1.4角平分线的性质

湘教版SHUXUE八年级下 角平分线的性质 一 1 角是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 2 什么是角平分线一条射线将一个角分成为两个相等的角 这条射线就叫做这个角的角平分线 如图 AOB沿射线OC对折 AOC和 COB重合 如上图 射线OC是 AOB的平分线 A 你能证明吗 3 用尺规作已知角的平分线 作法 1 以O为圆心 适当长为半径作弧 交OA于M 交OB于N 3 作射线OC 射线OC即为所求 如图 画 AOB平分线OC 在OC上任取一点P 作PD OA 垂足为D PE OB 垂足为E 试问PD与PE相等吗 你能得出什么结论 PDO PEO AAS 在OP上再取一个P点试一试 结论成立吗 将 AOB沿OC对折 发现PD与PE重合 即 PD PE 已知 OC是 AOB的平分线 点P在OC上 PD OA PE OB 垂足分别是D E 求证 PD PE 角平分线上的点到角的两边的距离相等 题设 一个点在一个角的平分线上 结论 它到角的两边的距离相等 用符号语言表示为 1 2 PD OA PE OB PD PE 交换定理的题设和结论得到的命题为 到角的两边的距离相等的点 在角平分线上 角平分线的性质 注意 性质的三个条件必须齐全 缺一不可 角的内部到角的两边距离相等的点 在角平分线上 角平分线的判定定理 用符号语言表示为 PD OA PE OB PD PE 1 2 分析 如何量化表示结论 连接OP 证明 1 2 则OP是角平分线 即点P在 AOB的平分线上 证明 Rt PDO Rt PEO HL 即可 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 如图 已知P点是 AOB内一点 PD OA PE OB 垂足分别是D E 且PD PE 求证 点P在 AOB的平分线上 举例 1 如图 BAD BCD 900 1 2 1 求证 点B在 ADC的平分线上 2 求证 BD是 ABC的平分线 证明 1 1 2 BA BC 点B在 ADC的平分线上 2 在Rt BAD和Rt BCD中 BA BCBD BD Rt BAD Rt BCD HL ABD CBD BD是 ABC的平分线 BAD BCD 900 BA AD BC CD 例2 如图 在Rt ABC中 C 90 BD是 ABC的平分线 DE AB 垂足为E 图中相等的线段有哪些 为什么 C 90 已知 DC BC 垂直的定义 又 BD是 ABC的平分线 DE BA 已知 DE DC 角平分线上的任意点到角的两边的距离相等 答 1 DE DC 2 BE BC 角平分线的性质 为我们证明两线段相等又提供了新的方法与途径 做完本题后 你对角平分线 又增加了什么认识 1 填空 1 1 2 DC AC DE AB 2 DC AC DE AB DC DE 1 2 DC DE 到角的两边的距离相等的点在角平分线上 角平分线上的点到角的两边的距离相等 3 如图所示 在 ABC中 C 90 AD是 BAC的平分线交BC于D BC 15 且DB 10 则点D到AB的距离为 5 3 AD平分 BAC DC AC DB AB 已知 BD CD 2 如图 DC AC DB AB 已知 BD CD 2 判断以下所填结论是否正确 1 如图 AD平分 BAC 已知 BD CD 3 如图 ABC中 A 90 BD平分 ABC AD 6 BC 16 DE BC 求 BDC面积 DE AD 6 角平分线上的任意点到角的两边的距离相等 解 A 90 已知 DA AB 垂直的定义 又 BD是 ABC的平分线 DE BADE BC 已知 4 已知 如图 C D 90 AC AD 求证 1 ABC ABD 2 BC BD 要求不用三角形全等的判定 证明 1 C D 90 BAD和 BCD均为直角三角形 又 AC AD AB AB Rt BAD Rt BCD HL ABC ABD 2 由 1 得 CAB DAB 即 AB是 CAD的平分线 C D 90 即 BC AC BD AD BC BD 1 角平分线的性质定理 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 2 角平分线的判定定理 到一个角的两边的距离相等的点 在这个角平分线上 3 角平分线