高中数学2.3.3直线与圆的位置关系课件一 新人教B版必修2.ppt

2 3 3直线与圆的位置关系 一 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种 如图所示 1 直线与圆相交 有两个公共点 2 直线与圆相切 有一个公共点 3 直线与圆相离 没有公共点 二 直线与圆的位置关系的判定 如果直线l和圆c的方程分别为 ax by c 0 x2 y2 dx ey f 0 则直线与圆的位置关系的判定有两种方法 1 代数法判断直线与圆的位置关系 如果直线l和圆c有公共点 由于公共点同时在直线l和圆c上 所以公共点的坐标一定是这两个方程的公共解 反之如果这两个方程有公共解 那么 以公共解为坐标的点必是直线l和圆c的公共点 由l和c的方程联立方程组 可以用消元法将方程组转化为一个关于x 或y 的一元二次方程 若方程有两个不相等的实数根 0 则直线与圆相交 若方程有两个相等的实数根 0 则直线与圆相切 若方程无实数根 0 则直线与圆相离 2 几何法判断直线与圆的位置关系 如果直线l和圆c的方程分别为 ax by c 0 x a 2 y b 2 r2 若dr时 直线l和圆c相离 例1 已知圆的方程是x2 y2 2 直线方程是y x b 当b为何值时 圆与直线有两个公共点 只有一个公共点 没有公共点 解法1 所求曲线公共点问题可以转化为b为何值时 方程组 有两组不同的实数解 有两组相同的实数解 无实数解的问题 代入 整理得2x2 2bx b2 2 0 方程 的判别式 2b 2 4 2 b 2 4 b 2 b 2 当 20 方程组有两组不同的实数解 因此直线与圆有两个公共点 当b 2或b 2时 0 方程组有两组相同的实数解 因此直线与圆只有一个公共点 当b2时 0 方程组没有实数解 因此直线与圆没有公共点 解法2 圆与直线有两个公共点 只有一个公共点 没有公共点的问题 可以转化为b为何值时 圆心到直线的距离小于半径 等于半径 大于半径的问题 圆的半径r 圆心 0 0 到直线y x b的距离为 当d r时 即 2 b 2时 圆与直线相交 有两个公共点 当d r时 即b 2或b 2时 圆与直线相切 直线与圆有一个公共点 当d r时 即b2时 圆与直线相离 直线与圆没有公共点 例2 已知圆的方程是x2 y2 r2 求过圆上一点m x0 y0 的切线方程 解 如果x0 0且y0 0 则直线om的方程为y 从而过m点的圆的切线的斜率为 因此所求的圆的切线方程为 化简得x0 x y0y x02 y02 因为点 x0 y0 在圆上 所以x02 y02 r2 所以过圆x2 y2 r2上一点 x0 y0 的圆的切线方程为x0 x y0y r2 如果x0 0 或y0 0 我们容易验证 过点m x0 y0 的切线方程也可以表示为x0 x y0y r2的形式 因此 所求的切线方程为x0 x y0y r2 三 圆的切线的求法 直线与圆相切 切线的求法 1 当点 x0 y0 在圆x2 y2 r2上时 切线方程为x0 x y0y r2 2 若点 x0 y0 在圆 x a 2 y b 2 r2上时 切线方程为 x0 a x a y0 b y b r2 3 斜率为k且与圆x2 y2 r2相切的切线方程为 斜率为k且与圆 x a 2 y b 2 r2相切的切线方程的求法 先设切线方程为y kx m 然后变成一般式kx y m 0 利用圆心到切线的距离等于半径来列出方程求m 4 点 x0 y0 在圆外面 则切线方程为y y0 k x x0 再变成一般式 因为与圆相切 利用圆心到直线距离等于半径 解出k 注意若此方程只有一个实根 则还有一条斜率不存在的直线 务必要补上 四 直线与圆相交的弦长公式 平面几何法求弦长公式 如图所示 直线l与圆相交于两点a b 线段ab的长即为直线l与圆相交的弦长 设弦心距为d 圆的半径为r 弦长为ab 则有 即ab 例3 直线l经过点p 5 5 且和圆c x2 y2 25相交 截得弦长为4 求l的方程 解 设 oh 是圆心到直线l的距离 oa 是圆的半径 ah 是弦长 ab 的一半 在rt aho中 oa 5 ah ab 2 所以 oh 即 解得k 或k 2 所以直线l的方程为x 2y 5 0 或2x y 5 0 oh 练习题 1 直线x y m与圆x2 y2 m m 0 相切 则m a b c d 2 d 2 曲线与直线y k x 2 4有两个交点 则实数k的取值范围是 a b c d d 3 圆心为 1 2 半径为2的圆在x轴上截得的弦长为 a 8 b 6 c 6 d 4 a 4 直线x y 1被圆x2 y2 2x 2y 7 0所截得线段的中点是 a b 0 0 c d a 5 以点p 4 3 为圆心的圆与直线2x y 5 0相离 则圆p的半径r的取值范围是 a 0 2 b 0 c 0 2 d 0 10 c 6 已知曲线5x2 y2 5 0与直线2x y m 0无交点 则m的取值范围是 1 m 1 7 由点p 1