高中数学竞赛讲义-直线和圆、圆锥曲线.doc

18直线和圆，圆锥曲线一直线与圆1,两点间的距离公式:设,则;2,线段的定比分点坐标公式:设,点分的比为,则 ,3,直线方程的各种形式(1),点斜式:; (2),斜截式:; (3),两点式:(4),截距式: ;(5),一般式:不同为零);(6)参数方程:为参数,为倾斜角,表示点与之间的距离)4,两直线的位置关系设(或).则(1),且(或且);(2),(或).5,两直线的到角公式与夹角公式:(1),到角公式:到的到角为,则,();(2),夹角公式:与的夹角为,则,().6,点到直线的距离:.7,圆的方程(1),标准方程:,其中为圆心坐标,R为圆半径;(2),一般方程:,其中,圆心为,半径为.(3),参数方程: ,其中圆心为,半径为R.二圆锥曲线椭圆双曲线抛物线定义与两个定点的距离的和等于常数与两个定点的距离的差的绝对值等于常数与一个定点和一条定直线的距离相等标准方程(或),(或)(或)参数方程(或)(或)(或)焦点或或或正数a,b,c,p的关系()()离心率准线(或)(或)(或)渐近线(或)焦半径(或)(,),(点在左或下支)(或)统一定义到定点的距离与到定直线的距离之比等于定值的点的集合,(注:焦点要与对应准线配对使用)三解题思想与方法导引.1,函数与方程思想 2,数形结合思想. 3,分类讨论思想. 4,参数法. 5,整体处理例题讲解1在平面直角坐标系中,方程为相异正数),所表示的曲线是（ ）A,三角形 B,正方形 C,非正方形的长方形 D,非正方形的菱形2平面上整点(坐标为整数的点)到直线的距离中的最小值是（ ）A, B, C, D,3过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线,若此直线与抛物线交于A,B两点,弦AB的中垂线与轴交于P点,则线段PF的长等于（ ） A, B, C, D,4若椭圆上一点P到左焦点的距离等于它到右焦点距离的2倍,则P点坐标为（ ） A, B, C, D,5过椭圆中心的弦AB,是右焦点,则的最大面积为（ ） A, B, C, D,6已知P为双曲线上的任意一点,为焦点,若,则（ ）A, B, C, D,7给定点,已知直线与线段PQ(包括P,Q在内)有公共点,则的取值范围是 .8过定点作直线交轴于Q点,过Q点作交轴于T点, 延长TQ至P点,使,则P点的轨迹方程是 .9已知椭圆与直线交于M,N两点,且,(为原点),当椭圆的离心率时,椭圆长轴长的取值范围是 .10已知是椭圆的两个焦点,M是椭圆上一点,M到轴的距离为 ,且是和的等比中项,则的值等于 .11已知点A为双曲线的左顶点,点B和点C在双曲线的右分支上,是等边三角形,则的面积等于 .12若椭圆()和双曲线有相同的焦点 ,P为两条曲线的一个交点,则的值为 .13设椭圆有一个内接,射线OP与轴正向成角,直线AP,BP的斜率适合条件.(1),求证:过A,B的直线的斜率是定值;(2),求面积的最大值.14已知为常数且),动点P,Q分别在射线OA,OB上使得 的面积恒为36.设的重心为G,点M在射线OG上,且满足.(1),求的最小值;(2),求动点M的轨迹方程.15过抛物线(为不等于2的素数)的焦点F,作与轴不垂直的直线交抛物线于M,N两点,线段MN的垂直平分线交MN于P点,交轴于Q点.(1),求PQ中点R的轨迹L的方程;(2),证明:L上有无穷多个整点,但L上任意整点到原点的距离均不是整数.例题答案：1,D 令,得,令得,由此可见,曲线必过四个点:,从结构特征看,方程表示的曲线是以这四点为顶点的四边形,易知它是非正方形的菱形.2,B ,当(可取)时, (其中为平面上任意整点).3,A 此抛物线的焦点与原点重合,得直线AB的方程为,因此A,B两点的横坐标满足方程:.由此求得弦AB中点的横坐标,纵坐标,进而求得其中垂线方程为,令,得P点的横坐标,即PF=.4,C 设,又椭圆的右准线为,而,且,得,又,得,代入椭圆方程得.5,A (1)当轴时,;(2)当AB与轴不垂直时,设AB的方程为,由消去得.设,则,.6,A 由,得,.7, 设线段PQ上任意一点且令,则=,故,由得,解得.8, 设直线的方程为,则Q点坐标为,直线QT的方程为 ,所以T点坐标为,从而P点坐标为,设P的坐标为,则,消去可得P点轨迹方程为.9, 由,可得 由得,即,将,代入得,即,因为,得,得,有,解得.10, 延长NM与椭圆的右准线:相交于D,设,则,因,得,又,得,故.11, 设点C在轴上方,由是等边三角形得直线AB的斜率,又直线 过点,故方程为,代入双曲线方程,得点B的坐标为,同理可得C的坐标为,所以的面积为.12, 不妨设P为第一象限的一点,则,.得,于是.13,:(1)证明:易知直线OP的方程为,将此方程代入,可求得交点P(1, .由题意可设直线PA,PB的方程分别为和,分别与椭圆方程联立,可求得A,B的横坐标分别为,.从而,所以(定值).(2)不妨设直线AB的方程为,与椭圆方程联立,并消去得+,有 =点P到战线AB的距离,所以=,当且仅当,即时,.14,解(1),以O为原点,的平分线为轴建立直角坐标系,则可设.于是的重心的坐标为 , =.又已知得,于是,且当时等号成立,故.(2),设,则由得,=b),得,代入,并整理得,这就是所求动点M的轨迹方程.15,解:(1)抛物线的焦点为,设的直线方程为.由得,设M,N的横坐标分别为则,得,而,故PQ的斜率为,PQ的方程为.代入得.设动点R的坐标,则,因此,故PQ中点R的轨迹L的方程为.(2),显然对任意非零整数,点都是L上的整点,故