江苏省徐州市2019年中考数学试题研究几何图形操作探究型问题练习.docx

几何图形操作探究型问题1.已知，在RtABC中，ACB90，AC4，BC2，D是AC边上的一个动点，将ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处(1)如图，若点D是AC的中点，连接PC.求BP，BD的长；求证：四边形BCPD是平行四边形；(2)如图，若BDAD，过点P作PHBC交BC的延长线于点H，求PH的长第1题图解：(1)在RtABC中，AC4，BC2，BA2，又点D是AC的中点，ADCD2，在RtBCD中，由勾股定理得：BD2，由翻折可知，BPBA2；证明：BCD是等腰直角三角形，BDC45，ADBBDP135，PDC1354590，BCDPDC90，DPBC，DPADBC2，四边形BCPD是平行四边形；(2)如解图，连接PA，分别过点D作DNAB于点N，过点P作PEAC于点E，延长BD交PA于点M，则ABP为等腰三角形，BMAP.第1题解图设BDADx，则CD4x，在RtBDC中，由勾股定理得：BD2CD2BC2，x2(4x)222，x，BDAD，DNAB，BNANAB，在RtBDN中，DN，由BDNBAM，可得，AM2，AP2AM4，由ADMAPE，可得，AE，ECACAE4，易证四边形PECH是矩形，PHEC.2.如图，正方形ABCD的边长为1，点E为边AB上一动点，连接CE并将其绕点C顺时针旋转90得到CF，连接DF，以CE、CF为邻边作矩形CFGE，GE与AD、AC分别交于点H、M，GF交CD延长线于点N.(1)证明：点A、D、F在同一条直线上；(2)随着点E的移动，线段DH是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由；(3)连接EF、MN，当MNEF时，求AE的长第2题图 (1)证明：由旋转可知ECF90，四边形ABCD是正方形，CDCB，ADCBCD90，BCEDCEBCD90，DCFDCEECF90，DCFBCE，在CDF与CBE中，CDFCBE，CDFB90，ADFCDFCDA180，点A、D、F在同一条直线上；(2)解：DH有最小值，设BEx，则AE1x，由(1)得DFBEx，易证DCFAEH，tanDCFtanAEH，解得AHxx2，DH1AH(x)2，当x时，DH有最小值，且DH最小；(3)解：如解图，过点E作EPAC于点P.第2题解图易证四边形CFGE为正方形EFMN，FGEG，FNEM，在CFN和CEM中，CFNCEM，FCNECM，由(1)得FCNECB，ECMECB，EPEB，sinEAP，解得x，则AE1x2.3.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OBOD，OCOAAB，ADm，BCn，ABDADBACB.(1)填空：BAD与ACB的数量关系为_；(2)求的值；(3)将ACD沿CD翻折，得到ACD(如图)，连接BA，与CD相交于点P.若CD，求PC的长第3题图解：(1)ACBBAD180；【解法提示】在ABD中，由三角形内角和得ABDADBBAD180，ABDADBACB，ACBBAD180.(2)如解图，过点B作BEAD，交AC于点E，第3题解图ADOEBO，DAOBEO，OBOD，ADOEBO，BEADm，OEOA，OCOAAB，CEAB.ABOADOACB，ABOEBOABE，ABEACB，BAECAB，BAECAB，AB2ACAE(2OAAB)2OA，即4OA22OAABAB20，解得OAAB，；(3)如解图，过点D作DGAB交AC于G，同理可得DOGBOA，第3题解图DGAB，OGOA，CGAB，GCDGDC，ADGADOODGADOABOACB，ADCADGGDCACBGCDBCD.由折叠可知ADCADCBCD，ADBC，ADPBCP，由(2)知，即，解得CP1.4.如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，把ABE沿着AE折叠得到AFE，AF的延长线交CD于G，连接CF.(1)证明：AEFC；(2)猜想线段CF，EF，AE之间的数量关系，证明你的猜想； (3)若AB9，AD6，求CF的长第4题图解：（1）由折叠得，EFEB，FEABEA，点E是BC中点，EBECEF，EFCECF，BEFBEAFEAECFEFC.ECFBEA，AEFC；（2）EF2AECF，理由如下：如解图，取AE中点O，连接OB，第4题解图在矩形ABCD中，ABC90，OEOBAE，OEBOBE， 由(1)得：EFEB，ECFBEAEFCOBE，EFCOEB，（3）在矩形ABCD中，BCAD6，ABC90，BEEFEC3，由勾股定理得：5.如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在A处，点D落在E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N.(1)求证：CMCN；(2)若CMN的面积与CDN的面积比为31，求的值第5题图(1)证明：由折叠的性质可得：ENMDNM，即ENAANMDNCCNM，ENADNC，ANMCNM，四边形ABCD是矩形，ADBC，ANMCMN，CMNCNM，CMCN；(2)解：如解图，过点N作NHBC于点H，则四边形NHCD是矩形，HCDN，NHDC，CMN的面积与CDN的面积比为31，3，MC3ND3HC，MH2HC，设DNx，则HCx，MH2x，CM3xCN，在RtCDN中，DC2x，HN2x，在RtMNH中，MN2x，2.第5题解图6.如图，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.(1)求证：BDF是等腰三角形；(2)如图，过点D作DGBE，交BC于点G，连接FG交BD于点O.判断四边形BFDG的形状，并说明理由；若AB6，AD8，求FG的长第6题图(1)证明：由折叠的性质可得，DBCDBF，四边形ABCD是矩形，ADBC，ADBDBC，DBFADB，BFDF，BDF是等腰三角形；(2)解：四边形BFDG是菱形理由：四边形ABCD是矩形，ADBC，即DFBG，DGBF，四边形BFDG是平行四边形，BFDF，平行四边形BFDG是菱形；矩形ABCD中AB6，AD8，A90，BD10，四边形BFDG是菱形，BDGF，GF2OF，BD2OD，OD5，tanADB，OF，FG.7.如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE3，动点F在边BC上，且不与点B，C重合，将EBF沿EF折叠，得到EBF.(1)当BEF45时，求证：CFAE；(2)当BDBC时，求BF的长；(3)求CBF周长的最小值第7题图 (1)证明：如解图，当BEF45时，易知四边形BEBF是正方形，BFBE，ABBC，CFAE；(2)解：如解图，作BNBC于点N，NB的延长线交AD于点M，作EGMN于点G，则四边形MNCD、四边形AEGM都是矩形 第7题解图 第7题解图BDBC，BDCBCD，ADCBCD90，BDMBCN，BMDBNC90，BMDBNC(AAS)，BMBN8，AEMG3，GB5，在RtEGB中，EG12，EBGFBN90，FBNBFN90，EBGBFN，EGBFNB90，EGBBNF，BFBF；(3)解：如解图，以E为圆心，EB为半径画圆，连接EC，在RtEBC中，EBC90，EB13，BC16，第7题解图EC5，CFB的周长CFFBCBBFCFCBBCCB16CB，欲求CFB的周长的最小值，只要求出CB的最小值即可，CBEBEC，当E、B、C共线时，CB的值最小，CB最小值是为513.CFB的周长的最小值为35.8.如图，在四边形ABCD中，ADBC，ABC90，点E为边AD上一点，将ABE沿直线BE折叠，使A点落在四边形对角线BD上的P点处，EP的延长线交直线BC于点F.设ADa，ABb，BCc.(1)若ABE30，AE3，请写出BE的长度；(2)求证：ABPBFE；(3)当四边形EFCD为平行四边形时，试求出a，b，c的数量之间的关系式第8题图(1)解：BE6；【解法提示】ABBC，ADBC，BAAD，在RtABE中，ABE30，AE3，BE2AE6；(2)证明：ADBC，AEBEBF，由折叠得EABEPB，AEBBEP，EBFBEF，FEFB，FEB为等腰三角形，ABPPBF90，PBFEFB90，ABPEFB，在等腰ABP和等腰FEB中，BAP(180ABP)，FBE(180EFB)，BAPFBE，ABPBFE；(3)解：四边形EFCD为平行四边形，EFDC，EFBC，ADBDBC，ABDEFB，ABDC，ABDDCB，即，a2b2ac.9.已知边长为3的正方形ABCD中，点E在射线BC上，且BE2CE，连接AE交射线DC于点F，若ABE沿直线AE翻折，点B落在点B1处(1)如图，若点E在线段BC上，求CF的长；(2)求sinDAB1的值；(3)如果题设中“BE2CE”改为“x”，其他条件都不变，试求ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式及自变量x的取值范围(只要写出结论，不需写出解题过程) 第9题图 备用图解：(1)ABDF，BAFF，BBCF90，ABEFCE，BE2CE，AB3，.CF；(2)若点E在线段BC上，如解图，设直线AB1与DC相交于点M.第9题解图由题意翻折得：12.ABDF，1F，2F，AMMF.设DMx，则CM3x，又CF，AMMFx，在RtADM中，AD2DM2AM2，32x2(x)2，解得x，DM，AM，sinDAB1；若点E在边BC的延长线上，如解图，设直线AB1与CD的延长线交于点N.第9题解图同理可得：ANNF.BE2CE，BCCEAD.ADBE，DFFC，设DNx，则ANNFx.在RtADN中，AD2DN2AN2，32x2(x)2，x.DN，AN，sinDAB1，综上：当点E在线段BC上时，sinDAB1，当点E在BC的延长线上时，sinDAB1；(3)若点E在线段BC上，y，x的取值范围为0x1；若点E在边BC的延长线上，y，x的取值范围为1x.10.如图所示，在RtABC中，A90，AB6，AC8，D、E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQBC于点Q，过点Q作QRBA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动，设BQx，QRy.(1)填空：BC_，sinB_，点D到BC的距离DH_；(2)求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；(3)是否存在点P，使PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由第10题图 备用图解：(1)10；【解法提示】在RtABC中，AB6，AC8，A90，由勾股定理得