有理根整系数多项式的几个定理及求解方法.doc

五邑大学本科毕业论文五邑大学本科毕业论文 摘 要 整系数多项式在多项式的研究中占有重要的地位 其应用价值也越来越被人们所认 识 本文是关于整系数多项式有理根的求解的一个综述 希望能够给对整系数多项式感 兴趣的朋友提供一定的参考 本文根据相关文献资料 给出了关于整系数多项式有理根的较为系统的求法 求解 整系数多项式的有理根时 首先要判定整系数多项式是否存在有理根 若存在 则 f x 可利用求解有理根的方法将所有可能的有理根求出 为了简化求解过程 可以先运用本 文中的相关定理 将可能的有理根的范围尽量缩小 然后再用综合除法进行检验 进而 求出整系数多项式的全部有理根 f x 关键词关键词 整系数多项式 有理根的求法 有理根的判定 五邑大学本科毕业论文五邑大学本科毕业论文 I Abstract Integral coefficients polynomial plays an important role in the research of polynomial and its application value will be known by more and more people This article is about solving of rational root of integral coefficients polynomial and I hope this can provide some references to people interested in this There are some systematic methods of rational root of integral coefficients polynomial in some related document literature And by which we know we must make sure integral coefficients polynomial f x has rational root when we want to solve the rational root of integral coefficients If it exists we can get all the possible rational roots However in order to make the procedure easier we can apply the related theorem in this article and narrow down the extent And then we can testify them and get all the rational roots Keywords Integral coefficients polynomial method to solve rational roots judgment of rational roots 五邑大学本科毕业论文五邑大学本科毕业论文 II 目 录 摘 要 I Abstract II 第 1 章 引 言 1 第 2 章 整系数多项式的基本内容 2 第 3 章 整系数多项式有理根的重要定理 3 第 4 章 整系数多项式有理根的求法 6 4 1 整系数多项式有理根的判定 6 4 2 整系数多项式有理根的检验 9 4 3 整系数多项式有理根的求解方法 11 4 4 应用举例 13 结束语 16 参考文献 17 致谢 18 五邑大学本科毕业论文五邑大学本科毕业论文 0 第 1 章 引 言 多项式是代数学中最基本的对象之一 它不但与高次方程的讨论有关 而且在进一 步学习代数以及其他数学分支时也都会碰到 是研究许多数学分支的工具 在多项式理 论中 关于整系数多项式的有理根的研究 一直是人们感兴趣的问题 整系数多项式在 多项式的研究中占有很重要的地位 其应用价值也越来越被人们认识 目前人们对整系数 多项式的有理根已有很多研究 也有不少结果 求整系数多项式有理根的题目变化多样 灵活 特别是次数越高 常数项越大 最高次 项系数越大 按常规方法逐一去求 难度就越大 所以 综合整系数多项式有理根的求解方 法 利用相关定理将可能的有理根的范围尽量缩小 再用综合除法进行检验 进而求出整 系数多项式的全部有理根 从而揭示一般的整系数多项式的有理根的求法 是具有积极意 义的 本文的结构如下 第2章是关于整系数多项式有理根的基本定理 第3章是关于整系 数多项式有理根的几个重要定理 第4章是关于整系数多项式有理根的具体求法 包括有 理根的判定 检验及求法 五邑大学本科毕业论文五邑大学本科毕业论文 1 第 2 章 整系数多项式的基本内容 1 本节给出了整系数多项式的基本定理 高斯 Gauss 引理 先给出两个定义 定义定义 1 1 如果一个多项式 其所有系数都是 1 110 nn nn f xa xaxa xa n aaa 10 整数 就称此多项式为整系数多项式 定义定义 2 2 如果一个非零的整系数多项式 的系数 0 1 1 bxbxbxg n n n n 没有异于的公因子 也就是说 它们是互素的 它就称为一个本原多项式 01 bbb nn 1 下面的重要结果 称为高斯引理 是研究整系数多项式的基础 定理定理 2 12 1 高斯引理 高斯引理 两个本原多项式的乘积还是本原多项式 证明 设 1 110 nn nn f xa xaxa xa 0 1 1 bxbxbxg m m m m 是两个本原多项式 而 是它们的乘积 我们用反证法 如果 0 1 1 dxdxdxgxfxh mn mn mn mn 不是本原的 也就是说 的系数有一异于的公因子 那么 xh xh 01 ddd mnmn 1 就有一个素数能整除的每一个系数 因为的本原的 所以不能同时整除p xh xfp 的每一个系数 令是第一个不能被整除的系数 即 xf i ap ii apapap 10 同样地 也是本原的 令是第一个不能被整除的系数 即 xg j bp jj bpbpbp 10 我们来看的系数 由乘积定义 xh ji d 22112211jijijijijiji bababababad 由上面的假设 整除等式左端的 整除右端 这是不可能的 这就证明了 p ji d p i a j b 一定也是本原多项式 xh 由此我们可以得到下面的定理及推论 定理定理 2 22 2 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积 那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积 推论推论 2 2 12 2 1 设 是整系数多项式 且是本原的 如果 xf xg xg xf xg xh 其中是有理系数多项式 那么一定是整系数的 xh xh 五邑大学本科毕业论文五邑大学本科毕业论文 2 第 3 章 整系数多项式有理根的重要定理 在高等代数中 关于整系数有理根的问题 有如下定理 定理定理 3 13 1 设是一个整系数多项式 而是的一个 1 1 110 nn nn f xa xaxa xa s r f x 有理根 其中 r s 互素 那么必有 特别地 如果的首项系数 那么 0 aras n f x n a1 的有理根都是整根 而且是的因子 f x 0 a 证明 因为是的一个有理根 因此在有理数领域上 s r f x x s r f x 从而 因为 r s 互素 所以是一个本原多项式 根据上述推论 2 2 1 xfrsx rsx 式中都是整数 0 1 1 bxbrsxxf n n 01 b bn 令 比较两边系数 即得 0 1 1 bxbxg n n 0 01 rbasba nn 因此 0 aras n 将代入上式得 1 1x 1 1 grsf 1 1 grsf 由定理 3 1 的证明过程可得如下定理 定理定理 3 23 2 若是一个次数大于的整系数多项式 如果 1 110 nn nn f xa xaxa xa n0 是的一个有理根 其中是互素的整数 那么 q p f x p q 11 ff zz pqpq 且 定理定理 3 33 3 若为整系数多项式的整数根 则为常数项的约数 且对于q f xq 0 amz mqqm f m 证明 因为 q 是整系数多项式的整数根 所以 f x 其中是整系数多项式 f xxq g x g x 则有 mz mq f mqm g m 又 故 所以 mz g mz qm f m 当时 因为是常数项 故为常数项的约数 所以 0m 0q f 0fq 0 a 0q f 推论推论 3 3 13 3 1 若为常数的约数 但存在一个整数 使 则不q 0 a 00 mmq 0 qm 0 f mq 是的整数根 f x 证明 反证法 设是的整数根 则有q f x 是整系数多项式 f xxq h x h x 使 即 0 mz 000 f mmq h m 000 f mqmh m 又是一个整数 所以 这与已知矛盾 故假设不成立 0 h m 00 qmf m 五邑大学本科毕业论文五邑大学本科毕业论文 3 所以 不是的根 q f x 推论推论 3 3 23 3 2 若为整系数多项式的整数根 则一定是常数的约数 即q f xq 0 a 0 q a 且 11qf 11qf 定理定理 3 43 4 若整系数多项式的常数项为奇数 而 1 110 nn nn f xa xaxa xa 0 a 为偶数 则不是的有理根 2pq q p f x 证明 反证法 设是的有理根 则 q p f x 1p q 其中是整系数多项式 f xpxq h x h x 于是有 1 110 nn nn a xaxa xapxq h x 设 令 则有 1 110 n n h xbxb xb 2x 11 110110 22 222 2 nnn nnn aaaapqbbb 又因为是奇数 是偶数 在上式中 等号左边是奇数 等号右边是偶数 矛盾 0 a2pq 故假设不成立 所以不是的有理根 q p f x 定理定理 3 53 5 关于整根的牛顿法 2 如果 d 是整系数方程 的整根 那么 1 011 0 nn nn f xa xa xaxa 0 0a 能够整除 并且d n a 1 n n a a d 1 2 2 nn n aa a dd 1 1 1 n n aa a dd 反之 如果 那么是的根 1 0 0 n n aa a dd 1 0 0 n n aa a dd d 0f x 由以上定理可得下面推论 推论 整系数多项式 当 互素 是有理数时 1 110 nn nn f xa xaxa xa q d p p q 若 则是的根 101 1 0 n n nn aaa a ddd d f x 证明 因为 101 1 0 n n nn aaa a ddd 在上式两边同时乘以 则有 n d 五邑大学本科毕业论文五邑大学本科毕业论文 4 1 110 0 nn nn a dada da 即 1 110 0 nn nn f da dada da 所以是的根 d f x 五邑大学本科毕业论文五邑大学本科毕业论文 5 第 4 章 整系数多项式有理根的求法 4 1 整系数多项式有理根的判定 存在性的判定通常可以用常数项的所有因数逐个地代入多项式去验证 但当常数项较 大 因数较多 多项式的次数较高时 计算量之大 没有计算机的帮助是很难实现的 如果 先判别多项式的不可约 或者将多项式分解成几个多项式的积后再作判断 这在理论上是 可行的 但实际要将一个多项式分解因式时却不是一件容易的事情 所以 研究整系数多 项式有理根的存在性问题 明智的选择还是从系数开始 整系数多项式无有理根的判别法 定理定理 4 1 14 1 1 Eisenstein 判别法 设是一个整系数 1 1 110 nn nn f xa xaxa xa 多项式 如果有一个素数 使得 p 1 n pa 2 021 aaap nn 3 2 0 pa 那么在有理数域上是不可约的 f x 证明 如果在有理数域上可约 那么由定理 2 2 可以分解成两个次数较低的 f x f x 整系数多项式的乘积 f x 0 1 10 1 1 cxcxcbxbxb m m m m l l l l nmlnml 因此 mln cba 000 cba 因为 所以能整除或 但是 所以不能同时整除及 因此不妨 0 app 0 b 0 c 0 2 app 0 b 0 c 假定但 另一方面 因为 所以 假设中第一个不能被 0 bp 0 cp n pa l bp l bbb 10 整除的是 比较中的系数 得等式 式中p k b f x k x kkkk cbcbcba 0110 01 bba kk 都能被整除 所以也必须能被整除 但是是一个素数 所以与中至少有一p k b 0 cpp k b 0 c 个被整除 这是一个矛盾 p 定理定理 4 1 24 1 2 设是一个整系数多项式 若能找到一个素数和整数 3 0 n n i i i f xa x p1 m 使得 1 0 p a 2 但 1 m n pa m n pa 五邑大学本科毕业论文五邑大学本科毕业论文 6 3 i 当时 且 mn 1 2 1 m k n k pakm 12 n m p a aa ii 当时 其中为正整数 注 当 1 1snmsn s 1 2 1 m k n k pakn 时 与 i 相同 那么 多项式无有理根 1s f x 证明 i 当时 假设多项式存在有理根 则在有理数域上mn f x r s 1r s 从而 因为互素 所以是一个本原多项式 根据推论 r xf x s sxrf x r ssxr 2 2 1 知式中都是整数 比较 12 0121 nn nn f xsxr b xb xbxb 0121 nn b bbb 两边系数 即得 00 110 221 111 222 223 112 1 n mn mn m n mn mn m nnn nnn nn sba sbarb sbarb sbarb sbarb sbarb sbarb rba 因为是素数 且 由 知 所以 或 p n p a 1 n p rb p r 1 n p b 同时 因为 所以 且 00 p asb p s 0 p b 如果 那么由 及 中 所以 p r 1 n m p a 11n mn mn m sbarb 1 n m p sb 即 故 1 n m p b 2 1 n m prb 又因为及 所以 即 2 2 n m pa 222n mn mn m sbarb 2 2 n m psb 2 2 n m pb 由 依次类推 即得 所以 mn 2 2 n m bp 2 1 n m rbp 又因为及 1 1 m n pa 112nnn sbarb 所以 即 1 1 m n psb 1 1 m n pb 所以 故 与矛盾 必有 则 1 m nn prba n m ap n m ap p r 1 n p b 由于 及由 式中 1 n p a 211nnn rbsba 所以 但 必有 2 n p rb p r 2 n p b 由 式依次类推知 1 p b 由及 得 又由前面所述知且 为素数 1 p a 110 sbarb 0 p rb 0 bp p rp 矛盾 故无有理根 f x 五邑大学本科毕业论文五邑大学本科毕业论文 7 ii 当是正整数且时 因为的情况为上述所证明 1 1 snmsns 1s 1s 此时 在中 令 得 f xx 1s py 1 s f xf py 1 1 1 11 011 snnsnns nn a pya pyapya 令 1 1 1 1 11 1 1 0 1 ygp p a y p a y p a yap ns ns n ns nn s nns 由定理的条件显然知 的系数均为整数 g y 2 1 1 ni p a is i 因为 是正整数 且由定理 4 1 2 的 1 2 知 1 1 snmsns 1s 但 0 p a ns nnsm p a p 1 1 1 ns nnsm p a p 1 1 又由定理 4 1 2 中 3 ii 知 1 1 ins ininsm p a p 其中 及 1 2 i 1 1msn 1 1 1 1 2 s 2 1 1 ns n s p a p a p a p 同时 1 1 msnsnsnn 由 i 证明知无有理根 故无有理根 g y f x 推论推论 4 1 2 14 1 2 1 设为上述定理中的多项式 如果有一个素数 使 f xp 1 或 1 其中是正整数 2 0 p a 0 1 0 apap tt tmiintmmt njap j m 2 1 3 是正整数 1 m n pa msn s 那么 多项式无有理根 由定理知推论显然成立 xf 推论推论 4 1 2 24 1 2 2 设为定理中的多项式 若能找到一个素数和整数 使得 xfp1 m 1 n ap 2 但 0 1 ap m 0 ap m 3 当时 nm 1 2 1 11 nmmk km aaapmkap 且 当时 其中 S 为正整数 1 1 nsmsn 1 2 1 nkap k kn 那么多项式无有理根 xf 证明 令 代入到中去 得到 y x 1 xf 五邑大学本科毕业论文五邑大学本科毕业论文 8 n n nn a y a y a y a y f 1 1 10 1 所以 n n n n n yayayaa y fyy 1 110 1 显然 是无有理根的充分和必要条件 有定理知无有理根 y xf y 从而无有理根 xf 推论推论 4 1 2 34 1 2 3 设为定理中的多项式 若能找到一素数 使得 xfp 1 或 1 其中是正整数 n ap 1 n t n t apap tmiintmmt 2 1 2 1 0 njap j m 3 是正整数 ssnmap n 0 1 那么多项式无有理根 推论 4 1 2 3 的成立是显而易见的 xf 4 2 整系数多项式有理根的检验 4 多项式的求根问题历来是多项式理论的重要内容之一 为了尽可能减少有理根的判别 范围 除考虑多项式首项系数及常数项外 再利用次高项和一次项系数作辅助 得到整系数 多项式有理根判别的一个必要条件 从而使整系数多项式有理根检验的范围得到缩小 为 讨论方便 给出下面定理 定理定理 4 2 14 2 1 设是一个整系数多项式 若有理数是 1 110 nn nn f xa xaxa xa v u 的一个根 这里和 是互素的整数 那么 xfuv 1 整除的最高次项系数 而整除的常数项v xf n au xf 0 a 2 这里是一个整系数多项式 xq v u xxf xq 在定理 4 2 1 的 2 中令或 不难得到下面的推论1 x1 x 推论推论 4 2 1 14 2 1 1 若是整系数多项式的有理根 则必全为整数a xf a f a f 1 1 1 1 推论推论 4 2 1 24 2 1 2 若是整系数多项式的有理根 则且 v u xf 1 fvu 1 fvu 推论推论 4 2 1 34 2 1 3 若整系数多项式各项系数之和为素数 则有理数必须满足 xfp v u 五邑大学本科毕业论文五邑大学本科毕业论文 9 或1 vup 推论推论 4 2 1 44 2 1 4 若整系数多项式的常数项为奇数 而为偶数 则不是 xf 0 auv 2 v u 的根 xf 定理定理 4 2 24 2 2 设是一个整系数多项式 若有理数 其 1 110 nn nn f xa xaxa xa v u 中是的一个根 则必有 1 1 zpvuvpavvu n 且 xf 2 0 3 1 3 3 2 2 1 1 nnn n n n n n vauvavuauauaupv 且 证明 因为是的有理根 则 v u xf 0 01 2 2 2 3 3 3 2 2 2 1 1 1 a v u a v u a v u a v u a v u a v u a v u f n n n n n n n n n n n n 将上式两边同乘以 并移项整理得 1 2 n n u v 1 2 0 2 3 1 3 4 2 2 321 2 11 n n n n n n nnnn u v a u v a u v a u v a u a v a v u a 因为 代入上式整理后得 vpan 1 2 0 3 1 24 2 3 3 2 21 n nnnn n n nn u vauvauvavuaua v apu 即 2 0 3 1 24 2 3 3 2 21 1 nnnn n n nn n vauvauvavuauavapuu 所以 vu n 1 2 0 3 1 3 3 2 2 nnn n n n vauvavuaua 又因为 所以 从而有 v 1 1 n n apuu1 1 vvu 1 1 vu n 2 0 3 1 3 3 2 2 1 1 nnn n n n n n vauvavuauauaupv 且 推论推论 4 2 2 14 2 2 1 设 若 则一定不是的有理1 1 vvu pvan 1 n apuv v u xf 根 推论推论 4 2 2 24 2 2 2 设 若 则一定不是的有理根 Error Error 1 0 zvuuqav 1 qau u xf NoNo bookmarkbookmark namename given given Error Error NoNo bookmarkbookmark namename given given Error Error NoNo bookmarkbookmark namename given given 证明 若为的整根 则 等式两边同u xf0 01 2 2 1 1 auauauauauf n n n n 除以 得 2 u0 2 01 23 3 1 2 u aua auauaua n n n n 五邑大学本科毕业论文五邑大学本科毕业论文 10 因为故uqa 0 0 1 23 3 1 2 u qa auauaua n n n n 即 而均为整数 故有 u qa 1 23 3 1 2 auauaua n n n n quaaa nn 11 这与已知条件矛盾 因此不是的整根 1 qau xf 4 3 整系数多项式有理根的求法 定理定理 4 3 1 设既约分数 多项式除整系数多项式 5 0 s r s r x 1 110 nn nn f xa xaxa xa 所得的商式为 0 2 2 1 1 bxbxbxp n n n n 余式为常数 多项式除多项式c s r x n nn xaxaaxg 01 五邑大学本科毕业论文五邑大学本科毕业论文 11 所得的商式为 则 xq 为的一个根的充要条件为的各系数都能被 整除 并且 s r xf xps0 c 为的一个根的充要条件是为的一个根 s r xf s r xq 当为的一个根时 s r xf 1 021 n nn xbxbb s r xq 证明 充分性是很明显的 下面证必要性 因是多项式的一个根 故存在整系数多项式使 s r xf 0 1 1 cxc n n 0 1 1 cxcrsxxf n n 从而 0 1 1 scxsc s r xxf n n 这时 的各系数均能被 整除0 c xp 0 1 1 scxsc n n xps 充分性 若为的一个根 则 s r xq0 01 n nn r s a r s aa 在上式两边同乘以 有 n s r 0 0 1 1 a s r a s r a n n n n 故为的一个根 s r xf 必要性 显然类似可证 若为的一个根 则 即 s r xf s r xxf xp 0 1 10 1 1 bxb s r xaxaxa n n n n n n 于是 0 1 10 1 1 bib s r iaiaia n n n n n n 1 2 1 ni 在上式两边同除以得 n i 1 iq n nn i a i aa 1 1 01 五邑大学本科毕业论文五邑大学本科毕业论文 12 1 1 1 1 021 n nn i b i bb r s is r 1 2 1 ni 从而有多项式恒等定理 1 021 n nn xbxbb s r r s xxq 故多项式除多项式所得的商式为 r s x xq 1 021 n nn xbxbb r s xq 证毕 由以上定理及相关推论 得求整系数多项式有理根的 1 110 nn nn f xa xaxa xa 方法 第一步 判定是否存在有理根 xf 第二步 若有 求出和的所有因数 n a 0 a 第三步 用的因数做分母 因数做分子 列出所有可能的既约分数 n a 0 a q p 第四步 先判断出是否为的根 再对第二步求出的既约分数进行检验 如果1 f x q p 与都是整数 那么的根可能是含有这个 如果两数不全为整数 那么 1f pq 1f pq f x q p 的根一定没有这个 f x q p 第五步 检验第三步选出来的既约分数可能会是的根 用除 可用综合 q p f x q x p f x 除法 如果除得余数为零 那么是的根 反之 不是的根 q p f x q p f x 4 4 应用举例 我们用以下例子简要说明上述方法的应用 例1判断多项式是否存在有理根 3 2163227040530431252 2345 xxxxxxf 解 先分析系数的情况 五邑大学本科毕业论文五邑大学本科毕业论文 13 1 0 a13252 2 1 a 1332312 3 2 a1713325304 3 3 a 25 4 135227040 a 27 5 13221632 a 取 有但 13 p 5 2 4 2 3210 apapaaapap 5 3 ap 由定理4 1 2知无有理根 xf 例2 求整系数多项式的全部有理根 6 432 3552f xxxxx 解 的因数是 的因数是 于是可能的有理根是 40 3 2aa 4 a1 3 0 a1 2 f x1 12 2 33 第一步 经计算 所以不是的有理根 1120f 180f 1 f x 第二步 因为 所以不是的有理根 8 1 532 fvu 3 2 f x 第三步 因为不是整数 所以2不是的有理根 3 8 21 1 f f x 第四步 因为时 所以不是的有理根 3 1 vu 51 1 3 3 1 f x 这样 经过上述四步 可能的有理根只可能是 f x2 3 1 下面用综合除法来检验 35152 2 6262 31310 这说明是的根 2 f x 同理可知 是的根 1 3 f x 经综合除法检验得知的有理根为和 f x2 3 1 例3 求整系数多项式的全部有理根 6 76432 28176208f xxxxxxx 解 故的有理根都是整数 且都是常数项的因子 的因子有 7 1a f x 0 a 0 a1 2 4 8 所以可能的有理根是 又所以 是的根 f x1 2 4 8 10 1160 ff 1 f x 不是的根 1 f x 五邑大学本科毕业论文五邑大学本科毕业论文 14 又