高等数学5-1定积分的概念及性质.ppt

1 第五章 积分学 不定积分 定积分 定积分 2 第一节 一 定积分问题举例 二 定积分的定义 三 定积分的性质 定积分的概念及性质 3 一 定积分问题举例 1 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 以及两直线 所围成 求其面积A 4 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然 小矩形越多 或说分割的越来越细 矩形总面积越接近曲边梯形面积 四个小矩形 九个小矩形 5 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 播放 6 解决步骤 1 分割 在区间 a b 中任意插入n 1个分点 用直线 将曲边梯形分成n个小曲边梯形 在第i个小区间上任取 作以 为底 为高的小矩形 并以此小 矩形面积近似代替相应 小曲边梯形面积 得 2 近似替代 以直代曲 7 3 求和 曲边梯形面积的近似值为 4 取极限 令 曲边梯形面积为 L 8 2 变速直线运动的路程 设某物体作直线运动 且 求在运动时间内物体所经过的路程s 已知速度 思路 把整段时间分割成若干小段 每小段上速度看作不变 求出各小段的路程再相加 便得到路程的近似值 最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值 9 1 分割 3 求和 4 取极限 路程的精确值 解决步骤 2 近似替代 以直代曲 10 上述两个问题的共性 解决问题的方法步骤相同 分割 近似 求和 取极限 所求量极限结构式相同 特殊乘积和式的极限 所求量只和两个因素有关 函数 函数的变化范围 11 二 定积分的定义 定义 12 记为 13 14 注意 1 定积分仅与被积函数及积分区间有关 而与积分变量用什么字母表示无关 即 15 定理1 定理2 且只有有限个间断点 可积的充分条件 16 定积分的几何意义 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值 各部分面积的代数和 17 几何意义 18 例1 利用定义计算定积分 解 将 0 1 n等分 分点为 取 19 20 对定积分的补充规定 说明 在下面的性质中 假定定积分都存在 且不考虑积分上下限的大小 三 定积分的性质 21 证 此性质可以推广到有限多个函数作和的情况 1 22 证 2 23 补充 不论的相对位置如何 上式总成立 例 若 则 3 定积分对于积分区间具有可加性 24 4 证 推论1 若在 a b 上 则 25 解 令 于是 26 推论2 证 即 说明 可积性是显然的 27 例2 试证 证 设 即 故 即 28 证 此性质可用于估计积分值的大致范围 6 设 则 29 解 30 解 31 32 7 积分中值定理 则至少存在一点 使 证 则由性质6可得 根据闭区间上连续函数介值定理 使 因此定理成立 积分中值公式 33 积分中值公式的几何解释 34 说明 可把 积分中值定理对 或曲边梯形平均高度 定理可以进一步改造 把结论中的闭区间改成开区间 见书P239例6 35 解 由积分中值定理知有 使 36 证明 在 a b 内存在一点使得 例 设在 a b 上连续 在 a b 内可导 且存在 a b 内一点c 使得 37 思考与练习 1 用定积分表示下述极限 解 或 38 2 39 解 例 上述例子实际上提供了一个有界函数但不是可积函数的反例 说明有界是可积的必要条件 40 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 41 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 42 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 43 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 44 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 45 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 46 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 47 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 48 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 49 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 50 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 51 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 52 观察下列演示过程 注意当分割加细