部分习题解-黎永锦《泛函分析讲义》的Word文档.doc

黎永锦-部分习题解答部分习题解答意义深刻的数学问题从来不是一找出解答就完事了,好象遵循着的格言,每一代的数学家都重新思考并重新改造他们前辈所发现的解答,并把这解答纳入当代流行的概念和符号体系之中 L. Bers（贝尔斯）（1914-1993,美国数学家）习题一1.2 设,对任意, , 试证明和为上的两个度量,且存在序列,使得,但不收敛于0. 1.2证明：（1）只须按度量定义验证即可知道为上的两个度量和为 上的两个度量.（2）取 当时, , 当时,则且,但.因此,但不收敛于0.1.4 试找出一个度量空间,在中有两点,但不存在,使得.1.4 证明：在上取离散度量,则对于,有,但不存在,使得.1.6 在中,设为的非空子集,为开集,试证明为开集.1.6证明：由可知,对任意,有,若G是开集,则对于任意,有开球.故,因而,从而对任意是开集,由 可知是开集.1.8 在中,设只有限个不为0,试证明不是紧集.1.8证明：取,当时,当时, ,则,且 ,这里 ,但,因此M不是闭集,所以不是紧集.1.10 设为度量空间,试证明.1.10证明：对于任意,有,故,因而,从而.对于任意,有,因而存在,故,从而,故.所以,.1.12 设为度量空间,试证明为到 的连续算子.1.12 证明：对于任意,有.故类似地,有因此所以,时,必有,即是连续函数.1.14 设为度量空间,为闭集,试证明存在可列个开集,使.1.14 证明：由于F是闭集,因此,又因为是连续的,所以对任意是开集,从而对于开集,有，所以.1.16 试证明是完备的度量空间.1.16证明：设为 的列,则对于任意,存在 N,使得时有.故对每个固定的i,有.因此是列.因而存在,使得,令,则由可知 故由于,因此存在常数使得.又由可知对任意i及成立.故所以,即是完备的度量空间.1.18 证明中的有界闭集不一定是紧集.1.18 证明：令,则M是的有界闭集,但M是不紧集.1.20 设,试证明为度量空间,但不是完备的. 1.20证明：容易验证是的度量. 取,则为的列，但没有极限点，因此不是收敛列，所以不是完备的.1.22 试证明度量空间上的实值函数是连续的当且仅当对于任意,和都是的闭集.1.22证明: 若度量空间上的函数是连续的,则明显地,对于任意,和都是的闭集.如果对于任意,和都是的闭集,则于任意,容易知道是开集, 对于R上的开集,有的构成区间,使得,因而是开集,所以f是连续的.1.24 设R为实数全体,试在R上构造算子,使得对任意,都有,但没有不动点.1.24证明：(1) 设R为实数全体, 则对任意,由可知但f(x)没有不动点.实际上,若 ,则,因而矛盾.(2) 设 则对任意,由可知但f(x)没有不动点.实际上,若,则,矛盾,所以f(x)没有不动点.1.25 设函数在上连续,处处都有偏导数,且满足试证明在上有唯一的连续解.提示：定义:为证明为压缩算子,然后利用S. Banach 不动点定理.1.26 设为度量空间,为到的算子,若对任意,都有 ,且有不动点,试证明的不点是唯一的.1.26证明：反证法,假设A有两个不动点,使得,则但这与矛盾,所以A只有唯一的不动点.1.27 设为度量空间,且为紧集,为到的算子,且时,有,试证明一定有唯一的不动点.证明思路：构造上的连续泛函,利用紧集上的连续泛函都可以达到它的下确界,证明存在,使得,就是的不动点.1.28 试构造一个算子,使得不是压缩算子,但是压缩算子.1.28证明：定义,则不是压缩算子,但是压缩算子.1.30 设,试证明是压缩算子.1.30证明：由 ,可知,所以是压缩算子.习题二2.2 设为赋范线性空间,为上的范数,定义试证明为度量空间,且不存在上的范数,使得.2.2证明：由度量的定义可知是X上的度量.假设存在X上的范数,使得,则对于,一定有.如果取,则 ,但是,因此不成立,所以一定不存在X上的范数,使得.2.4设是赋范空间的线性子空间,若是的开集,证明.2.4证明：由于M是线性子空间,因此.由M是开集可知存在.因而对于任意,有,从而,因为M是线性子空间,所以,即.2.6设是赋范线性空间,若且,试证明.2.6证明：由可知存在,使得,故所以,. 2.10 在中,若是中只有有限个坐标不为零的数列全体,试证明是的线性子空间,但不是闭的.2.10证明：明显地M是线性子空间,取,则 且,但,所以M不是闭的子空间.2.12 设,满足对任意成立，若在上连续,试证明是线性的.2.12证明：由可知,对所有正整数都成立.并且,故对所有正整数都成立.因此所有正有理数都有成立,由和可知并且,因而对所有有理数都有成立.由于在上连续,因此,对于任意,有,使得,从而,所以是线性的.2.14设是有限维空间,为的基,试证明存在,使得,且,对成立.2.14证明：令,则M是 n-1维的闭子空间,且,由定理可知存在,使得,且对任意成立,令 ,则,且,对任意成立.2.16设是赋范空间,为的闭线性子空间,试证明存在,使得,且,对所有成立.2.16证明： 由M是闭线性子空间, 因此,因此存在,使得,且对于任意成立.令,则,且对任意成立.2.18设是严格凸空间,试证明对任意,且时,有 使得.2.18证明：假设存在,使得,但,对任意成立,则,故有因而但这与矛盾,所以时,有对某个成立.2.20试证明和都不是严格凸的赋范线性空间.2.20证明：在中,取,则,且,但,因而不是严格凸的.类似的,在中,取,则 ,且,但 ,所以不是严格凸的.2.22举例说明在赋范线性空间中,绝对收敛的级数不一定是收敛级数.2.22证明：令,定义,则是赋范空间,取,则 ,因此绝对收敛,但级数不收敛.2.24 设是赋范线性空间,试证明对任意,有.2.24证明：由可知, ,因而,所以, .2.26在中,试证明是的完备线性子空间.2.26证明：容易验证是的线性子空间.由于是完备赋范线性空间,是的闭子空间,因此是的完备线性子空间.2.28 在中,取范数，,则为的线性子空间,对,试求出,使得.2.28证明：由于,并对于,有,所以,且.习题三3.2 设,算子, ,试证明是线性有界算子,并求.3.2证明： 由T的定义可知T是线性算子,且, 因此,从而T是线性有界算子. 取,则,且,故,所以.3.4 设,试证明.3.4证明：由于,因此.对于任意,由可知,有,使得,故,因而对任意n成立从而,所以3.6 设是赋范空间,若对任意,有,试证明 .3.6 证明：定义,则是到K的线性有界算子,且对于任意,有因为任意赋范空间X的共轭空间 都是完备的,因此由一致有界原理,有.由的定义可知故,所以,.3.7 设,是赋范空间, 试证明是空间当且仅当是空间.证明思路：明显地,只需证明是空间时,是空间.由于,因此有,故由Hahn-Banach定理存在,使得.若是Cauchy列,定义算子列为,则,并且,因而为的Cauchy列,所以存在,使得.不难证明,从而是空间.3.8 设是空间,且对任意,试证明.3.8证明： 由于,因此对任意x成立,由X是空间可知因而,所以,即f是X的线性连续泛函.3.10 设,是赋范空间,是线性算子,且是满射,若存在,使得对任意成立,试证明是线性连续算子,且.3.10 证明：由可知T是单射,因而存在,且对于任意,由T满射可知存在,使得,容易验证是线性算子,故,所以,连续,且.3.12 设是空间,是上的非零线性泛函,试证明一定是开映射.3.12证明：由可知存在,使得,故对于的开集及任意,必有,使得,由于是开集,故有,使,因此对,有,因而,但 ,故 ,即为的内点,所以为开集,即一定开映射.3.13 设是赋范空间,是从到的线性算子,是从到的线性算子,若对任意,有,试证明和都是线性连续算子.证明思路：先证为闭算子,从而是线性连续算子,然后利用Hahn-Banach定理的推论可知, 当时,存在,使得,不难进一步证明为是线性连续算子.3.14 设,是赋范空间,为到的闭线性算子,为的紧集,试证明为的闭集.3.14证明：若,且,则存在使得,由于是紧集,因此存在,使得,且.由及是闭线性算子可知,所以,即是闭集.3.15 设为空间,为到的线性算子,若,且和都是闭的,试证明.证明思路：由于的定义域为,因此明显地,只需证明为闭线性算子.设有点列,当时,.由是闭的,可知必有,使得.由于,因此,即.由是闭的,可得,从而.因此,所以为闭线性算子.由闭图像定理可知3.16 设,赋范空间,若强收敛于,试证明弱收敛于.3.16证明：由于强收敛于,因此对任意,有,故对于任意,有,所以弱收敛于.习题四4.2 试证明.4.2证明：对于任意,有,故对于任意,有由于因此由可知收敛,从而绝对收敛,且令,则,且对于任意,都,有 且.反过来,对于任意 ,则定义f为则是上的线性连续泛函,且,所以 4.4 试证明.4.4证明： 用反证法,假设 ,则由于是可分的,因此是可分的,但这与不可分矛盾,所以4.6 试证明在中强收敛比按坐标收敛强. 4.6证明：若,且,则因此,对于任意有从而,所以强收敛比按坐标收敛强.4.7 设是无穷维的赋范空间,试证明一定也是无穷维的赋范空间.证明思路：对于任意的自然数,由于是无穷维的赋范空间,因此存在个线性无关的的,由Hahn-Banach定理,不难证明存在,使得,从而只需证明是线性无关的,则,所以一定也是无穷维的赋范空间.4.8设是赋范空间,若是相对紧的,试证明.4.8证明：由于是相对紧的,因此存在子列收敛于,但弱收敛于,因此对于任意,有.由收敛于可知,从而,对任意成立.因而.故,所以.4.10设为赋范空间,若,试证明4.10证明：对于任意,定义上的泛函,则由,可知f是X上的线性连续泛函,由于弱收敛,因此,因而,所以弱收敛.4.12 设为空间,弱收敛于,且收敛于,试证明.4.12证明：由于弱收敛于时,有,使得,因此所以,当弱收敛于,且收敛于时,有.4.14设是空间,且存在且有界,试证明的逆存在且.4.14证明：由 及 可知 T*-1存在,并且.4.16设是赋范空间,试证明.4.16证明：反证法,假设,则由于是闭子空间,因此,故由定理可知存在,使得且对于任意 ,所以,但这与弱收敛于矛盾,因而弱收敛时,一定有.习题五5.2设是内积空间,试证明是上的线性连续泛函,且. 5.2证明： 由可知线性泛函,且,因此是上的连续线性泛函,并且,取,则，所以，.5.4 设是内积空间,若试证明线性无关.5.4证明：若,且则对于,当时,有.因此,所以线性无关.5.6 设是空间的闭真子空间,试证明含有非零元素.5.6 证明： 由是的真子空间,因而对,存在,使得 ,由及可知所以,且,即含有非零元.5.8 设是空间的闭真子空间,试证明.5.8证明：由于,因此只须证.对于任意有使得,由可知,故,因此,所以,因而,从而.5.9 设是实内积空间上的线性连续泛函,若,试求,使得.5.9 解答:取,则一定有.5.10 设是内积空间的非空子集,试证明.5.10 证明：由可知, .反过来,对任意,及,可知,因而对于任意 成立,故因此,所以.5.12 设是空间,、是的闭真空间,试证明是的闭子空间.5.12证明：明显地是的线性子空间,因此只须证在中是闭的,若 ,且,则由于是空间,是闭子空间,因此,故.因而,所以,故,即是的闭子空间.5.14 设是内积空间,试证明的充要条件为对任意,有.5.14 证明：若,则对任意,有且 因此.反过来,若,有,则由和 可知令 ,则因而,所以.5.16设是内积空间,试证明当且仅当对任意,有.5.16证明：若,则对任意,有,因此 ，所以.反过来,若对任意,有,则令,由及因此,所以,.5.17 设是内积空间的正交规范集,试证明对任意成立.5.17证明：由于是X的正交规范集,因此对任意,有故5.18设为空间的正交规范集,试证明时,有.5.18证明：若,则由于是正交规范集,因此.因为是完备的,所以由 可知是收敛级数,记,则故,由,可知,因而,所以,即.5.19设是空间的正交集,试证明弱收敛当且仅当.5.19证明：若弱收敛,则存在,使得对任意成立,故由是正交集可知,所以.反之,若,则由可知是的列,所以在空间中收敛,因而弱收敛.5.20设是内积空间的正交规范集,则对于任意中最多只有可列个不为零,且.5.20证明：若是有限集,则明显地,有 若不是有限集,则对于任意,只能是有限集,因而是可数集,且对任意,有,故5.21 设是空间,若存在,且,试证明存在且.5.21 证明：由于是空间,且,因此存在.对于任意,有又因为,所以,因而.5.22 设是空间,若,试证明.5.22证明：由及,可知时,有 ,因此.5.24 若是空间,是自伴算子,试证明是自伴算子.5.24证明：由于是自伴算子,因此 ,且,所以对于.5.25 设是空间,若是自伴算子,试证明是自伴算子.5.25证明：由于,因此,所以是自伴的.5.26 设是复空间,若试证明存在唯一的自伴算子,使得,且.5.26 证明：令,则,且由于因此和都是自伴算子.假设存在自伴算子,使得,则且,因此.所以,存在唯一的自伴算子,使得.5.27 设是空间,若是正规算子,试证明是正规算子.5.27 证明：由于是正规,因此故由可知,所以即是正规算子.5.28 设是复空间,试证明是正规算子当且仅当对于任意成立.5.28 证明：若是正规算子,则,因此对于任意,有,故,因此,所以对任意成立.反之,若对任意有,则,故.因而对任意成立.所以,即是正规