高中数学 3.2 一元二次不等式及其解法 第1课时课件 新人教A版必修5.ppt

3 2一元二次不等式及其解法 第1课时一元二次不等式的解法 1 一元二次不等式只含有个未知数 并且未知数的最高次数是的不等式 称为一元二次不等式 一 2 注意 理解一元二次不等式的概念 可以这样理解 形如ax2 bx c 0 a 0 的不等式 叫做一元二次不等式 其中a b c为常数 只含一个未知数 并不是说在代数式中不能含有其他的字母类的量 只要明确指出这些字母所代表的量 哪一个是变量 未知数 哪一些是 参数 就可以 次数最高是2 仅限于 未知数 若还含有其他参数 则次数不受此条件限制 2 一元二次不等式的解集 1 下列不等式 x2 0 x2 2x 15 x3 5x 6 0 x2 y 0 其中一元二次不等式的个数为 a 1b 2c 3d 4答案 b 2 不等式x2 2x 1 0的解集是 a rb x x r 且x 1 c x x 1 d x x 1 答案 b 3 函数y x2 x 6的判别式 0 该图象与x轴有 个交点 其交点横坐标为 不等式x2 x 6 0的解集是 不等式x2 x 62 2 3 2 3 2 3 4 二次函数y ax2 bx c x r 的部分对应值如下表 则不等式ax2 bx c 0的解集是 答案 2 3 5 解不等式 1 x2 2x 1 2 解不等式 方程x2 2x 3 0的两根为x3 3 x4 1 不等式x2 2x 3 0的解集为 x 3 x 1 故原不等式的解集为 x x0 x 3 x 1 x 3 x 2或0 x 1 例1 求下列一元二次不等式的解集 1 x2 5x 14 2 x2 7x 6 解 1 先将14移到左边化为x2 5x 14 0 因为方程x2 5x 14 0的两根分别为 2 7 结合二次函数图象易得不等式解集为 x x7 2 先将不等式化为x2 7x 6 0 因为方程x2 7x 6 0的两根为1 6 所以利用图象可得不等式解集为 x 1 x 6 评析 求解一元二次不等式 首先确保二次项系数为正 然后求出相应方程的根 结合图象 写出解集 大于号取两边 大于大根 小于小根 小于号取中间 大于小根 小于大根 迁移变式1解不等式 3x2 6x 2 例2 解下列关于x的不等式 1 x2 a2 a x a3 0 2 ax2 a 1 x 1 0 分析 在 1 中 显然有两根a和a2 因而只需要以两根的大小作为分类标准即可 而在 2 中 首先它不一定是一元二次不等式 即使是也不一定有二次项系数大于零 因此应首先以二次项系数与零的大小为分类标准进行分类讨论 转化为标准形式后 还应考虑判别式与零的大小 再就是两根的大小关系 解 1 原不等式化为 x a x a2 0 当a2 a 0 即a 1或aa2或xa 当a2 a 0 即a 0或a 1时 原不等式的解为x a 评析 1 解含有参数的一元二次型 ax2 bx c 0 的不等式 首先要以二次项系数与零的大小作为分类标准进行分类讨论 其次转化为标准形式的一元二次不等式 即二次项系数大于零 后 再以判别式与零的大小作为分类标准进行分类讨论 如果两根的大小还不能确定 此时还需要以两根的大小作为分类标准再进行分类讨论 2 若对参数进行讨论 其结果应对参数分类叙述 为了叙述结果的简洁 可把其解的结构一样的相应参数合并在一起叙述 3 解这类问题容易出现的失误是未对二次项系数进行讨论 特别是未考虑它是否为零 迁移变式2若a r 解关于x的不等式ax2 2x 1 0 例3 若不等式ax2 bx c 0的解集为 x 3 x 4 求不等式bx2 2ax c 3b 0的解集 分析 根据已知解集和一元二次不等式解的结构逆向推出a b c应满足的关系 进而求解不等式 评析 若已知一元二次不等式的解 则由一元二次不等式解的结构可逆向推知 它的系数所满足的条件 即相应的一元二次方程的两根及二次项系数的正负性 再利用韦达定理即可解决问题 迁移变式3已知不等式ax2 bx 2 0的解集为 x 1 x 2 求a b的值 例4 汽车在行驶中 由于惯性作用 刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住 我们称这段距离为 刹车距离 刹车距离是分析交通事故的一个重要因素 在一个限速40km h的弯道上 甲 乙两车相向而行 发现情况不对 同时刹车 但还是相碰了 事发后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m 乙车的刹车距离略超过10m 又知甲 乙两种车型的刹车距离s m 与车速x km h 之间分别有如下关系 s甲 0 1x 0 01x2 s乙 0 05x 0 005x2 试判断甲 乙两车有无超速现象 并根据所学数学知识给出判断的依据 分析 由题目可获取以下主要信息 限速40km h 刹车距离s甲 12m s乙 10m 刹车距离s甲 s乙与车速关系确定 解答本题可将刹车距离直接代入关系式分别得到一个关于x的一元二次不等式 解此不等式即可求出x的范围 即汽车刹车前的车速范围 解 由题意 对于甲车 有0 1x 0 01x2 12 即x2 10 x 1200 0 解得x 30或x10 即x2 10 x 2000 0 解得x 40或x 50 舍去 这表明乙车的车速超过40km h 超过规定限速 点评 1 实际应用问题是新课标下考查的重点 突出了应用能力的考查 在不等式应用题中常以函数模型出现 如一元二次不等式应用题常以二次函数为模型 解题时要弄清题意 准确找出其中不等关系再利用不等式解法求解 2 解不等式应用题 一般可按如下四步进行 阅读理解 认真审题 把握问题中的关键量 找准不等关系 引进数学符号 用不等式表示不等关系 或表示成函数关系 解不等式 或求函数最值 回扣实际问题 迁移变式4某企业上年度的年利润为200万元 本年度为适应市场需求 计划提高产品档次 适度增加投入成本 投入成本增加的比例为x 0 x 1 现在有甲 乙两种方案可供选择 通过市场调查后预测 若选用甲方案 则年利润y万元与投入成本增加的比例x的函数关系式为y f x 20 x2 60 x 200 0 x 1 若选用乙方案 则y与x的函数关系式为y g x 30 x2 65x 200 0 x 1 试讨论根据投入成本增加的比例x 如何选择最适合的方案 1 一元二次不等式的解题步骤可总结为 首先化为标准形式ax2 bx c 0或ax2 bx c0 然后解出相应的一元二次方程的根 再结合二次函数的图象便可得出解集 一般步骤为 一看 看二次项系数a的正负 二算 计算判别式 判断相应方程根的情况并求根 三写 写出不等式的解集 2 从函数观点看 一元二次不等式ax2 bx c 0 a 0 的解集 即二次函数y ax2 bx c a 0 的值满足y 0时的自变量x组成的集合 即二次函数y ax2 bx c a 0 的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合 而一元二次方程ax2 bx