（江苏专用）高考数学 专题8 立体几何与空间向量 62 向量法求解立体几何问题 理.doc

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 专题8 立体几何与空间向量 62 向量法求解立体几何问题 理训练目标会用空间向量解决立体几何的证明、求空间角、求距离问题.训练题型(1)用空间向量证明平行与垂直；(2)用空间向量求空间角；(3)求长度与距离.解题策略(1)选择适当的空间坐标系；(2)求出相关点的坐标，用坐标表示直线的方向向量及平面的法向量；(3)理解并记住用向量表示的空间角和距离的求解公式；(4)探索性问题，可利用共线关系设变量，引入参数，列方程求解.1.如图所示，已知正方形abcd和矩形acef所在的平面互相垂直，ab，af1，m是线段ef的中点求证：(1)am平面bde；(2)am平面bdf.2在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，在侧棱cc1上求一点p，使得直线ap与平面bdd1b1所成角的正切值为3.3(2015甘肃河西五地市第一次联考)已知斜三棱柱abca1b1c1的底面是边长为2的正三角形，侧面a1acc1为菱形，a1ac60，平面a1acc1平面abc，n是cc1的中点(1)求证：a1cbn；(2)求二面角ba1nc的余弦值4(2015上饶一模)如图，五面体abcdef中，底面abcd为矩形，ab6，ad4.顶部线段ef平面abcd，棱eaedfbfc6，ef2，二面角fbca的余弦值为.(1)在线段bc上是否存在一点n，使bc平面efn?(2)求平面efb和平面cfb所成锐二面角的余弦值5(2015长春普通高中质量检测)如图，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，paabad2，四边形abcd满足abad，bcad且bc4，点m为pc中点，点e为bc边上的动点，且.(1)求证：平面adm平面pbc.(2)是否存在实数，使得二面角pdeb的余弦值为？若存在，试求出实数的值；若不存在，说明理由答案解析1证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设acbdn，连结ne，则点n，e的坐标分别为(，0)，(0,0,1)所以(，1)又点a，m的坐标分别是(，0)，(，1)，所以(，1)所以，且ne与am不共线所以neam.又因为ne平面bde，am平面bde.所以am平面bde.(2)由(1)知(，1)，因为d(，0,0)，f(，1)，所以(0，1)所以0，所以，所以amdf，同理ambf，又dfbff，所以am平面bdf.2解建立如图所示的空间直角坐标系，设cpm，则a(1,0,0)，b(1,1,0)，p(0,1，m)，c(0,1,0)，d(0,0,0)，b1(1,1,1)，所以(1，1,0)，(0,0,1)，(1,1，m)，(1,1,0)因为(1,1,0)(1，1,0)0，(1,1,0)(0,0,1)0.所以为平面bdd1b1的一个法向量设ap与平面bdd1b1所成的角为，则sin cos().所以cos .又tan 3，所以m.故当cp时，直线ap与平面bdd1b1所成角的正切值为3.3(1)证明取ac的中点o，连结bo，a1o.由题意知boac，a1oac.又因为平面a1acc1平面abc，且平面a1acc1平面abcac，a1o平面a1acc1，所以a1o平面abc.以o为原点，建立如图所示的空间直角坐标系则o(0,0,0)，b(，0,0)，a1(0,0，)，n(0，)，c(0，1,0)，(0,1，)，(，)因为0()0，所以a1cbn.(2)解由(1)得(0，)，(，0，)设平面a1bn的一个法向量为n1(x，y，z)，则即令x1，得n1(1，1)又平面a1nc的一个法向量n2(1,0,0)设二面角ba1nc的平面角为，且由图知，为锐角，则cos .4解(1)存在点n为线段bc的中点，使bc平面efn.证明：ef平面abcd，且ef平面efba，平面abcd平面efbaab，efab.设平面efn平面abcdmn，mad.ef平面abcd，efmn，abmn.fbfc，bcfn.又四边形abcd是矩形，bcab.bcmn.fn平面efnm，mn平面efnm，fnmnn，bc平面efnm，即bc平面efn.(2)在平面efnm内，过f作mn的垂线，垂足为h.由(1)可知bc平面efnm，bc平面abcd，且平面abcd平面efnmmn，fhmn，则平面abcd平面efnm，所以fh平面abcd.又因为fnbc，hnbc，则二面角fbca的平面角为fnh.在rtfnb和rtfnh中，fn，nhfncosfnh2，fh8.过h分别作边ab，cd的垂线，垂足分别为s，q，连结fs，fq，以h为坐标原点，以，方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，则f(0,0,8)，s(2,0,0)，n(0,2,0)，b(2,2,0)，则(2,0,8)，(0,2,0)设平面efb的一个法向量为n1(x，y,1)，则由得可得n1(4,0,1)同理可求得平面bcf的一个法向量为n2(0,4,1)，于是cosn1，n2，n1，n2为锐角设平面efb和平面cfb所成锐二面角的平面角为，则cos cosn1，n2.5(1)证明如图，取pb中点n，连结mn，an.m是pc中点，mnbc，mnbc2.又bcad，ad2，mnad，mnad，四边形admn为平行四边形apad，abad，apaba，ad平面pab.an平面pab，adan，anmn.apab，anpb，mnpbn，an平面pbc.an平面adm，平面adm平面pbc.(2)解存在符合条件的.以a为原点，方向为x轴的正方向，方向为y轴的正方向，方向为z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系设e(2，t,0)(0t