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动 中 求 静 探究运动中的三角板问题315700 浙江省象山县文峰学校 俞红燕315700 浙江省象山县丹城中学 王赛英数学新课程标准指出：义务教育阶段的数学课程,应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程；有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践，自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式.探究运动中的三角板的变化规律，充分体现了新课标的这些理念.浏览一下近几年的中考试卷，不难发现此类问题也是一个备受关注的命题热点.操作三角板，使图形的相对位置不断发生变化，把静态的题目动态化，使学生在探索运动的三角板的变化中，感悟、猜想、验证几何图形所具有的“变”与“不变”性.三角板运动问题的核心数学知识是平移、轴对称、旋转变换，但无论位置作何变换，运动前后的三角板未变，即三角形的全等关系不变.解决此类问题需要充分发挥三角板上30、45、60、90特殊角的作用，抓住运动过程中的“不变因素”，拾级而上，方可获得问题的解决.本文从三角板的平移，滑动，转动，滚动，翻折及“叠加”运动这六个方面来探究运动中的三角板问题.一、平移的三角板ABCEFG图2DABCDEFG图3ABCFG图1例1（2007年河北省中考试题）在ABC中，AB=AC，CGBA交BA的延长线于点G一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DEBA于点E此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DEDF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，第（2）题中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）解：（1）BF=CG；ABCEFG图4HD证明：在ABF和ACG中，F=G=90，FAB=GAC，AB=AC，ABFACG（AAS），BF=CG（2）DE+DF=CG； 证明：过点D作DHCG于点H（如图4）DEBA于点E，四边形EDHG为矩形，DE=HG，DHBGGBC=HDCAB=AC，FCD=GBC=HDC又F=DHC=90，CD=DC，FDCHCD（AAS），DF=CHGH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG（3）仍然成立评析：此题是以三角板的一直角边在射线AC方向平移为条件，探索图形位置变化过程中线段DE，DF，CG之间的数量关系.“动态”因素是三角形的平移，“静态”因素是蕴涵在运动变化过程中线段DE，DF，CG间不变的数量关系.解决此题的关键是：在“变”中寻找出“不变”的数与形的关系；明确处理线段中的数量关系常用的方法：“截取”或“延长”.二、滑动的三角板PAEBCD图例2（2007年四川乐山市中考试题）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A，D不重合），一直角边经过点C，另一直角边AB交于点E我们知道，结论“RtAEPRtDPC”成立（1）当CPD=30时，求AE的长；（2）是否存在这样的点P，使DPC的周长等于AEP周长的2倍？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由解：（1）在中，由，得， 由知，可得AE=10-12（2）假设存在满足条件的点，设，则，由知，解得，此时，符合题意 评析：此题“动态”因素是三角板的直角顶点P在AD上滑动.“静态”因素之一，其中一直角边始终过点C；“静态”因素之二，某一特定位置时图形中一些线段间特有的数量关系.解决此题的关键是把握运动过程中的不变量EPC=90，找出相似三角形，建立方程模型，从而使问题获得解决.三、转动的三角板例3（2007年山东省临沂市中考试题)如图1，已知ABC中，ABBC1，ABC90，把一块含30角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直边为DF)，将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转.(1)在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N.证明DMDN；在这一旋转过程中，直角三角板DEF与ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；(2)继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DMDN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DMDN是否仍AAABBCCCDDDNNNEEFEFFMMM图1图2图3然成立？请写出结论，不用证明.B解：（1）连DB，通过证明BMDCND，可得DM=DN 面积不变.由知：BMDCND，则SBMD=SCND， S四边形=SDBN+ SDCB=SDBN+SDNC=SABC=（2）DM=DN仍成立,亦可通过连DB，证明BMDCND得到.（3）DM=DN评析：此题“动态”因素是三角形绕着点D不停地旋转，但动中有静，不论三角板按此方式如何旋转，线段DM与线段DN之间始终保持相等关系不变，并且当三角板两边分别与AB，BC两边相交时，重叠部分的面积也保持不变. “静态”因素为线段DM与DN间数量关系不变，情形（1）中重叠部分面积不变.解决此题的关键是寻找出“变”中“不变”的图形形状关系，即BMDCND，并掌握常规的添辅助线的方法. 四、滚动的三角形 例4（2005年海安县中考试题）如图，RtABC中，ACB90，AC，BC1，将RtABC绕C点旋转90后为RtABC，再将RtABC绕B点旋转为RtABC使得A、C、A在同一直线上，则A点运动到A点所走的长度为.BACACBA解：从A运动至A,它的路径是以C为圆心,AC为半径,ACA为圆心角的一段圆弧；从A运动至A,它的路径是以B为圆心, AB为半径,ABA为圆心角的一段圆弧.A点运动到A点所走的长度就是上述两段圆弧的长度之和，即为（）. 评析：滚动三角板，其实是把三角板绕着不同顶点旋转的叠加运动.本题的 “动态”因素是三角板的“滚动”，而“静态”因素，则是“动点A”运动结束后经过的路径长.解决此题的关键是确定动点A每一次旋转时的旋转中心，旋转半径及旋转角度.五、翻折的三角板AOBAO例5如图，在平面直角坐标系中，一块含30角的直角三角板OAB，较短的直角边长为1，较长的直角边在x轴上.若三角板以斜边为轴进行翻折，求直角顶点的对应点A的坐标.解：OAB作轴对称变换得到OAB，则OA=O，AOB=AOB=30，可得OA=,AOA=60,过A作ACx轴,OC=OAcos60=,AD=OAsin6=, 则点A的坐标为(,). 评析：此题是对三角板作轴对称变换.“动态”因素是三角板的位置发生变化，“静态”因素是对应的线段长度、角的大小保持不变.解决此题的关键是抓住变换前后的对应线段相等，对应角相等，继而转化成解直角三角形的问题.六、 “叠加”运动的三角板例6（2006年湖南省益阳市中考试题）如图，桌面内，直线l上摆放着两块大小相同的直角三角板，它们中较小直角边的长为6cm，较小锐角的度数为30.（1）将ECD沿直线AC翻折到如图（2）的位置，与AB相交于点F，请证；（2）将ECD沿直线l向左平移到（3）的位置，使E点落在AB上，你可以求出平移的距离，试试看；（3）将ECD绕点C逆时针方向旋转到图（4）的位置，使E点落在AB上，请求出旋转角的度数.解：（1）根据轴反射的性质可知，在AFE与FB中，A，AEB，AFEFB，AFEFB AFF（2）根据平移的性质可知为平移的距离. 在Rt中，（3）根据旋转的性质可知，为等边三角形，为旋转角. 旋转角为30.评析：本题融合了三角板操作中的翻折，平移与旋转运动，即将三角板作轴对称，平移及旋转变换.此题的“动态”因素是三角板作各种运动，而“静态”因素是变换前后的三角板仍全等.解决此题关键要在动中找静，紧紧抓住问题中的“不变因素”，即运动前后的对应线段相等，对应角相等，才能化难为易.通过操作三角板，让学生领略到操作三角板三角板过程中所蕴涵的丰富的数学内涵，身经历观察，实验，猜测，验证，推理与交流等数学活动，亲身经历知识的形成和应用过程，有效地培养学生空间想象能力和探究性学习能力，从而使学生在一个充满探索的学习过程中理解数学，感受数学学习的乐趣，领