高等数学C1-3.1.2函数的连续性(改.ppt

复习求极限方法 用极限运算法则 OM 无穷大与无穷小互倒 消去零因子 分母有理化 充要条件等 求极限类型 两个重要极限 一 第一个重要极限 二 第二个重要极限 常用的等价无穷小 当 第三节函数的连续性 一 函数的连续性 二 初等函数的连续性 三 函数的间断点 四 闭区间上连续函数的性质 一 函数的连续性 函数f x 满足 则称函数f x 在x0处连续 并称x0为函数 差值u2 u1称为变量u在u1处的增量 记成 定义 f x 的连续点 增量 变量u从初值u1变化到终值u2 则 u 即 u u2 u1 变量u的增量可以是正数 负数或零 函数的增量 当自变量x在此邻域内的增量 x x x0 趋于零时 函数的相应增量 y无限逼近零 定义1 函数f x 在x0的某一邻域内有定义 即 则称函数f x 在点x0处连续 单侧连续 如果函数f x 在开区间 a b 内连续 且在a点右连续 在b点左连续 则称函数f x 在闭区间 a b 上连续 基本初等函数在其定义域内都连续 例1函数f x x 1在x 2处的连续性解f 2 3 例2讨论函数 在x 0处的连续性 解因为 所以f x 在x 0处连续 例4 解 右连续但不左连续 二 初等函数的连续性 1 连续函数的和差积商的运算 例5证明三角函数是连续函数 证我们只证cotx的连续性 在x0处连续 从而cotx为连续函数 2 复合函数的连续性 注 定理4中x x0换成x 等其它情形 结论也成立 例6求 解因为 例7求 解因为 y cosu在u 处连续 由定理4的推论得 cos 1 由基本初等函数的连续性 常值函数在任一区间内的连续性 以及本节定理1 定理2和定理3得到以下重要结论 一切初等函数在其定义区间内连续 因此求初等函数f x 在其定义区间内的点x0处的 基本初等函数在其定义域内都连续 例8计算 例9求 可用有理化分子的办法 因为 小结 函数f x 在x 0处连续的充要条件是f x 在x 0处左连续且右连续 作业 P28 习题1 33 4 1 2 3 4 5 三 函数的间断点 间断点至少属于下列三种情形之一 解因为x 1时 f x x 1 在x 1处连续 由于 其定义域D 0 0 因此函数f x 有间断点x 0 由于 例13求正切函数y tanx的间断点 例14 解 注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点 1 跳跃间断点 例15 解 2 可去间断点 例16 解 注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义 则可使其变为连续点 如例16中 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点 特点 3 第二类间断点 例17 解 若函数f x 在间断点x0处的左 右极限都存在 则称x0为函数f x 的第一类间断点 其余的间断点 即左 右极限至少有一个不存在 称为函数的第二类间断点 在第一类间断点中 左 右极限相等的点称为函数的可去间断点 左 右极限不等的点称为函数的跳跃间断点 在第二类间断点中 左 右极限至少有一个为无穷大的点称为函数的无穷间断点 间断点类型 第一类间断点 第二类间断点 左右极限都存在 左右极限至少有一个不存在 可去间断点 跳跃间断点 左右极限相等 左右极限不等 无穷间断点 左 右极限至少有一个为无穷大 其他 内容小结 左连续 右连续 2 连续函数的运算及初等函数的连续性 四 闭区间上连续函数的性质 注 定理5中的 闭区间 和 连续 的条件不 具备时 结论可能不成立 又如 取到介于最大值和最小值之间的一切值 闭区间上的连续函数必能 小结 1 函数在一点连续必须满足的三个条件 3 间断点的分类与判别 2 区间上的连续函数 第一类间断点 可去型 跳跃型 第二类间断点 无穷型 振荡型 间断点 见下图 第一类间断点 跳跃型 无穷型 振荡型 第二类间断点 间断点类型 第一类间断点 第二类间断点 左右极限都存在 左右极限至少有一个不存在 可去间断点 跳跃间断点 左右极限相等 左右极限不等 无穷间断点 左 右极限至少有一个为无穷大 其他 连续函数的和