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文档简介

1 18 第九节连续函数的运算 一 四则运算的连续性 二 反函数与复合函数的连续性 三 初等函数的连续性 四 小结思考题 与初等函数的连续性 2 18 一 连续函数的四则运算的连续性 定理1 例如 上节已证 由函数 连续 的定义和极限四则运算法则 立得 推广 有限个连续函数的和 差 积仍为连续函数 结论 三角函数在其定义域内连续 若f x g x 在点x0处连续 则f x g x f x g x f x g x g x0 0 在点x0处也连续 3 18 二 反函数与复合函数的连续性 定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数 证明略 例如 结论 反三角函数在其定义域内皆连续 1 反函数的连续性 4 18 定理3 证 2 复合函数的连续性 5 18 将上两步综合起来 6 18 意义 例1 解 可知 极限符号可以与函数符号f交换次序 同理 即教材例6 利用lnu的连续性 7 18 教材例3 解 可视为由 复合而成 则 8 18 又如 交换次序 分子有理化 分离无穷小量 9 18 例2 解 同理可得 即教材例7 10 18 定理4 例如 是由连续函数链 因此 在 上连续 复合而成 11 18 三 初等函数的连续性 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的 12 18 定理5 基本初等函数在定义域内是连续的 均在其定义域内连续 定义区间是指包含在定义域内的区间 基本初等函数在定义域内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数在定义区间内连续 定理6 13 18 例3 例4 解 解 14 18 教材例8 解 由定理3及极限运算法则得 解 ln 1 2x 2x x 0 15 18 一般地 的函数称为幂指函数 若 则 16 18 四 小结 3 定义区间与定义域的区别 求极限的又一种方法 2 两个定理 3 4 两点意义 1 基本初等函数在定义域内连续 连续函数的四则运算的结果连续 连续函数的反函数连续 连续函数的复合函数连续 初等函数在定义区间内连续 说明 分段函数在分界点处
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