初高中数学衔接1.doc

初高中数学衔接编写说明一、现有初高中数学知识存在以下脱节的现象： 1.立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 2.因式分解在初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到。 3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4.初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。 5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容。 6.图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。 7.含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 8.几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如三角形角平分线定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。 （二）纵观现有初高中衔接教学教材绝大多数往往是初中知识的一次重复，内容过于繁杂，挤占了太多的高中教学时间。本选修课只选择了8个专题，通过这8个专题的教学，对初高中知识起到了较好的衔接作用。 二、内容及教学课时安排：第一节 数与式的运算（1课时）；第二节 十字相乘法（1课时）；第三节 韦达定理（1课时）；第四节 二次函数的三种表示方式（1课时）；第五节 二次函数的图象和性质（1课时）；第六节 方程与不等式（1课时）；第七节 三角形角平分线的性质（1课时）；第八节 三角形的心（1课时）； 第九节 小结与测试（1课时）。第一节 数与式的运算；1、绝对值：绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离 两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数对应的点之间的距离2. 乘法公式： （1）平方差公式 ；（2）完全平方公式 （3）立方和公式 ；（4）立方差公式 ；（5）三数和平方公式 ；（6）两数和立方公式 ；（7）两数差立方公式 3、二次根式：一般地，形如的代数式叫做二次根式根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 ，等是无理式，而，等是有理式 把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与等等 一般地，与，与，与互为有理化因式分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程二次根式的意义：4. 分式：形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式分式具有下列性质：当M0时，； 例1、计算：.解：原式=例2、试比较下列各组数的大小：（1）和； （2）和. 解：（1）= = （2）=例3 、化简：（1）； （2） 解; （1）=（2）例4、设，且e1，2c25ac2a20，求e的值解：因为 2c25ac2a20， 两边同除以得，.练 习：1、选择题：（1）下列叙述正确的是 （ ）（A）若，则 （B）若，则 （C）若，则 （D）若，则（2）不论，为何实数，的值 （ ） （A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是（3）等式成立的条件是 （ ）（A） （B） （C） （D）（4）若，则 （ ）（A） （B） （C） （D）2、化简：|x5|2x13|（x5）3、若，求的值4比较大小：2 （填“”，或“”）5、计算习 题11解不等式： (1) ； (2) ； (3) 已知，求的值3填空：（1）_；（2）若，则的取值范围是_；（3）_ （4）（5）4（北京大学等7校自主招生题）求关于x的方程的实根的个数.第二节 十字相乘法1、对于二次三项式的因式分解：如果能找到两个数a、b，使则就有，这种方法的关键是适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的乘积，且其和等于一次项的系数，通常要借助画十字交叉线的办法来确定，故称十字相乘法。例1 分解因式：x23x2.解：如图1.2-1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成1与2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是x23x2中的一次项，所以，有x23x2(x1)(x2)12xx图1.211211图1.222、关于x的二次三项式ax2+bx+c(a0)的因式分解（1）如果能找到四个数 （2）若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为.例2把下列关于x的二次多项式分解因式：（1）； （2）1523图1.23解：（1） （2） = = =例3、把下列各式因式分解（1） （2）解：（1）（2）=（练 习：1、多项式的一个因式为 （ ）（A） （B） （C） （D）2、把下列关于x的二次多项式分解因式：（1）； （2）（3）； （4）习 题21分解因式：（1） ； （2）； （3）； （4）2在实数范围内因式分解：（1） ； （2）； （3）； （4）3三边，满足，试判定的形状4.解方程： 第三节 韦达定理对于一元二次方程ax2bxc0（a0），判别式=：（1） 当0时，方程有两个不相等的实数根 x1，2；（2）当0时，方程有两个相等的实数根 x1x2；（3）当0时，方程没有实数根由（1）（2）得一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：x1x2，x1x2这一关系也被称为韦达定理例1、已知关于x的方程x22(m2)xm240有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值解：因为方程有实根，=设两个根为由已知得 ，例2、（北京市高一竞赛题）已知a，b是方程的两个实根，且a+b=4，求m的值.解：令，则二次方程的两个实根是.例3、若且，则 .解：由已知a，b是方程的两个根，练 习1选择题：（1）方程的根的情况是 （ ） （A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根（2）若关于x的方程mx2 (2m1)xm0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 （ ）（A）m （B）m （C）m，且m0 （D）m，且m0 2填空:（1）若方程x23x10的两根分别是x1和x2，则 （2）方程mx2x2m0（m0）的根的情况是 （3）以3和1为根的一元二次方程是 3已知，当k取何值时，方程kx2axb0有两个不相等的实数根？4已知方程x23x10的两根为x1和x2，求(x13)( x23)的值习题31选择题:（1）已知关于x的方程x2kx20的一个根是1，则它的另一个根是（ ） （A）3 （B）3 （C）2 （D）2（2）下列四个说法： 方程x22x70的两根之和为2，两根之积为7；方程x22x70的两根之和为2，两根之积为7；方程3 x270的两根之和为0，两根之积为；方程3 x22x0的两根之和为2，两根之积为0其中正确说法的个数是 （ ） （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个（3）关于x的一元二次方程ax25xa2a0的一个根是0，则a的值是（ ）（A）0 （B）1 （C）1 （D）0，或12填空:（1）方程kx24x10的两根之和为2，则k （2）方程2x2x40的两根为，则22 （3）已知关于x的方程x2ax3a0的一个根是2，则它的另一个根是 （4）方程2x22x10的两根为x1和x2，则| x1x2| 3试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2(2m1) x10有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x27x10各根的相反数5、（复旦大学自主招生题）已知方程 （a为实数）的两个实根，求的最大值.第四节 二次函数的三种表示方式二次函数可以表示成以下三种形式：1一般式：yax2bxc(a0)；2顶点式：ya(xh)2k (a0)，其中顶点坐标是(h，k)3交点式：ya(xx1) (xx2) (a0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标例1 已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线yx1上，并且图象经过点（3，1），求二次函数的解析式解：时，x=1，故可设二次函数的解析式为，且，又图象经过点（3，1），代人得.所以二次函数的解析式为例2 已知二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的解析式解：设二次函数的解析式为，由（-3+1）2=-1知二次函数的图象的顶点的横坐标x=-1，而当x=-1时，y=-4a，所以，所求二次函数解析式为.例3 已知二次函数的图象过点(1，22)，(0，8)，(2，8)，求此二次函数的解析式解：设二次函数解析式为yax2bxc(a0)，则所求函数解析式为练 习1选择题:（1）函数yx2x1图象与x轴的交点个数是 （ ） （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）无法确定（2）函数y(x1)22的顶点坐标是 （ ） （A）(1，2) （B）(1，2) （C）(1，2) （D）(1，2)2填空：（1）已知二次函数的图象经过与x轴交于点(1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为ya (a0) （2）二次函数yx2+2x1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 3根据下列条件，求二次函数的解析式（1）图象经过点(1，2)，(0，3)，(1，6)； （2）当x3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；（3）函数图象与x轴交于两点(1，0)和(1，0)，并与y轴交于(0，2)习题41填空题：（1）已知某二次函数的图象与x轴交于A(2，0)，B(1，0)，且过点C（2，4），则该二次函数的表达式为 （2）已知某二次函数的图象过点（1，0），（0，3），（1，4），则该函数的表达式为 2把已知二次函数y2x24x7的图象向下平移3个单位，在向右平移4个单位，求所得图象对应的函数表达式3已知某二次函数图象的顶点为A（2，18），它与x轴两个交点之间的距离为6，求该二次函数的解析式4.已知二次函数其中m是任意实数，a和b是实常数，其图象过点 （1）求截距的最小值； （2）求弦AB的长度的最大值； （3）当取最大值时，求第五节 二次函数图象和性质二次函数yax2bxc(a0)具有下列性质：（1）当a0时，函数yax2bxc图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x；当x时，y随着x的增大而减小；当x时，y随着x的增大而增大；当x时，函数取最小值y（2）当a0时，函数yax2bxc图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x；当x时，y随着x的增大而增大；当x时，y随着x的增大而减小；当x时，函数取最大值y 例1、把二次函数yx2bxc的图象向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数yx2的图象，求b，c的值.解：将函数yx2的图象向右平移4个单位得到函数y（x-4）2的图象，然后再向下平移2个单位得到函数y（x-4）2-2即yx2-8x+14的图象，所以b=-8，c=14.例2、已知函数yx2，2xa，其中a2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值解：结合的图象可知：当时，x=-2时，y最大=4；x=a时，y最小=a2.当时，x=-2时，y最大=4；x=0时，y最小=0.当时，x=a时，y最大= a2；x=0时，y最小=0.例3已知二次函数当时的最大值是，求实数a的值.解：显然.二次函数 在时的最大值只能在图象的顶点或在或这两个端点时取到，即或或或.当时，二次函数，在的最大值当时取到为1，故不合舍去.当时，二次函数在的最大值当时取到为，符合题意.所求的实数a=-2. 练 习1选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ） （A）y2x2 （B）y2x24x2（C）y2x21 （D）y2x24x （2）函数y2(x1)22是将函数y2x2 （ ） （A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 （B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 （C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 （D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的2填空题（1）二次函数y2x2mxn图象的顶点坐标为(1，2)，则m ，n （2）已知二次函数yx2+(m2)x2m，当m 时，函数图象的顶点在y轴上；当m 时，函数图象的顶点在x轴上；当m 时，函数图象经过原点（3）函数y3(x2)25的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当x 时，函数取最 值y ；当x 时，y随着x的增大而减小3已知函数yx22x3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：（1）x2；（2）x2；（3）2x1；（4）0x3习题51选择题：（1）把函数y(x1)24的图象的顶点坐标是 （ ） （A）（1，4） （B）（1，4） （C）（1，4） （D）（1，4）（2）函数yx24x6的最值情况是 （ ） （A）有最大值6 （B）有最小值6 （C）有最大值10 （D）有最大值2（3）函数y2x24x5中，当3x2时，则y值的取值范围是 （ ） （A）3y1 （B）7y1 （C）7y11 （D）7y11 2、 填空题：（1）将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的函数解析式为 .（2）若二次函数，当时的最大值等于6，最小值等于-3，则a+c= .3、已知二次函数且方程的两个根和满足求证： （1）（2）若二次函数的图象与直线y=x相交于A、B两点，求证：第六节 不等式与方程1、一元二次不等式解法（1）当0时，抛物线yax2bxc（a0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程ax2bxc0有两个不相等的实数根x1和x2(x1x2)，结合图象可知不等式ax2bxc0的解为 xx1，或xx2； 不等式ax2bxc0的解为 x1xx2 （2）当0时，抛物线yax2bxc（a0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2bxc0有两个相等的实数根x1x2，结合图象可知不等式ax2bxc0的解为 x；不等式ax2bxc0无解（3）如果0，抛物线yax2bxc（a0）与x轴没有公共点，方程ax2bxc0没有实数根，结合图象可知不等式ax2bxc0的解为一切实数；不等式ax2bxc0无解例1 解不等式： （1）x22x30； （2）xx260； （3）4x24x10； （4）x26x90； （5）4xx20解：(1);(2)或；（3）；（4）3；（5）练 习1解下列不等式：（1）3x2x40； （2）x2x120；（3）x23x40； （4）168xx202.解关于x的不等式x22x1a20（a为常数）2. 二元二次方程组解法方程是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2次的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程其中至少有一个方程是由一个二元二次方程组成的方程组叫做二元二次方程组二元二次方程组一般可以用代入消元法来解例1、解方程组 解：由 得，代入 得或 所以原方程的解为，或.练 习：1下列各组中的值是不是方程组的解?（1） （2） （3） （4） 2解下列方程组:（1） （2）（3） （4）习 题61解下列不等式： （1）3x22x10； （2）2xx21； 2解下列方程组：（1） （2）（3）3、已知二次函数yax2bxc，且过（-1,0），问是否存在常数a、b、c，使得对任意实数都成立？第七节 三角形角平分线性质从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等(即内心)。显然角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。其次三角形角平分线还有很重要的一个性质： 定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。已知，如图，AM为ABC的角平分线，求证证明1：过M作MEAB于E，MFAC于F, BAM=CAM, ME=MF, （等高时，三角形面积之比等于底之比）, （同高时，三角形面积之比等于底之比） 证明2.：过B作BEAM交AM于E，过C作CFAM与F,则 又 , 证明3： 过C作CNAB交AM的延长线于N ，则 ABMNCM ，又 AC=CN 证明4（相似形） 过M作MNAB交AC于N ， 则 又CAM =AMN AN=MN 证明5：过C作CEDA与BA的延长线交于E。 则, BAM=AEC, CAM=ACE, BAM=CAM, AEC=ACE AE=AC, 证明6： 作三角形的外接圆，AM交圆于D， 由正弦定理得， 又BAM=CAM，BMA+AMC=180 sinBAM=sinCAM,sinBMA=sinAMC, 练习：1.在ABC中，AB=AC,A=360,BD,CE分别是ABC，BCD角平分线，则ABC中的等腰三角形有 （ ） A、5个 B、4个 C、3个 D、2个21.在ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是BAC的平分线，FMAD，则FC的长为 。习 题71、已知在ABC中，C=900，AD平分BAC，CD=求平分线AD的长，AB,AC的长。2. 在ABC中，D是BC边的中点，DE平分ADB,DF平分ADC，连结EF交AD与O点，M、N分别是AB,AC的中点，分别连结MO,NO交AC,AB的延长线上与P、Q两点，连结PQ,求证：PQ=AD。第八节 三角形的心三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍 三角形的“五心”指的是三角形的外心,内心，重心，垂心和旁心。旁心在初高中学习过程中很少涉及，所以在这里不作介绍。 1、三角形的外心：三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心) 外心定理：三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等,都等于三角形的外接圆半径证明：如图8-1，设AB、BC的中垂线交于点O，则有OA=OB=OC，故O也在AC的中垂线上，因为O到三顶点的距离相等，故点O是ABC外接圆的圆心因而称为外心 另外，锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外 2、三角形的内心：三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心) 内心定理：三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径证明：如图8-2，设A、C的平分线相交于I、过I作IDBC，IEAC，IFAB，则有IE=IF=ID因此I也在C的平分线上，即三角形三内角平分线交于一点。 内切圆半径r的计算： 设三角形面积为S，并记p=，则 特别的，在直角三角形中,有 3、三角形的重心：三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心重心定理：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 12 证法1：如图8-3，D、E、F为三边中点，设BE、CF交于G，连接EF，显然，由三角形相似可得GB2GE，GC=2GF又设AD、BE交于G，同理可证GB=2GE，GA=2GD，即G、G都是BE上从B到E的三分之二处的点，故G、G重合，即三条中线AD、BE、CF相交于一点G 证法2 设BE、CF交于G，BG、CG中点为H、I连EF、FH、HI、IE， 因为，所以EFHI为平行四边形所以 HG=GE、IG=GF，GB=2GE，GC=2GF同证法1可知AG=2GD，AD、BE、CF共点证毕4、三角形的垂心：三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心 垂心定理：斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点所以把这样的四个点称为一个“垂心组”证明 如图，AD、BE、CF为ABC三条高，过点A、B、C分别作对边的平行线相交成ABC，显然AD为BC的中垂线；同理BE、CF也分别为AC、AB的中垂线，由外心定理，它们交于一点，命题得证 如果ABC是正三角形，那么着四心重合，并称为中心，它具有外心、内心、重心及垂心的所有性质。练习：1设G为ABC的重心，M、N分别为AB、CA的中点，求证：四边形GMAN和GBC的面积相等 2三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍习题81、在ABC中，A是钝角，H是垂心，且AH=BC，则cosBHC=( ) A122 B122 C33 D122如果一个三角形的面积与周长都被一条直线平分，则此直线一定通过三角形的 ( ) A内心 B外心 C重心 D垂心(1996年全国初中联赛) 3、过等腰ABC底边BC上一点P引PMCA交AB于M；引PNBA交AC于N. 作点P关于MN的对称点P.试证：P点在ABC外接圆上.(杭州大学中学数学竞赛习题.答案与提示第一节练习：1.DDAC;2.当时，原式=，当时，原式=8-x；3.1；4.；5