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第十节 一 最值定理 二 介值定理 三 一致连续性 闭区间上连续函数的性质 第一章 注意 若函数在开区间上连续 结论不一定成立 一 最值定理 定理1 在闭区间上连续的函数 即 设 则 使 值和最小值 或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大 证明略 点 例如 无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如 二 介值定理 由定理1可知有 证 设 上有界 定理2 零点定理 至少有一点 且 使 证明略 推论在闭区间上连续的函数在该区间上有界 定理3 介值定理 设 且 则对A与B之间的任一数C 一点 证 作辅助函数 则 且 故由零点定理知 至少有一点 使 即 推论 在闭区间上的连续函数 使 至少有 必取得介于最小值与 最大值之间的任何值 例 证明方程 一个根 证 显然 又 故据零点定理 至少存在一点 使 即 说明 内必有方程的根 取 的中点 内必有方程的根 可用此法求近似根 二分法 在区间 内至少有 则 则 内容小结 三 一致连续性 已知函数 在区间I上连续 即 一般情形 就引出 了一致连续的概念 定义 对任意的 都有 在I上一致连续 显然 例如 但不一致连续 因为 取点 则 可以任意小 但 这说明 在 0 1 上不一致连续 定理4 上一致连续 证明略 思考 P74题 7 提示 设 存在 作辅助函数 显然 内容小结 在 上达到最大值与最小值 上可取最大与最小值之间的任何值 4 当 时 使 必存在 上有界 在 在 1 任给一张面积为A的纸片 如图 证明必可将它 思考与练习 一刀剪为面积相等的两片 提示 建立坐标系如图 则面积函数 因 故由介值定理可知 则 证明至少存在 使 提示 令 则 易证 2 设 作业P74 习题1 10 2 3 5 一点 习题课 备用题 至少有一个不超过4的 证
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