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圆 经典例题精析考点一、圆的有关概念和性质1有下列四个命题：直径是弦；经过三个点一定可以作圆；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；半径相等的两个半圆是等弧.其中正确的有( )(A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个【考点】本题考查直径、过不在同一条直线上的三点的圆、外心、等圆与等弧等概念，【思路点拨】其中第个命题不对的原因在于忽视了过三点作图的条件.若三点在一条直线上，则不能作出过这三点的圆，故不对.【答案】B.2下列判断中正确的是( )(A)平分弦的直线垂直于弦(B)平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧(C)弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧(D)平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦【考点】垂径定理【解析】弦的垂直平分线平分弦、垂直于弦，因此平分弦所对的两条弧.A中被平分的弦应不是直径；B理由同A；D中平分弧的直线的直线应过圆心.【答案】C.3如图，在两半径不同的同心圆中，AOB=AOB=60，则( ) (A) (B)(C)的度数=的度数 (D)的长度=的长度【思路点拨】因为在圆中，圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，而AOB=AOB，所以的度数=的度数.【答案】C.4如图，已知圆心角AOB的度数为100，则圆周角ACB的度数是( )A.80 B.100 C.120 D.130【考点】同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，圆内接四边形的对角互补.【思路点拨】可连结OC，则由半径相等得到两个等腰三角形，A+B+ACB=360-O=260，且A+B=ACB，ACB=130.或在优弧AB上任取一点P，连结PA、PB，则APB=O=50，ACB=360-APB =130.【答案】D.总结升华：圆的有关性质在解决圆中的问题时，应用广泛，运用简便.举一反三：【变式1】某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为_.【考点】垂径定理.【思路点拨】本题可用几何语言叙述为：如图，AB为O的弦，CD为拱高，AB=24米，半径OA=13米，求拱高CD的长.【解析】由题意可知：CDAB，AD=BD，且圆心O在CD的延长线上.连结OA，则OD=5(米).所以CD=13-5=8(米).【答案】8米.【变式2】如图，AB是O的直径，ACD=15，则BAD=_. 【考点】同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是90.【思路点拨】AB是直径，则ADB=90，ACD=ABD=15，可求得BAD.【答案】75.【变式3】如图，O的直径AB和弦CD相交于点E，且AE=1cm，EB=5cm，DEB=60，求CD的长.【解析】因为AE=1cm，EB=5cm，所以OE=(1+5)-1=2(cm)，半径等于3cm.在RtOEF中可求EF的长，再求OF的长，连结OD，利用勾股定理求得FD，可得CD的长.【略解】AE=1 cm，BE=5 cm，O的半径为3 cm.OE=3-1=2(cm).在RtOEF中，OEF=60，OF=sin 60OE=2=(cm).连结OD，在RtODF中，OFCD， FC=FD.FD2=OF2+OD2即FD2=32-()2，解得FD=(负值舍去).CD=2FD=2(cm).考点二、与圆有关的位置关系5圆心O与直线AB上一点的距离等于半径，则直线AB与O的位置关系是( )A. 相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交【考点】直线和圆的位置关系.【思路点拨】注意审题，本题说的是圆心和直线上一点的距离等于半径，不是圆心到直线的距离等于半径.故不能选B.如下图有两种情况均符合题意：点O到点A的距离均等于半径.【答案】D.6如图，AB、AC是O的切线，将OB延长一倍至D，若DAC=60，则D=_.【思路点拨】连结OA. AB、AC是O的切线， AO平分BAC，且OBAB.又 OB=BD， OA=DA. OAB=DAB. 3DAB=60. DAB=20. D=70.【答案】D=70.7若两圆半径分别为R和r(Rr)，圆心距为d，且R2+d2=r2+2Rd， 则两圆的位置关系为( )A.内切 B.内切或外切 C.外切 D.相交【考点】圆和圆位置关系的判定【思路点拨】由R2+d2=r2+2Rd得R2+d2-2Rd =r2，(R-d)2= r2，所以d=Rr，故选B.【答案】B.8OA平分BOC，P是OA上任一点，P不与点O重合，且以P为圆心的圆与OC相离，那么圆P与OB的位置关系是( )(A)相离 (B)相切 (C)相交 (D)不确定【考点】直线和圆的位置关系.【思路点拨】因为以点P为圆心的圆与OC相离，则P到OC的距离大于圆的半径.又因为角平分线上的一点到角的两边的距离相等，则点P到OB的距离也大于圆的半径，故圆P与OB也相离.【答案】A.9ABC的三边长分别为a、b、c，它的内切圆的半径为r，则ABC的面积为( )(A)(a+b+c)r (B)2(a+b+c)(C)(a+b+c)r (D)(a+b+c)r【考点】内心到三角形三边的距离相等.【解析】连结内心与三个顶点，则ABC的面积等于三个三角形的面积之和，所以ABC的面积为ar+br+cr=(a+b+c)r.【答案】A.总结升华： 主要考查用点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系及切线长定理解决问题.举一反三：【变式1】已知半径分别为r和2r的两圆相交，则这两圆的圆心距d的取值范围是( )(A)0d3r (B)rd3r (C)rd3r (D)rd3r【考点】相交两圆的圆心距与两圆半径之间的关系.【解析】当两圆相交时，圆心距d与两圆半径的关系为2r-rd2r+r，即rd3r.【答案】B. 【变式2】如图，AB是O的直径，AE平分BAC交O于点E，过点E作O的切线交AC于点D，试判断AED的形状，并说明理由.【考点】角平分线的性质和切线的性质.【解析】AED是直角三角形，理由如下：连结OEAE平分BAC， 1=2OA=OE， 1=32=3， AC/OEED是O的切线， OED=90ADE=90， AED是直角三角形.【变式3】在射线OA上取一点A，使OA=4cm，以A为圆心，作一直径为4cm的圆，问：过O的射线OB与OA所夹的锐角取怎样的值时，A与OB(1)相离；(2)相切；(3)相交.【考点】直线与圆的位置关系的判定.【思路点拨】判定直线与圆的位置关系，主要通过圆心到直线的距离与半径之间的比较：设O的半径为r，圆心到直线的距离OP=d，则有：直线与圆相交dr；直线与圆相切d=r；直线与圆相离dr.【解析】作于点CAC=AOsin当AC=2cm时，锐角=30，当=30时，该圆与OB相切；当090时，sin随的增大而增大.3090时，AC2cm，该圆与OB相离；030时，该圆与OB相交.【变式4】O2和O1相交于点A、B，它们的半径分别为2和，公共弦AB长为2，若圆心O1、O2在AB的同侧，则O1AO2=_.【考点】相交两圆的连心线垂直平分公共弦.【思路点拨】连结O1O2并延长交AB于点C，则O1O2AB，AC=AB=1，在RtAO2C中可求得CAO2=60，在RtAO1C中可求得CAO1=45，得出结论O1AO2=15.【变式5】O2和O1相交于点A、B，它们的半径分别为2和，公共弦AB长为2，若圆心O1、O2在AB的同侧，则O1O2=_.【考点】相交两圆的连心线垂直平分公共弦和勾股定理.【思路点拨】连结O1O2并延长交AB于点C，则O1O2AB，AC=AB=1，运用勾股定理，在RtAO2C中可求得CO2=，在RtAO1C中可求得CO1=1，则O1O2=CO2- CO1=-1.【答案】O1O2=-1.【变式6】O2和O1相交于点A、B，它们的半径分别为2和，公共弦AB长为2，则O1O2=_.【考点】相交两圆的连心线垂直平分公共弦和勾股定理.【思路点拨】分两种情况：1、圆心O1、O2在AB的同侧，如图1；2、圆心O1、O2在AB的两侧，如图2.图1 图2【解析】连结O1O2并延长交AB于点C，则O1O2AB，AC=AB=1，运用勾股定理，在RtAO2C中可求得CO2=，在RtAO1C中可求得CO1=1，(1)如图1，圆心O1、O2在AB的同侧时，则O1O2=CO2-CO1=-1；(2)如图2，圆心O1、O2在AB的两侧时，则O1O2=CO2+CO1=+1.【答案】O1O2=-1或+1.考点三、圆与正多边形10如图，A是半径为2的O外一点，OA=4，AB是O的切线，点B是切点，弦BCOA，连结AC，则图中阴影部分的面积为_.【考点】切线的性质和扇形面积公式.【解析】BCOA ABC和OBC同底等高 SABC=SOBC图中阴影部分的面积等于扇形OBC的面积.AB是O的切线 OBBA 在RtABO中，OA=4，OB=2 OAB=30则可得BOA=60 可得结论.11扇形的半径为6cm，面积为9cm2，那么扇形的弧长为_，扇形的圆心角度数为_.【考点】弧长公式和扇形面积公式.【解析】已知扇形面积为9 cm2，半径为6 cm，则弧长；设圆心角的度数为n，则，所以.【答案】 3； .12用一张面积为900 cm2的正方形硬纸片围成一个圆柱的侧面，则这个圆柱的底面直径为_.【思路点拨】本题中圆柱的侧面展开图为正方形，圆柱底面圆的周长是正方形的边长.【解析】面积为900 cm2的正方形的边长为30 cm，则底面圆的周长30 cm.设直径为d，则，故(cm).【答案】 cm.13如图，已知扇形AOB的圆心角为60，半径为6，C、D分别是弧AB的三等分点， 则阴影部分的面积等于_.【考点】扇形面积公式.【思路点拨】可将阴影部分通过旋转得到一个扇形.【解析】阴影部分的面积等于扇形AOB面积的.【答案】2.14圆锥的母线长5cm，底面半径长3cm，那么它的侧面展开图的圆心角是( )A.180 B.200 C.225 D.216【考点】圆锥底面圆周长是侧面展开图的扇形的弧长.【解析】圆锥底面圆周长=32= 可求n=216.【答案】D.总结升华：熟记弧长和扇形面积公式，并会利用与圆心角、半径之间的关系互求.举一反三：【变式1】如图，A、B、C、D、E相互外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形(阴影部分)的面积之和是( )A. B.1.5 C.2 D.2.5【思路点拨】五个扇形(阴影部分)的面积之和可以看作是圆心角为五边形的内角和，半径为1的扇形面积.【解析】五边形的内角和为540，所以阴影部分的面积=.【答案】B.【变式2】一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是( )(A)60 (B)90 (C)120 (D)180【考点】此题考查圆锥的侧面展开图的概念.注意理解圆锥、圆锥的侧面展开图的有关概念.【思路点拨】设圆锥的母线长为a，圆心角度数为n，底面圆的半径为r，则解此方程组，得n=180.【答案】D.【变式3】如图所示，在RtABC中，BAC=90，AC=AB=2，以AB为直径的圆交BC于D， 求图形阴影部分的面积.【考点】会把不可求的阴影面积转化为可求面积.【思路点拨】连接AD，则阴影面积等于ACD的面积，即等于ABC面积的一半.【解析】连接ADAB是直径，ADB=90ABC中AC=AB=2， BAC=90 C=45CD=AD= =1弦AD=BD， 以AD、BD和它们所对的劣弧构成的弓形是等积形=1.【变式4】在ABCD中，AB=4，AD=2，BDAD，以BD为直径的O交AB于E，交CD于F，则ABCD被O截得的阴影部分的面积为_.【思路点拨】本题考查了勾股定理、扇形面积公式、解直角三角形等知识.注意：求不规则图形面积，往往转化为规则图形的面积的和或差的形式.【解析】连结OE、DE. ADBD，且AB=4，AD=2， DBA=30，且BD=6. BD为直径， DEB=90. DE=BDsin 30=6=3，BE=BDcos30 =6=3. SDEB=33=. O为BD的中点， SBOE=SDEB=. DO=BD=3，DOE=230=60， S阴影=2(SADB-S扇形DOE-SEOB)=2(26-32-). =.【答案】.考点四、与圆有关的计算15边长为2a的正六边形的面积为_.【考点】正六边形的面积等于六个等边三角形的面积之和.【提示】把正六边形的中心与六个顶点连结起来，所得六个等边三角形全等.每个等边三角形的面积为(2 a)2=a2，所以正六边形的面积为6a2.【答案】6a2.16下列命题正确的是( ).A.各边相等的多边形是正多边形B.各内角分别相等的多边形是正多边形C.既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形D.各边相等，各角也相等的多边形是正多边形【考点】正多边形的概念及对称性.【思路点拨】让学生掌握同时满足各边相等，各角也相等的多边形才是正多边形；正多边形都是轴对称图形，只有偶数边的正多边形才是中心对称图形.【答案】D.17同一个圆的内接正方形和外切正六边形的边长之比为_.【考点】圆和正多边形的关系，边长都用圆的半径表示.【思路点拨】设此圆的半径为R，则它的内接正方形的边长为R，它的外切正六边形的边长为R，圆内接正方形和外切正六边形的边长比为R：R=：2.【答案】：2.18边长为a的正n边形的外接圆与内切圆围成的圆环的面积为_.【考点】用正n边形的边长a 分另表示外接圆与内切圆的半径.【思路点拨】如图，AB为正n边形的一边，正n边形的中心为O，AB与小圆切于点C，连接OA，OC，则OCAB，AC=AB=a，所以AC2=a2=OA2-OC2，S圆环=S大圆-S小圆=OA2-OC2=(OA2-OC2)=a2.【答案】a2.总结升华： 正多边形和圆习题计算量较大，要求学生掌握正多边形外接圆半径、内切圆半径、正多边形的边数、边长、边心距、中心角之间的关