高等数学第三章导数与微分.ppt

高等数学 导数与微分 本章目录 第一节引出导数概念的例题第二节导数概念第三节导数的基本公式与运算法则第四节高阶导数第五节微分 一 变速直线运动的瞬时速度 如果物体作直线运动 在直线上选取坐标系 该物体所处的位置坐标s是时间t的函数 记为 s s t 则从时刻t0到t0 t的时间间隔内它的平均速度为 第一节引出导数概念的例题 在匀速运动中 这个比值是常量 但在变速运动中 它不仅与t0有关 而且与 t也有关 很小时 与在t0时刻的速度相近似 如果当 t趋于0时 平均速度的极限存在 则将这个极限值记作v t0 叫做物体在t0时刻的瞬时速度 简称速度 即 当 t 二 切线问题 定义设点P0是曲线L上的一个定点 点P是曲线L上的动点 T P0 P x0 x0 x N 当点P沿曲线L趋向于点P0时 如果割线PP0的极限位置P0T存在 则称直线P0T为曲线L在点P0处的切线 设曲线方程为y f x 在点P0 x0 y0 处的附近取一点P x0 x y0 y 那么割线P0P的斜率为 x y y f x 如果当点P沿曲线趋向于点P0时 割线P0P的极限位置存在 即点P0处的切线存在 此刻 x 0 割线斜率tan 趋向切线P0T的斜率tan 即 返回本章目录 定义设函数y f x 在点x0的某个邻域内有定义 在x0处给x以改变量 x x 0 函数f x 相应地有改变量 y f x0 x f x0 一 导数的定义 第二节导数概念 则称此极限值为函数y f x 在点x0处的导数 或微商 记作 即 此时也称函数f x 在点x0处可导 如果上述极限不存在 则称f x 在x0处不可导 x从x0改变到x0 x时 函数f x 的平均变化速度 称为函数的平均变化率 而导数 反映的是自变量 反映的是函数在点x0处的变化速度 称为函数在点x0的变化率 例1求函数f x x2在x0 1处的导数 即f 1 解第一步求 y y f 1 x f 1 1 x 2 12 2 x x 2 第三步求极限 所以 f 1 2 第二步求 如果一个函数在某点处有导数 则称此函数在该点处可导 否则称函数在该点处不可导 如果函数在某区间内的每个点都存在导数 则称此函数在该区间内可导 设f x 在区间 a b 内可导 此时 对于区间 a b 内每一点x 都有一个导数值与之对应 这就定义了一个新的函数 称为函数y f x 在区间 a b 内对x的导函数 简称为导数 记作 由导数定义可将求导数的方法概括为以下几个步骤 1 求出对应于自变量的改变量 x的函数改变量 y f x x f x 2 作出比值 3 求 x 0时 y x的极限 即 例2求线性函数y ax b的导数 解 例3求函数y 的导数 解 例4求函数y 的导数 解 例5给定函数求 解 因此 前面我们给出的导数都用如下形式 但有时也可写成其他形式 例如将 x记作h 则 如果令 x x x0 则 解 所以f x 在点x 0处连续 极限不存在 所以f x 在点x 0处不可导 函数y f x 在点x0处的导数的几何意义 就是曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线的斜率 即 tan f x0 y f x x0 P 二 导数的几何意义 法线方程为 其中y0 f x0 y y0 f x0 x x0 由此可知曲线y f x 上点P0处的切线方程为 例7求曲线y x2在点 1 1 处的切线和法线方程 解由例1知 x2 x 1 2 即点 1 1 处的切线斜率为2 所以 切线方程为 y 1 2 x 1 即 y 2x 1 法线方程为 即 则称此极限值为f x 在点x0处的左导数 记作f x0 则称此极限值为f x 在点x0处的右导数 记作f x0 定义如果 同样 三 左导数 右导数 存在 显然 f x 在x0处可导的充要条件是f x0 及f x0 存在且相等 定义如果函数f x 在区间I上每一点可导 则称f x 在区间I上可导 如果I是闭区间 a b 则端点处可导是指f a f b 存在 定理1如果函数y f x 在点x0处可导 则f x 在点x0处连续 其逆不真 证 其中 y f x0 x f x0 所以 四 可导与连续的关系 即函数f x 在点x0处连续 但其逆不真 即函数f x 在点x0处连续 而函数f x 在点x0处不一定可导 例8讨论函数y x 在点x0 0处的连续性与可导性 解 y f 0 x f 0 0 x 0 x 即f x x 在x0 0处连续 存在 在x0 0处左 右导数不相等 所以在x 0处函数y x 不可导 因为 这个定理说明连续是可导的必要条件 但不是充分条件 即可导一定连续 但连续不一定可导 根据这个定理 如果已经判断出函数在某一点不连续 则立即可以得出不可导的结论 如果函数在某点连续 则不能得出可导的结论 例6和例8说明连续不一定可导 解 1 在点x 0处 故在点x 0处f x 不连续 从而在点x 0处也不可导 2 在点x 1处 且f 1 2 于是有 因此在点x 1处f x 连续 所以在点x 1处f x 可导 且 3 在点x 2处 且f 2 5 于是有 因此在点x 2处f x 连续 不存在 所以在点x 2处f x 不可导 对f x 的讨论得出如下结论 在点x 0处不连续且不可导 在点x 1处连续且可导 在点x 2处连续但不可导 返回本章目录 第三节导数的基本公式与运算法则 一 常数的导数 设y c c为常数 因为恒有 y 0 于是恒有 因而 二 幂函数的导数 设y xn n为正整数 由二项式定理知 于是 所以 定理2设函数u x v x 在x处可导 在x处也可导 u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x 三 导数的运算法则 且 则它们的和 差 积与商 证上述三个公式的证明思路都类似 我们只证第二个 因为 u x x u x u 即 u x x u x u 同理有 v x x v x v y u x v x 令 则 y u x x v x x u x v x u x u v x v u x v x u x v v x u u v 所以 推论1 cu x cu x c为常数 推论2 推论3 若y u1u2 un 则 解根据推论1可得 3x4 3 x4 1 0 故 f x 3x4 1 3x4 1 12x3 f 0 12x3 x 0 12 又 x4 4x3 例1设f x 3x4 1 求f x 及f 0 例2设y 1 2x 3x3 2x2 求y 解根据乘法公式 有 解根据除法公式 有 四 对数函数的导数 设y logax a 0 a 1 由 由对数函数连续性及 得 可知 所以 特别 当a e时 得到 即 即 sinx cosx cosx sinx 类似地 五 三角函数的导数 1 y sinx y cosx的导数 即 同理可得 tanx sec2x cotx csc2x 2 y tanx y cotx的导数 即 同理可得 secx secxtanx cscx cscxcotx 3 y secx y cscx的导数 解 定理3设函数y f u u x 均可导 则复合函数y f x 也可导 且 或 或 六 复合函数的导数 即 证设变量x有增量 x 由于u可导 相应地变量u有增量 u 从而y有增量 y 推论设y f u u v v x 均可导 则复合函数y f x 也可导 且 例5设y 2x 1 5 求y 解把2x 1看成中间变量u y u5 u 2x 1 复合而成 所以 将y 2x 1 5看成是 由于 例6设y sin2x 求y 解这个函数可以看成是y sinx sinx 可利用乘法的导数公式 将y sin2x看成是由y u2 u sinx复合而成 而 所以 这里 我们用复合函数求导法 复合函数求导数熟练后 中间变另可以不必写出 求y 解将中间变量u 1 x2记在脑中 这样可以直接写出下式 例7 解这个复合函数有三个复合步骤 把这些中间变量都记在脑中 例9 求y 解 解先用除法的导数公式 遇到复合时 再用复合函数求导法则 例11 解先用复合函数求导公式 再用加法求导公式 然后又会遇到复合函数的求导 七 反函数的导数 定理4设函数y f x 在点x处有不等于0的导数f x 且其反函数x f 1 y 在相应点处连续 则 f 1 y 存在 且 或 证当y f x 的反函数x f 1 y 的自变量y取得改变量 y时 因变量x取得相应的改变量 x 当 y 0时 必有 x 0 因此 因x f 1 y 在相应点处连续 故当 y 0时 于是由假设f x 0 得到 x 0 反三角函数的导数公式 设y arcsinx 则x siny 两边对x求导 得 cosy取正号 即 同理可证 例12 解 例13 解 例14设方程x2 y2 R2 R为常数 确定函数y y x 求 解方程两边对x求导 由此 当y 0时解得 即 九 隐函数的导数 例15设方程y x xlny 0确定了函数y y x 解方程两边对x求导 得 解得 例16求曲线x2 y4 17在x 4处对应于曲线上的点的切线方程 解方程两边对x求导 得 即 即对应于x 4有两个纵坐标 这就是说曲线上有两个点P1 4 1 和P2 4 1 将x 4代入方程 得y 1 在P1处的切线斜率y 4 1 2 y 1 2 x 4 即y 2x 9 0 在点P2处的切线方程为 y 1 2 x 4 即y 2x 9 0 在P2处切线的斜率y 4 1 2 所以 在点P1处的切线方程为 十 指数函数的导数 设y ax a 0 a 1 两边取对数 得 lny xlna 两边对x求导 得 因此 特别 当a e时 有 例17求函数的导数 解 例18方程确定y是x的导数 求y 解出y 得 例19设y tanx x 求y 解lny xln tanx x lnsinx lncosx 所以 十一 取对数求导法 解两边取对数 得 两边对x求导 得 所以 利用对数求导数 容易证明 十二 由参数方程所确定的函数的导数 则称此函数关系为由参数方程所确定的函数 y与x构成复合函数 利用反函数与复合函数的求导法则 有 例21 解 例22 解 十三 综合杂例 例23 解 例24确定y是x的导数 求y 解 于是得 例25 当0 x 1时 当1 x 2时 当x 2时 在x 0 x 1 x 2 处 根据第三节例9 有 可以看出 导函数的定义域不超出函数定义域 即 例26 表示对x求导 故 例27 证 由题设有 所以 返回本章目录 如果可以对函数f x 的导函数f x 再求导 所得到的一个新函数 称为函数y f x 的二阶导数 记作f x 或y 或 如对二阶导数再求导 则称三阶导数 记作f x 或 四阶或四阶以上导数记为y 4 y 5 y n 或 而把f x 称为f x 的一阶导数 第六节高阶导数 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数例1设y ex 求y n y ex y ex y n ex 解 例2设y ln 1 x 求y 0 y 0 y 0 y n 0 解 例3设y sinx 解 返回本章目录 同理 先来看一个例子 边长为x的正方形 其面积增加多少 面积的增加部分记作 S 则 S x x 2 x2 2x x x 2 设正方形的面积为S 当边长增加 x时 一 微分的概念 第五节微分 S包括两部分 1 2x x 是 x的线性函数 2 x 2 当 x 0时 是比 x较高阶无穷小量 当 x很小时 可用2x x近似表示 S 将 x 2忽略 其差 S 2x x是一个比 x高阶的无穷小量 我们把2x x叫作正方形面积S的微分 记作 dS 2x x 定义设函数y f x 在点x的一个邻域内有定义 y A x o x x 0 其中A与 x无关 o x 是 x的高阶无穷小量 则称A x为函数y f x 在x处的微分 记作dy 即 dy A x 这时也称函数y f x 在点x处可微 如果函数f x 在点x处的改变量 y f x x f x 可以表示为 则函数y f x 在点x处可导 反之 如果函数y f x 在点x处可导 证因为f x 在点x处可微 即f x 在点x处可导 且A f x y A x 且A f x 所以有 定理4设函数y f x 在点x可微 则f x 在点x可微 从而有 这是根据极限与无穷小的关系得出的 得 y f x x x 所以 函数f x 可微 且 dy f x x 反之 因f x 在x处可导 即 上述定理可叙述为 函数f x 在x处可微的充要条件是函数f x 在x处可导 上式也可以写为 为了方便起见 把自变量的增量 x写成dx 即 x dx 从而函数的微分可写成 dy f x dx 解因为 所以 例1求函数y 2lnx在x处的微分 并求当x 1时的微分 记作dy x 1 N T M P 二 微分的几何意义 如图所示 就是曲线y f x 在点P处切线的纵坐标在相应处x的增量 而 y就是曲线y f x 的纵坐标在点x处的增量 x x x PN dx NM y 所以dy NT NT PNtan f x dx 即函数y f x 的微分dy 定理5设函数u v可微 则 d u v du dv d uv udv vdu 三 微分的基本公式及其运算法则 基本初等函数的微分公式 dc 0 dx x 1dx dex exdx dax axlnadx dsinx cosxdx dcosx sinxdx dtanx sec2xdx dcotx csc2xdx dsecx secxtanxdx dcscx cscxcotxdx 例2设y 3ex tanx 求dy 解 dy d 3ex dtanx 3dex sec2xdx 3exdx sec2xdx 3ex sec2x dx 例3设y excosx 求dy 解 dy d excosx exdcosx cosxdex ex cosx sinx dx 解 四 微分形式的不变性 如果函