高中数学第二讲直线与园的位置关系三圆的切线的性质及判定定理学案含解析.docx

三 圆的切线的性质及判定定理1切线的性质(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径如图，已知AB切O于A点，则OAAB.(2)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点(3)推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心2圆的切线的判定方法(1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线(2)数量关系：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线(3)定理：过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线其中(2)和(3)是由(1)推出的，(2)是用数量关系来判定，而(3)是用位置关系加以判定的圆的切线的性质如图，已知C90，点O在AC上，CD为O的直径，O切AB于点E，若BC5，AC12.求O的半径O切AB于点E，由圆的切线的性质，易联想到连接OE构造RtOAE，再利用相似三角形的性质，求出O的半径连接OE.AB与O切于点E，OEAB，即OEA90.C90，AA，RtACBRtAEO，.BC5，AC12，AB13，OE，即O的半径为.利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等1.如图，已知AD为O的直径，B为AD延长线上一点，BC与O切于C点，A30.求证：(1)BDCD.(2)AOCBDC.证明：(1)因为AD为O的直径，所以ACD90.又因为A30，OAOCOD，所以ACO30，ODCOCD60.又因为BC与O切于C点，所以OCB90.BCD30，B30，BCDB，BDCD.(2)因为AACOBCDB30，所以ACBC.在AOC和BDC中，所以AOCBDC.2.如图，已知PAB是O的割线，AB为O的直径，PC为O的切线，C为切点，BD垂直PC交PC的延长线于点D，交O于点E，PAAOOB1.(1)求P的度数；(2)求DE的长解：(1)连接OC.C为切点，OCPC，POC为直角三角形OCOA1，POPAAO2，sin P.P30.(2)BDPD，在RtPBD中，由P30，PBPAAOOB3，得BD.连接AE.则AEB90，AEPD.EABP30，BEABsin 301，DEBDBE.圆的切线的判定已知D是ABC的边AC上的一点，ADDC21，C45，ADB60，求证：AB是BCD的外接圆的切线.如图，连接OB，OC，OD，OD交BC于E.DCB是所对的圆周角，BOD是所对的圆心角，BCD45，BOD90.ADB是BCD的一个外角，DBCADBACB604515，DOC2DBC30，从而BOC120.OBOC，OBCOCB30.在OEC中，EOCECO30，OEEC.在BOE中，BOE90，EBO30.BE2OE2EC，ABOD，ABO90，故AB是BCD的外接圆的切线要证明某直线是圆的切线，主要是运用切线的判定定理，除此以外，还有圆心到直线的距离等于半径等判定方法，但有时需添加辅助线构造判定条件，其中过圆心作直线的垂线是常用辅助线3本例中，若将已知改为“ABDC”，怎样证明：AB是BCD的外接圆的切线证明：作直径BE，连接DE，BE是O的直径，BDE90，EDBE90.CE，ABDC，ABDDBE90.即ABE90.AB是BCD的外接圆的切线4.如图，ABC内接于O，点D在OC的延长线上，sin B，D30.(1)求证：AD是O的切线；(2)若AC6，求AD的长解：(1)证明：如图，连接OA，sin B，B30.AOC2B，AOC60.D30，OAD180DAOC90.AD是O的切线(2)OAOC，AOC60，AOC是等边三角形OAAC6.OAD90，D30，ADAO6.圆的切线的性质和判定的综合考查如图，AB为O的直径，D是的中点，DEAC交AC的延长线于点E，O的切线BF交AD的延长线于点F.(1)求证：DE是O的切线；(2)若DE3，O的半径为5，求BF的长(1)连接OD，证明ODDE；(2)作DGAB.(1)连接OD，D是中点，12.OAOD，23.13.ODAE.DEAE，DEOD，即DE是O的切线(2)过D作DGAB，12，DGDE3.在RtODG中，OG4，AG459.DGAB，FBAB，DGFB.ADGAFB.BF.对圆的切线的性质与判定的综合考查往往是热点，其解答思路常常是先证明某直线是圆的切线，再利用切线的性质来求解相关结果5如图，已知两个同心圆O，大圆的直径AB交小圆于C，D两点，大圆的弦EF切小圆于点C，ED交小圆于点G，若小圆的半径为2，EF4，试求EG的长解：连接GC，则GCED.EF切小圆于点C，EFCD，ECEF2.又CD4，在RtECD中，ED 2.由射影定理可知EC2EGED，EG.6.如图，正方形ABCD是O的内接正方形，延长BA到E，使AEAB，连接ED.(1)求证：直线ED是O的切线；(2)连接EO交AD于点F，求证：EF2FO.证明：(1)连接OD.四边形ABCD为正方形，AEAB，AEABAD，EADDAB90.EDA45，ODA45.ODEADEODA90.直线ED是O的切线(2)作OMAB于M.O为正方形的中心，M为AB的中点AEAB2AM，AFOM.2，EF2FO.课时跟踪检测(八)一、选择题1.如图，AB切O于点B，延长AO交O于点C，连接BC.若A40，则C等于()A20 B25 C40 D50解析：选B连接OB，因为AB切O于点B，所以OBAB，即ABO90，所以AOB50，又因为点C在AO的延长线上，且在O上，所以CAOB25.2如图，AB是O的直径，BC是O的切线，AC交O于D.若AB6，BC8，则BD等于()A4 B4.8C5.2 D6解析：选BAB是O的直径，BDAC.BC是O的切线，ABBC.AB6，BC8，AC10.BD4.8.3如图，AB是O的直径，BC交O于点D，DEAC于点E，要使DE是O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是()ADEDO BABAC CCDDB DACOD解析：选A当ABAC时，如图，连接AD，因为AB是O的直径，所以ADBC，所以CDBD.因为AOBO，所以OD是ABC的中位线，所以ODAC.因为DEAC，所以DEOD，所以DE是O的切线所以选项B正确当CDBD时，AOBO，同选项B，所以选项C正确当ACOD时，因为DEAC，所以DEOD.所以DE是O的切线所以选项D正确4如图，在O中，AB为直径，AD为弦，过B点的切线与AD的延长线交于C，若ADDC，则sin ACO等于()A. B. C. D.解析：选A连接BD，则BDAC.ADDC，BABC，BCA45.BC是O的切线，切点为B，OBC90.sin BCO，cos BCO.sin ACOsin(45BCO)sin 45cos BCOcos 45sin BCO.二、填空题5.如图，O的半径为3 cm，B为O外一点，OB交O于点A，ABOA，动点P从点A出发，以 cm/s的速度在O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止当点P运动的时间t为_s时，BP与O相切解析：连接OP.当OPPB时，BP与O相切因为ABOA，OAOP，所以OB2OP，又因为OPB90，所以B30，所以O60.因为OA3 cm，所以，圆的周长为6，所以点P运动的距离为或65；所以当t1 s或5 s时，BP与O相切答案：1或56已知PA是圆O的切线，切点为A，PA2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB1.则圆O的半径R_.解析：如图，连接AB，则AB.由AB2PBBC，BC3，在RtABC中，AC2.半径R.答案：7圆O的直径AB6，C为圆周上一点，BC3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D，E，则DAC_，DC_.解析：连接OC.OCOB，OCBOBC.又DCAACO90，ACOOCB90，DCAOCB.OC3，BC3，OCB是正三角形OBC60，即DCA60.DAC30.在RtACB中，AC3，DCACsin 30.答案：30三、解答题8如图，已知在ABC中，ABAC，以AB为直径的O交BC于D，过D点作O的切线交AC于E.求证：(1)DEAC；(2)BD2CECA.证明：(1)连接OD，AD.DE是O的切线，D为切点，ODDE.AB是O的直径，ADBC.又ABAC，BDDC.又O为AB的中点，ODAC.DEAC.(2)ADBC，DEAC，CDECAD.CD2CECA.又BDDC，BD2CECA.9.如图，O内切于ABC，切点分别为D，E，F，ABAC，连接AD交O于H，直线FH交BC的延长线于G.(1)求证：圆心O在AD上；(2)求证：CDCG；(3)若AHAF34，CG10，求FH的长解：(1)证明：由题知AEAF，CFCD，BDBE，又ABAC，CDCFBEBD.D为BC中点AD是BAC的角平分线圆心O在AD上(2)证明：连接DF.O在AD上，DH为直径DFH90.CFCD，CFDFDC.G90FDC90CFDCFG.CGCF.CGCD.(3)AFH90CFD90FDCFDA，又FAD为公共角，则AHFAFD.在RtHFD中，FHFDDH345.HDFDGF，DFGFDG345.DF32012，FHFD9.10.如图，四边形ABCD内接于O，BD是O的直径，AECD，垂足为E，DA平分BDE.(1)求证：AE是O的切线；(2)若DBC30