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第九节 一 二元函数泰勒公式 二 极值充分条件的证明 机动目录上页下页返回结束 二元函数的泰勒公式 第八章 一 二元函数的泰勒公式 一元函数 的泰勒公式 推广 多元函数泰勒公式 机动目录上页下页返回结束 记号 设下面涉及的偏导数连续 一般地 机动目录上页下页返回结束 表示 表示 定理1 的某一邻域内有直 到n 1阶连续偏导数 为此邻域内任 一点 则有 其中 称为f在点 x0 y0 的n阶泰勒公式 称为其拉格 朗日型余项 机动目录上页下页返回结束 证 令 则 利用多元复合函数求导法则可得 机动目录上页下页返回结束 一般地 由 的麦克劳林公式 得 将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式 机动目录上页下页返回结束 说明 1 余项估计式 因f的各n 1阶偏导数连续 在某闭 邻域其绝对值必有上界M 则有 机动目录上页下页返回结束 2 当n 0时 得二元函数的拉格朗日中值公式 3 若函数 在区域D上的两个一阶偏导数 恒为零 由中值公式可知在该区域上 机动目录上页下页返回结束 例1 求函数 解 的三阶泰 勒公式 因此 机动目录上页下页返回结束 其中 机动目录上页下页返回结束 时 具有极值 二 极值充分条件的证明 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数 且 令 则 1 当 A 0时取极大值 A 0时取极小值 2 当 3 当 时 没有极值 时 不能确定 需另行讨论 若函数 定理2 充分条件 机动目录上页下页返回结束 证 由二元函数的泰勒公式 并注意 则有 所以 机动目录上页下页返回结束 其中 是当h 0 k 0时的无穷小量 于是 1 当AC B2 0时 必有A 0 且A与C同号 可见 从而 z 0 因此 机动目录上页下页返回结束 从而 z 0 2 当AC B2 0时 若A C不全为零 无妨设A 0 则 时 有 异号 同号 可见 z在 x0 y0 邻近有正有负 机动目录上页下页返回结束 若A C 0 则必有B 0 不妨设B 0 此时 可见 z在 x0 y0 邻近有正有负 3 当AC B2 0时 若A 0 则 若A 0 则B 0 为零或非零 机动目录上页下页返回结束 此时 因
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