AFFC4已知：如图，F是四边形ABCD对角线AC上一点，EFBC，FGAD求证：1【提示】利用ACAFFC【答案】EFBC，FGAD，15如图，BD、CE分别是ABC的两边上的高，过D作DGBC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H，求证：（1）DG2BGCG；（2）BGCGGFGH【提示】（1）证BCGDCG；（2）证RtHBGRtCFG【答案】（1）DG为RtBCD斜边上的高，RtBDGRtDCG，即DG2BGCG（2）DGBC， ABCH90，CEABABCECB90ABCHABCECBHECB又HGBFGC90，RtHBGRtCFG，BGGCGFGH6如图，ABCCDB90，ACa，BCb（1）当BD与a、b之间满足怎样的关系时，ABCCDB？（2）过A作BD的垂线，与DB的延长线交于点E，若ABCCDB求证四边形AEDC为矩形（自己完成图形）【提示】利用三角形相似，推出BD【答案】（1）ABCCDB90，当时，ABCCDB即BD即当BD时，ABCCDBABCCDB，ACBCBDACED又D90，ACD90E90四边形AEDC为矩形7如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EFEC交AB于F，连结FC（ABAE）（1）AEF与EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；（2）设k，是否存在这样的k值，使得AEFBFC，若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由【提示】（1）如图，证明AFEDGE，证出AFEEFC（2）证明ECG30，BCF30【答案】如图，是相似【证明】延长FE，与CD的延长线交于点G在RtAEF与RtDEG中，E是AD的中点，AEEDAEFDEG，AFEDGEAFEDGEE为FG的中点又CEFG，FCGCCFEGAFEEFC又AEF与EFC均为直角三角形，AEFEFC 存在如果BCFAEF，即k时，AEFBCF证明：当时，ECG30ECGECFAEF30BCF906030又AEF和BCF均为直角三角形，AEFBCF 因为EF不平行于BC，BCFAFE不存在第二种相似情况8如图，在RtABC中，C90，BC6 cm，CA8 cm，动点P从点C出发，以每秒2 cm的速度沿CA、AB运动到点B，则从C点出发多少秒时，可使SBCPSABC？【提示】先求CP，再求DP【答案】当点P从点C出发，运动在CA上时，若SBCPSABC，则CPBCACBC，CPAC2（cm）故由点P的运动速度为每秒2 cm，它从C点出发1秒时，有SBCPSABC当点P从点C出发运动到AB上时，如图，可过点P作PDBC于D若SBCPSABC，则PDBCACBCPDAC2（cm）RtBACRtBPD，又AB10，故BP，APABBP107.5也就是说，点P从C出发共行15.5 cm，用去7.75秒，此时SBCPSABC答：1秒或7.75秒9. BC=50m，AM133米10 错误，11. 证DCEDBC得DC2=DEDB再证DEFDAB得DEDB=DADF(2)ADDF=DGDC12. BC=4m13. 证（1）EAC与DBC全等,得到EAC=B,而B=ACB,得EAC=ACB故AE/BC(2) EACDBC得到EAC=B,而B=ACB,得EAC=ACB14. （1）连接BC交OA于E点 AB、AC是O的切线，AB=AC, 1=2 AEBC OEB=90O BD是O的直径 DCB=90O DCB=OEB CDAO (2)CDAO 3=4 AB是O的切线，DB是直径 DCB=ABO=90O BDCAOB = = y = 0x6 (3)由已知和(2)知：8分 把x、y看作方程z2-11z+18=0的两根 解这个方程 得 z=2或z=9 （舍去） AB=615 （1）AP=QC，AP+BQ=QC+BQ=BC=1又AP、BQ分别为方程的两根，有AP+BQ=m，APBQ=nAP+BQ=m=1（2分）（2）EFAP 又APBQ 即即：（3）连结QD，则EPQD，得：SAQD=，且SAEPSAQD=AP2AD2= AP21= AP2SAEP= AP2SAQD= AP2 SPQESAEP=EQAE，即AP2= EQAE=BQAP APBQ=即：n=16 解（1）OA=12,OB=6由题意，得BQ=1t=t，OP=1t=tOQ=6ty=OPOQ=t（6t）=-t23t（0t6）（2） 当有最大值时，OQ=3 OP=3即POQ是等腰直角三角形。把POQ沿翻折后，可得四边形是正方形点C的坐标是（3，3）直线的解析式为当时，点C不落在直线AB上（3）POQAOB时若，即，若，即，当或时，POQ与AOB相似。17. 【提示】利用相似三角形的性质，列出关于ED的方程，求ED的长，即可求出SABC【答案】矩形PQMN，PNQM，PNQMADBC，AEPNAPNABC，设EDx，又矩形周长为24，则PN12x，AD16x即x24x320解得x4ADAEED20SABCBCAD100【点评】本题要求运用相似三角形对应高线的比等于相似比18. 【提示】先证PBPC，再证EPCCPF【答案】连结PCABAC，AD是中线，AD是ABC的对称轴PCPB，PCEABPCFAB，PFCABPPCEPFC又CPEEPC，EPGCPF即PC2PEPFBP2PEPF【点评】本题要求运用等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质19.（1） 证明：连结OD，-1分，又BD为ABC的平分线， ，即-2分又OD是O的半径，AC是O的切线 3分（2） 解： DEDB，O是RtBDE的外接圆， BE是O的直径，设O的半径为r， 在RtABC中， ， ，ADOACB4分又BE是O的直径BEFBAC5分20.解：（）过圆心，且m,n分别切O于点A,C (2)连接OAAECPAQ同理可得： +，得21 解：（1）与的数量关系是相等 1分证明：过点作，垂足分别为点，易得，而，是的平分线，又，2分（2），又，3分，4分（3）如图1所示，若与射线相交，则；6分 如图2所示，若与直线的交点与点在点的两侧，则8分 22. 解：（1）. 1分证明：如图2，与都是等边三角形，绕点顺时针旋转30得到，也是等边三角形，且，, . 2分,.， . 3分（2）如图3，设分别与交于点.CDE在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移x秒，平移后的为，.由（1）可知，.,.在中，.4分过点作于点.在中， ，. 5分，.当点与点重合时，.此函数自变量x的取值范围是 . 6分（3）的值不变 . 7分证明：如图4，由题意知，在中，.又，点是的中点， 8分23 （1）证明：连结DO 1分 AO=DODAO=ADO=22.50DOC=450又ACD=2DAB ACD=DOC=450 ODC=900 2分是O的切线 （2）解：连结DB 3分 AB是O的直径ADOODB=900由（1）知CDBODB=900ADO=OAD=CDB 4分又DCB=ACD ADCDBC =BC=2- BC=-2-(舍负) BC=2- 5分24. 证明：（1）AB为O的直径 D=90, A+ABD=90 DBC =A DBC+ABD=90 BCAB -1分 BC是O的切线 -2分（2）OCAD，D=90，BD=6 OCBDBE=BD=3 -3分 O是AB的中点AD=2EO -BCAB ，OCBD CEBBEO，CE=4， -4分AD= -5分25(1)1（2）解：DEAB，CDECAB由旋转图形的性质得，,即.4分（3）解：作BMAC于点M，则BM=BCsin60=2E为BC中点，CE