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3 2圆的对称性 兰州二十一中学瞿红梅 圆的对称性及特性 圆是轴对称图形 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线 它有无数条对称轴 驶向胜利的彼岸 做一做 做如下实验 在两张透明的纸上 分别作半径相等的 O和 O 把两张纸叠在一起 使 O与 O 重合 然后固定圆心 将其中一个圆旋转任意一个角度 两个圆还能重合吗 圆是中心对称图形吗 圆是中心对称图形 对称中心为圆心 利用旋转的方法可以得到 一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度 都能与原图形重合 这叫做圆的旋转不变性 特别地 圆是中心对称图形 对称中心是圆心 同圆 等圆 同圆或等圆的半径相等 弧 弦 等弧 在同圆或等圆中 能够互相重合的两条弧叫做等弧 过点O作弦AB的垂线 垂足为M A B 顶点在圆心的角 叫圆心角 如 所对的弦为AB 图1 OM是唯一的 则垂线段OM的长度 即圆心到弦的距离 叫弦心距 图1中 OM为AB弦的弦心距 1 判别下列各图中的角是不是圆心角 并说明理由 2 下列图中弦心距做对了的是 A B C D o 下面我们一起来观察一下 在 O中有哪些圆心角 请举出两个例子 并说出圆心角所对的弧 弦 如果 AOB COD A B C D o 下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦 弧有什么关系 如果 AOB COD A B C D o 下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦 弧有什么关系 如果 AOB COD A B C D o 下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦 弧有什么关系 如果 AOB COD A B C D o 下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦 弧有什么关系 如果 AOB COD A B C D o 下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦 弧有什么关系 如果 AOB COD A B C D o 下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦 弧有什么关系 如果 AOB COD A B C D o 下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦 弧有什么关系 如果 AOB COD A B C D o 下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦 弧有什么关系 如果 AOB COD A B C D o 下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦 弧有什么关系 如果 AOB COD A B C D o 下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦 弧有什么关系 如果 AOB COD A B C D o 下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦 弧有什么关系 如果 AOB COD A B C D o 下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦 弧有什么关系 如果 AOB COD A B C D o 下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦 弧有什么关系 如果 AOB COD 证明 OA OC OB OD AOB COD 当点A与点C重合时 点B与点D也重合 AB CD 圆心角定理 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦也相等 已知 如图 AOB COD 求证 AB CD AB CD 驶向胜利的彼岸 圆心角 弧 弦 弦心距之间的关系定理 如图 如果在两个等圆 O和 O 中 分别作相等的圆心角和 AOB和 A O B 固定圆心 将其中的一个旋转一个角度 使得OA和O A 重合 你又能发现那些等量关系 说一说你的理由 如图 O和 O 是等圆 如果 AOB A O B 那么AB A B AB A B OM O M 为什么 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦相等 前提条件 所对的弦的弦心距相等 条件 结论 在同圆或等圆中如果圆心角相等 那么 圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等 圆心角所对的弦的弦心距相等 驶向胜利的彼岸 拓展与深化 在同圆或等圆中 如果轮换下面四组条件 两个圆心角 两条弧 两条弦 两条弦心距 你能得出什么结论 与同伴交流你的想法和理由 如由条件 AB A B OD O D AOB A O B 在同圆或等圆中 如果 两个圆心角 两条弧 两条弦 两条弦心距中 有一组量相等 那么它们所对应的其余各组量都分别相等 如由条件 AB A B OD O D AOB A O B 圆心角 弧 弦 弦心距之间的关系定理 1 已知 如图 AB CD是 O的两条弦 OE OF为AB CD的弦心距 根据本节定理及推论填空 1 如果AB CD 那么 2 如果OE OF 那么 3 如果AB CD那么 4 如果 AOB COD 那么 AOB CODOE OFAB CD AOB CODAB CDAB CD AOB CODAB CDOE OF 巩固练习 如果AB CD 则图中有哪些弧等 AC BD 1 已知 如图 A B C D是 O上的点 1 2 求证 AC BD 做一做 做一做 2 已知 如图 在 中 弦 求证 例题 如图 在 O中 AB CD是两条弦 OE AB OF CD 垂足分别为E F 把顶点在圆心的周角等分成360份时 每一份的圆心角是1 的角 1 的圆心角所对的弧叫做1 的弧 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等 一般地 n 的圆心角对着n 的弧 弧的度数 判断题 在两个圆中 分别有弧AB和弧CD 若弧AB和弧CD的度数相等 则有 1 弧AB和弧CD相等 2 弧AB所对的圆心角和弧CD所对的圆心角相等 注意 等弧的度数一定相等 但度数相等的弧不一定是等弧 定义辨析 做一做 2 已知AB和CD为 O的两条直径 弦EC AB 弧EC的度数为40 求 BOD的度数 练习 3 如图 的直径AB垂直于弦CD AB与CD相交于点E COD 1000 求BC AD的度数 A B C D O E 解 OC OD OE CD 1 2 1 2 COD 1000 1 2 500 例题如图 已知点O是 EPF的平分线上一点 P点在圆外 以O为圆心的圆与 EPF的两边分别相交于A B和C