高中数学 第二章 数列 章末归纳整合课件 新人教A版必修5.ppt

章末归纳整合 知识网络 1 数列的分类 要点归纳 2 学习数列应注意的问题 1 在学习时 应多结合实例 通过实例去理解数列的有关概念 数列与函数密切相关 多角度比较两者之间的异同 加深对两方面内容的理解 在解题或复习时 应自觉地运用函数的思想方法去思考和解决数列问题 特别是对等差或等比数列的问题 运用函数思想方法以及利用它所得到的许多结论 不仅可以深化对数列知识的理解 而且可使这类问题的解答更为快速 合理 2 善于对比学习 学习等差数列后 再学等比数列时 可以等差数列为模型 从等差数列研究过的问题入手 再探求出等比数列的相应问题 两相对照 可以发现 在这两种数列的定义 一般形式 通项形式 中项及性质中 用了一些相类似的语句和公式形式 但内容却不相同 之所以有这样的区别 原因在于 差 与 比 不同 通过对比学习 加深了对两种特殊数列本质的理解 会收到事半功倍的效果 3 要重视数学思想方法的指导作用 本章蕴含丰富的数学观点 数学思想和方法 学习时应给予充分注意 解题时多考虑与之相联系的数学思想方法 题型一求数列的通项公式数列的通项公式是数列的核心之一 它如同函数中的解析式一样 有了解析式就可以研究函数的性质 而有了数列的通项公式便可以求出任何一项 所以研究数列的通项往往是解题的关键点和突破口 常用的求数列通项公式的方法有 要点整合 1 观察法 就是观察数列特征 找出各项共同的构成规律 归纳出通项公式 2 递推公式法 就是根据数列的递推公式 采用迭代 叠加 累乘 转化等方法产生an与a1 或sn 的关系 得出通项公式 当n 2时 数列 an 是以3为公比的等比数列 且首项a2 3a1 9 当n 2时 an 9 3n 2 3n 显然n 1时也成立 故数列的通项公式为an 3n n n 方法点评 已知数列的前n项和公式 求数列的通项公式 其方法是an sn sn 1 n 2 这里常常因为忽略了n 2的条件而出错 即由an sn sn 1求得an时的n是从2开始的自然数 否则会出现当n 1 时 sn 1 s0 而与前n项和定义矛盾 可见an sn sn 1所确定的an 当n 1时的a1与s1相等时 an才是通项公式 否则要用分段函数表示为 例2 已知数列 an 满足a1 1 an 3n 1 an 1 n 2 1 解 a1 1 a2 3 1 4 a3 32 4 13 2 证明 由已知an an 1 3n 1 令n分别取2 3 4 n得a2 a1 31 a3 a2 32 a4 a3 33 an an 1 3n 1 方法点评 如果给出数列 an 的递推公式为an an 1 f n 型时 并且 f n 容易求和 这时可采用迭加法 即an n n 1 当n 1时 a1 2适合上式 故an n n 1 n n 方法点评 根据已知条件构造一个与an有关的新的数列 通过新数列通项公式的求解求得 an 的通项公式 新的数列往往是等差数列或是等比数列 例如形如an pan 1 q p q为常数 的形式 往往变为an p an 1 构成等比数列 求an 通项公式 再求an 题型二数列求和数列求和问题 是历年高考重点考查的内容之一 当然最基本的还是等差 等比数列的求和 直接利用前n项和公式来解决 我们一般称之为公式法 在此基础上 对于一些特殊的数列 我们有如下几种常用的求和方法 1 分组法 若数列 an 的通项公式形如an bn cn 也可是多项之和 而数列 bn cn 是等差或等比数列 那么 数列 an 的前n项和不就迎刃而解了吗 2 错位相减法 若数列 an 是通项公式形如an bn cn 而 bn 是等差数列 cn 是等比数列 则可采用此法 3 并项法 一般用于摆动数列的求和问题 4 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和 正负项相消剩下首尾若干项 常见的拆项公式有 5 倒序相加法将一个数列倒过来排列 反序 当它与原数列相加时 若有公因式可提 并且剩余的项的和易于求得 则这样的数列可用倒序相加法求和 它是等差数列求和公式的推广 以上是我们常用的几种求和方法 而每一种方法各有其适合的数列 观察通项公式的特点 是正确选用求和方法的关键 例5 等比数列 an 的前n项和为sn 已知对任意的n n 点 n sn 均在函数y bx r b 0且b 1 b r均为常数 的图象上 1 求r的值 解 1 由题意 sn bn r 当n 2时 sn 1 bn 1 r 所以an sn sn 1 bn 1 b 1 由于b 0且b 1 所以当n 2时 an 是以b为公比的等比数列 又a1 b r a2 b b 1 2 由 1 知 n n an b 1 bn 1 当b 2时 an 2n 1 例6 等差数列 an 的各项均为正数 a1 3 前n项和为sn bn 为等比数列 b1 1 且b2s2 64 b3s3 960 1 求an与bn 解 设 an 的公差为d bn 的公比为q 则d为正数 an 3 n 1 d bn qn 1 故an 3 2 n 1 2n 1 bn 8n 1 2 sn 3 5 2n 1 n n 2 题型三数列应用题解数列应用题的基本步骤 解数列应用题的基本步骤 1 与等差数列有关的实际应用题 例7 有30根水泥电线杆 要运往1000米远的地方安装 在1000米处放一根 以后每50米放一根 一辆汽车每次只能运三根 如果用一辆汽车完成这项任务 完成任务后回到原处 那么这辆汽车的行程共为多少千米 解 如图所示 假定30根水泥电线杆存放在m处 则a1 ma 1000 a2 mb 1050 a3 mc 1100 a6 a3 50 3 1250 a30 a3 150 9 由于一辆汽车每次只能装3根 故每运一次只能到a3 a6 a9 a30 这些地方 这样组成公差为150 首项为1100的等差数列 令汽车的行程为s 则s 2 a3 a6 a30 2 a3 a3 150 1 a3 150 9 即这辆汽车的行程为35 5千米 方法点评 对于与等差数列有关的应用题 要善于发现 等差 的信息 如 每一年比上一年多 少 一个比一个多 少 等 此时可化归为等差数列 明确已知a1 an n d sn中的哪几个量 求哪几个量 选择哪一个公式 2 与等比数列有关的实际应用题 例8 某人贷款5万元 分5年等额还清 贷款年利率为5 按复利计算 每年需还款多少元 精确到1元 解 设每年还款x万元 第一年偿还的x万元 还清贷款时升值为x 1 0 05 4万元 第二年偿还的x万元 还清贷款时升值为x 1 0 05 3万元 第三年偿还的x万元 还清贷款时升值为x 1 0 05 2万元 第四年偿还的x万元 还清贷款时升值为x 1 0 05 万元 第五年偿还的x万元 还清贷款时仍为x万