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第五节极限的运算法则 无穷小的运算法则极限的四则运算法则复合函数极限运算法则 1 22 时 有 一 无穷小运算法则 定理1 有限个无穷小的和还是无穷小 证 考虑两个无穷小的和 设 当 时 有 当 时 有 取 则当 因此 这说明当 时 为无穷小量 说明 无限个无穷小之和不一定是无穷小 例如 后面的例题 用数学归纳法可证 有限个无穷小之和仍为无穷小 若函数g在某U x0 内有界 则称g为x x0时的有界量 类似可定义x x0 x x0 x x 以及x 时的无穷小量与有界量 任何无穷小量都是有界量 定理2 同一过程中的 有界量与无穷小的乘积是无穷小 即O 1 o 1 o 1 证 6 16 推论1 在同一过程中 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小 推论2常数与无穷小的乘积是无穷小 推论3有限个无穷小的乘积是无穷小 7 16 注意无穷多个无穷小的乘积未必是无穷小 二 四则运算法则 定理3 推论 4 22 例1 解 5 22 例3 解 7 22 注在不能直接用极限的四则运算法则时 可先考虑将函数适当变形 再考虑能否用极限的四则运算法则 常用的变形方法有 通分 约去零因子 用非零因子同乘或同除分子分母 分子或分母有理化等 解 例4 消去零因子法 8 22 例5求 解 无穷小因子分出法 9 22 例6求 解 消去零因子法 10 22 例7求 解 分子有理化 11 22 例9求 解 先变形再求极限 13 22 例10 解 14 22 例11 解 左右极限存在且相等 15 22 例12 解 16 22 总结 有理函数在无穷远的极限 17 22 三 复合函数的极限运算法则 定理7 设 且x满足 时 又 则有 证 当 时 有 当 时 有 对上述 取 则当 时 故 因此 式成立 定理7 设 且x满足 时 又 则有 说明 若定理中 则类似可得 例13求极限 20 22 备用题设 解 利用前一极限式可令 再利用后一极限式 得 可见 是多项式 且 求 故 三 小结 无穷小的运算法则 极限的四则运算法则 注意除法 有理函数的极限 3 复合函数的极限运算法
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