《4.4.3 参数方程的应用》习题1.docVIP

1已知直线l经过点P(1，3)，倾斜角为，求直线l与直线l：yx2的交点Q与点P的距离|PQ|.【解】l过点P(1，3)，倾斜角为，l的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)代入yx2，得3t1t2，解得t42，即t24为直线l与l的交点Q所对应的参数值，根据参数t的几何意义，可知|t|PQ，PQ42.2求直线(t为参数)被圆x2y29截得的弦长【解】将代入圆的方程x2y29，得5t28t40，t1t2，t1t2.|t1t2|2(t1t2)24t1t2，所以弦长|t1t2|.3已知椭圆1和点P(2，1)，过P作椭圆的弦，并使点P为弦的中点，求弦所在的直线方程【解】设弦所在直线的参数方程为(t为参数)，代入椭圆方程1，得(cos24sin2)t24(cos2sin )t80，所以t1t2，因为P是弦的中点，所以t1t20，即0，所以cos 2sin 0，tan .又P(2，1)在椭圆内，所以弦所在的直线方程为y1(x2)，即x2y40.4过抛物线y22px(p0)的顶点作两条互相垂直的弦OA，OB，求线段AB中点M的轨迹的普通方程【解】由题意知，两弦所在直线的斜率存在且不为0，所以设直线OA的方程为ykx，则OB的方程为yx，解得或所以A点坐标为(，)同理可求得B点坐标为(2pk2，2pk)设AB中点M的坐标为(x，y)，则消去k得y2px2p2.所以点M的轨迹方程为y2px2p2.5(2012湖南高考改编)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(为参数，a0)有一个公共点在x轴上，试求a的值【解】消去参数t得2xy30.又消去参数得1.方程2xy30中，令y0得x，将(，0)代入1，得1.又a0，a.6已知直线l经过点P(1，0)，倾斜角为.(1)写出直线l的参数方程；(2)设直线l与椭圆x24y24相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积【解】(1)直线l的参数方程为即(t为参数)(2)联立直线与圆的方程得(1t)24()24，t2t30，所以t1t2，即|t1|t2|.所以P到A、B两点的距离之积为.7已知抛物线y28x的焦点为F，过F且斜率为2的直线交抛物线于A、B两点(1)求AB；(2)求AB的中点M的坐标及FM.【解】抛物线y28x的焦点为F(2，0)，依题意，设直线AB的参数方程为(t为参数)，其中tan 2，cos ，sin ，为直线AB的倾斜角，代入y28x整理得t22t200.则t1t22，t1t220.(1)AB|t2t1|10.(2)由于AB的中点为M，故点M对应的参数为，M(3，2)，FM|.教师备选8如图所示，已知直线l过点P(2，0)，斜率为，直线l和抛物线y22x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求：(1)P，M间的距离PM；(2)点M的坐标；(3)线段AB的长【解】(1)直线l过点P(2，0)，斜率为，设直线l的倾斜角为，则tan ，cos ，sin ，直线l的参数方程的标准形式为(t为参数)(*)直线l和抛物线相交，将直线l的参数方程代入抛物线方程y22x中，整理得8t215t500，15248500.设这个二次方程的两个根为t1，t2，由根与系数的关系得t1t2，t1t2.由M为线段AB的中点，