广东省深圳市第三高级中学高中数学 《函数奇偶性》课件 必修1.pptVIP

广东省深圳市第三高级中学数学必修一 函数奇偶性 课件 函数奇偶性 复习课 1 偶函数一般地 如果对于函数f x 的定义域内一个x 都有 那么函数f x 就叫做偶函数 2 奇函数一般地 如果对于函数f x 的定义域内一个x 都有 那么函数f x 就叫做奇函数 3 奇偶性 那么 就说函数f x 具有奇偶性 4 奇函数的图象关于对称 反过来 如果一个函数的图象关于原点对称 那么这个函数是 偶函数的图象关于对称 反过来 如果一个函数的图象关于y轴对称 那么这个函数是 f x f x f x f x 如果函数f x 是奇函数或偶函数 原点 任意 任意 奇函数 y轴 偶函数 5 若奇函数f x 在 a b 上是增函数 且有最大值m 则f x 在 b a 上是函数 且有 6 若奇函数f x 在x 0处有定义 则f 0 7 若y f x 是偶函数 则f x 与f x 的大小关系是 8 若f x 是奇函数或偶函数 则其定义域关于对称 增 最小值 m 0 f x f x 原点 学点一奇偶性的判定 判断下列函数的奇偶性 1 f x x 1 2 f x 分析 先观察定义域是否关于原点对称 再看f x 与f x 之间的关系 若f x 本身能化简 应先化简 再进行判断 可避免失误 评析 1 判断函数奇偶性分两步 一是定义域是否关于原点对称 二是判断f x f x 还是f x f x 2 如果一个函数的定义域关于原点不对称 那么这个函数既不是奇函数 也不是偶函数 3 定义域关于原点对称 满足f x f x f x 的函数 既是奇函数 又是偶函数 如f x 0 x r 判断下列函数的奇偶性 1 f x x 2 f x x2 3 f x x 4 f x 1 定义域为a x x r 且x 0 因此 当x a时 x a f x x x f x f x 为奇函数 2 定义域为a x x r 且x 0 因此 当x a时 x a f x x 2 x2 f x 函数f x x2 为偶函数 3 函数的定义域为a x x 0 关于原点不对称 函数f x 为非奇非偶函数 4 由1 x2 0 x2 1 0 x 1 函数的定义域为 1 1 于是f x 0 x 1 1 满足f x f x 0 f x f x 0 f x 既是奇函数 又是偶函数 学点二由奇偶性求函数解析式 设f x 是定义在r上的奇函数 当x 0时 f x x2 x 1 求函数解析式 分析 由奇函数的图象关于原点对称 找x 0和x 0时解析式间的联系 解析 当x0 由已知得f x x2 x 1 f x 为r上的奇函数 f x f x x2 x 1 f x x2 x 1 又 f 0 f 0 f 0 0 x2 x 1 x 0 0 x 0 x2 x 1 x 0 评析 1 求f x 在什么范围上的解析式 则取x为这一范围上的任一值 再转化为条件 2 在求函数的解析式时 应紧扣题目中的已知条件 当求自变量在不同区间上的不同表达式时 要用分段函数的形式表示出来 已知f x 是奇函数 且当x 0时 f x x x 2 求当x 0时 f x 的表达式 设x0 且满足表达式f x x x 2 f x x x 2 x x 2 又 f x 是奇函数 f x f x f x x x 2 f x x x 2 故当x 0时 f x 的表达式为f x x x 2 学点三奇偶性的证明 函数f x x r 若对于任意实数a b 都有f a b f a f b 求证 f x 为奇函数 分析 因为对于a b r 都有f a b f a f b 所以可以令a b为某些特殊值 得出f x f x 证明 令a 0 则f b f 0 f b f 0 0 又令a x b x 代入f a b f a f b 得f x x f x f x 即0 f x f x f x f x f x 为奇函数 评析 证明函数的奇偶性 即证明f x f x 或f x f x 成立 这需要对给定函数方程中的x y赋值 使其变成含f x f x 的式子 然后判定 设函数f x 定义在上 证明 f x f x 是偶函数 f x f x 是奇函数 证明 由于对任意的x 必有 x 可见f x 的定义域也是 若设f x f x f x g x f x f x 则f x 与g x 的定义域也是 显然是关于原点对称的区间 而且f x f x f x f x f x f x g x f x f x f x f x f x f x g x 所以f x 为偶函数 而g x 为奇函数 学点四奇偶性与单调性的综合应用 设函数f x 是定义在 0 0 上的奇函数 且f x 在 0 上是减函数 且f x 0 试判断函数f x 在 0 上的单调性 并给出证明 分析 f x 的单调性的判定与f x1 f x2 的大小有关 而f x 在 0 上为减函数 可由此建立关系 解析 f x 在 0 上是增函数 以下进行证明 设x1 x2 0 x10 且 x1 x2 0 且 x1 x2 x2 x1 x1 x20 又 f x 在 0 0 上是奇函数 f x1 f x1 f x2 f x2 由 式得 f x2 f x1 0 f x2 f x1 又 f x 在 0 上总小于0 f x1 f x1 0 f x2 f x2 0 f x1 f x2 0 又 f x1 f x2 0 f x2 f x1 0 且x2 x1 0 故f x 在 0 上是增函数 评析 解决综合性问题 关键是熟练掌握函数的性质 已知函数f x 在 1 1 上有定义 f 1 当且仅当0 x 1时 f x 0 且对任意x y 1 1 都有f x f y f 试证明 1 f x 为奇函数 2 f x 在 1 1 上单调递减 证明 1 由f x f y f 令x y 0 得f 0 0 令y x 得f x f x f f 0 0 f x f x f x 为奇函数 2 先证f x 在 0 1 上单调递减 令00 则f x2 f x1 f x2 f x1 f 00 1 x1x2 0 0 又 x2 x1 1 x2x1 x2 1 x1 1 0 0 x2 x1 1 x1x2 0 1 由题意知 0 即f x2 f x1 0 f x 在 0 1 上为减函数 又 f x 为奇函数 且f 0 0 f x 在 1 1 上单调递减 学点五奇偶性在求变量范围中的应用 设f x 在r上是偶函数 在区间 0 上递增 且有f 2a2 a 1 f 2a2 2a 3 求a的取值范围 分析 要求a的取值范围 就要列关于a的不等式 组 因而利用函数的单调性 奇偶性化 抽象的不等式 为 具体的代数不等式 是关键 解析 由f x 在r上是偶函数 在区间 0 上递增知f x 在 0 上递减 2a2 a 1 2 a 2 0 2a2 2a 3 2 a 2 0 且f 2a2 a 1 2a2 2a 3 即3a 2 0 解之得a a的取值范围是a 评析 该例在求解过程中用到了前面提到的减函数定义的逆命题 1 定义在 1 1 上的奇函数f x 为减函数 且f 1 a f 1 a2 0 求实数a的取值范围 2 定义在 2 2 上的偶函数g x 当x 0时 g x 为减函数 若g 1 m g m 成立 求m的取值范围 1 f 1 a f 1 a2 a2 1 1 m 1 在函数的奇偶性中应注意什么问题 1 对于函数奇偶性的理解 函数的奇偶性与单调性的差异 函数的奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的 这一点与函数的单调性不同 从这个意义上来讲 函数的单调性是函数的 局部 性质 而奇偶性是函数的 整体 性质 只有对函数定义域内的每一个值x 都有f x f x 或f x f x 才能说f x 是奇 或偶 函数 奇 或偶 函数的定义域必须是关于原点对称的 如果函数的定义域不关于原点对称 则此函数既不是奇函数 也不是偶函数 归纳小结 2 奇偶函数的图象有什么几何性质 1 如果一个函数是奇函数 则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形 反之 如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形 则这个函数是奇函数 如果一个函数是偶函数 则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形 反之如果一个函数的图象关于y轴对称 则这个函数是偶函数 2 若奇函数y f x 在x 0时有定义 则由奇函数定义知f 0 f 0 即f 0 f 0 所以f 0 0 3 奇函数在对称于原点的两个区间上的单调性一致 偶函数则相反 1 如果已知函数具有奇偶性 只要画出它在y轴一侧的图象 则另一侧的图象可对称画出 2 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同 偶函数在关于原点对称的区间上的单