《1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质》同步练习2.doc

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质同步练习基础巩固训练一、选择题(每小题3分，共18分)1.的展开式中第8项是常数，则展开式中系数最大的项是()A.第8项B.第9项C.第8项或第9项D.第11项或第12项2.(2014临沂高二检测)在二项式的展开式中，偶数项二项式系数为32，则展开式的中间项为()A.-B.C.-x3D. x33.(2014日照高二检测)如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是()A.7B.-7C.21D.-214.(2014北海高二检测)设(x+2)(2x+3)10=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+a11(x+2)11，则a0+a1+a2+a11的值为()A.0B.1C.6D.155.(2014郑州高二检测)已知的展开式中，各项系数之和大于8且小于32，则展开式中系数最大的项是()A.6B.C.4xD.或4x6.(2014北京高二检测)如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a=7时，b等于()A.20B.21C.22D.23二、填空题(每小题4分，共12分)7.在二项式(1-2x)6的展开式中，所有项的系数之和为_.8.(2014天津高二检测)设(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+anxn，当a0+a1+a2+an=254时，则n=.9.已知(x+1)2+(x+1)11=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+a11(x+2)11，则a0+a1等于_.三、解答题(每小题10分，共20分)10.设(2-x)100=a0+a1x+a2x2+a100x100，求下列各式的值.(1)a0.(2)a1+a2+a3+a4+a100.(3)a1+a3+a5+a99.(4)(a0+a2+a100) 2-(a1+a3+a99)2.(5)|a0|+|a1|+|a100|.11.已知f(x)=(1+x)m+(1+2x)n(m，nN*)的展开式中x的系数为11.(1)求x2的系数取最小值时n的值.(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和.能力提升训练一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2014济宁高二检测)若(x+3y)n展开式的系数和等于(7a+b)10展开式中的二项式系数之和，则n的值为()A.5B.8C.10D.152.若展开式的各项系数和为-，则展开式中常数项是()A.-7B.7C.-D.3.若(1-2x)2013=a0+a1x+a2013x2013(xR)，则+的值为()A.2B.0C.-1D.-24.(2014宿州高二检测)设(3-x)n=a0+a1x+a2x2+anxn，若n=4，则a0-a1+a2+(-1)nan=()A.256B.136C.120D.16二、填空题(每小题4分，共8分)5.已知(x+1)10=a1+a2x+a3x2+a11x10.若数列a1，a2，a3，ak(1k11，kZ)是一个单调递增数列，则k的最大值是_.6.杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家，他的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关.如图是一个7阶的杨辉三角.给出下列四个命题:记第i(iN*)行中从左到右的第j(jN*)个数为aij，则数列aij的通项公式为；第k行各数的和是2k；n阶杨辉三角中共有个数；n阶杨辉三角的所有数的和是2n+1-1.其中正确命题的序号为_.三、解答题(每小题13分，共26分)7.已知(1-2x+3x2)7=a0+a1x+a2x2+a13x13+a14x14，求(1)a1+a2+a14.(2)a1+a3+a5+a13.8.(2014昆明高二检测)已知.(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数.(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项.参考答案基础巩固训练一、选择题(每小题3分，共18分)1.【解析】选D.因为展开式中的第8项为()n-7为常数，即=0，所以n=21.所以展开式中系数最大的项为第11项或第12项.2.【解析】选C.因为偶数项二项式系数和为2n-1=25，所以n=6，所以展开式共7项，则中间项为T4=-x3.3.【解析】选C.令x=1，则(3-1)n=128=2n，所以n=7，所以展开式中通项为Tr+1=(3x)7-r(-1)r=37-r(-1)r.令7-=-3，得r=6，所以的系数为3=21.4.【解析】选B.令x=-1，则1=a0+a1+a2+a11，故选B.5.【解析】选A.由条件可得82n32，所以n=4，又二项式中两项系数均为1，所以展开式中系数最大的项就是二项式系数最大项，即为()2=6.6.【解题指南】由图可知，各行数字中除两端的数代表行数外，其他元素均等于上一行中其肩上的数的和，如4=2+2，7=3+4，11=4+7，14=7+7，据此规律进行求解.【解析】选C.由a=7，可知b左肩上的数为6，右肩上的数为(11+5)即16，所以b=6+16=22.二、填空题(每小题4分，共12分)7.【解析】令x=1，得(1-2x)6展开式中所有项的系数和为(1-2)6=1.答案:18.【解析】令x=1，得a0+a1+a2+an=2+22+23+2n=254，所以2n=128，即n=7.答案:79.【解题指南】给等式中的x赋值-2，求出a0；再将等式中的x+1用x+2表示，利用二项展开式的通项公式求出a1，最后求出a0+a1.【解析】令等式中x=-2，得0=a0，原式可变形为(x+2)-12+(x+2)-111=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+a11(x+2)11，(x+2)-12展开式的(x+2)的系数为-=-2，(x+2)-111展开式的(x+2)的系数为=11，所以a1=11-2=9，所以a0+a1=9.答案:9三、解答题(每小题10分，共20分)10.【解析】(1)令x=0，则展开式为a0=2100.(2)令x=1，可得a0+a1+a2+a100=(2-)100，(*)所以a1+a2+a100=(2-)100-2100.(3)令x=-1，可得a0-a1+a2-a3+a100=(2+)100.与(2)中(*)式联立相减得a1+a3+a99=.(4)原式=(a0+a2+a100)+(a1+a3+a99)(a0+a2+a100)-(a1+a3+a99)=(a0+a1+a2+a100)(a0-a1+a2-a3+a98-a99+a100)=(2-)(2+)100=1100=1.(5)因为Tr+1=(-1)r2100-r()rxr，所以a2k-10(kN*).所以|a0|+|a1|+|a2|+|a100|=a0-a1+a2-a3+a100=(2+)100.11.【解题指南】(1)利用二项展开式的通项公式求出展开式的x的系数，列出方程得到m，n的关系，利用二项展开式的通项公式求出x2的系数，将m，n的关系代入，得到关于m的二次函数，配方求出最小值.(2)通过对x分别赋值1，-1，两式子相加求出展开式中x的奇次幂项的系数之和.【解析】(1)由已知+2=11，所以m+2n=11，x2的系数为+22=+2n(n-1)=+(11-m)=+.因为mN*，所以m=5时，x2的系数取得最小值22，此时n=3.(2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m=5，n=3，所以f(x)= (1+x)5+(1+2x)3，设这时f(x)的展开式为f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，令x=1，a0+a1+a2+a3+a4+a5=25+33，令x=-1，a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1，两式相减得2(a1+a3+a5)=60，故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.能力提升训练一、选择题(每小题4分，共16分)1.【解析】选A.(7a+b)10展开式的二项式系数之和为210，令x=1，y=1，则由题意知，4n=210，解得n=5.2.【解题指南】令x=1，可求出展开式中的各项系数之和，由已知求出n，利用二项展开式的通项公式求出答案.【解析】选D.令x=1，展开式中的各项系数之和为，所以=-，所以n=7.所以二项展开式的通项为Tr+1=(-1)r，令14-r=0，可得r=6，二项式展开式中常数项为=，故选D.3.【解析】选C.令x=，可得a0+=0，所以+=-a0，再令x=0，可得a0=1，所以+=-1.4.【解析】选A.在展开式中令x=-1，得a0-a1+a2-a3+a4=44=256.二、填空题(每小题4分，共8分)5.【解题指南】由题意可知展开式的各项系数为其二项式系数，由二项式系数的性质可得.【解析】(x+1)10展开式的各项系数为其二项式系数，当n=10时，展开式的中间项第六项的二项式系数最大，故k的最大值为6.答案:66.【解题指南】根据第i行各个数是(a+b)i的展开式的二项式系数，故可求数列aij的通项公式为；据各行的所有数和是各个二项式的二项式系数和，由(a+b)n的二项式系数和为2n得解，第k行各数的和是2k；第k行共有k+1个数，可求n阶杨辉三角中数的个数.【解析】据第i行各个数是(a+b)i的展开式的二项式系数，故数列aij的通项公式为，故错；各行的所有数和是各个二项式的二项式系数和，第k行各数的和是2k，故正确；第k行共有k+1个数，从而n阶杨辉三角中共有1+2+(n+1)=个数，故错；n阶杨辉三角的所有数的和是1+2+22+2n=2n+1-1，故正确.答案:三、解答题(每小题13分，共26分)7.【解析】(1)令x=1，得a0+a1+a2+a14=27.令x=0，得a0=1，所以a1+a2+a14=27-1.(2)由(1)得a0+a1+a2+a14=27，令x=-1得a0-a1+a2-a13+a14=67，由-得:2(a1+a3+a5+a13)=27-67，所以a1+a3+a5+a13=.8.【解析】(1)因为+=2，所以n2-21n+98=0.解得